廣東省2021-2022學年高三上學期開學摸底聯(lián)考數(shù)學試卷

1、2021-2022學年廣東省高三（上）開學摸底數(shù)學試卷、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.設集合 A= x|0<x<2, B=x|2<x<2,則？bA=(2.3.4.5.A. (2,0) B. ( 2, 0C. (- 2已知z=1-i,則小心-i）的虛部為（）A. 1A. 22D.(0, 2)B. iC. - 1D. - i之一工"，x<0, f (x-2) s則 f (3)=C丁D. 3已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，a1 = 1A.C. 2a1a3a6成等比數(shù)列，則a5=（）D. 3在 ABC中,P為BD上一點，若 際爭" ,則

2、實數(shù)人的值為20D.VC 3C. V6.四色定理（Fourcolortheorem）又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學難題之一.它是于 1852 年由畢業(yè)于倫敦大學的格斯里（FrancisGuthrie）提出來的，其內(nèi)容是“任何一張地圖只用 四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”四色問題的證明進程緩慢，直到1976P-年，美國數(shù)學家運用電子計算機證明了四色定理.某校數(shù)學興趣小組在研究給四棱錐ABCD的各個面涂顏色時，提出如下的“四色問題”：要求相鄰面（含公共棱的平面）不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，那么不同的涂法有（7.A. 36 種已知銳角B. 72 種C. 48 種K 、了

3、），則 sin2oc=D. 24 種8.l交拋物線C于A,B兩點，若AB=3FB,A. 9B.C.9D:二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題 目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9 . ?xR,關(guān)于x的不等式xC.已知點F為拋物線C: y2 = 4x的焦點，過點F的直線則 |AB|=（）-ax+a>0包成立的一個必要不充分條件是（）A. 0<a<1B. a>-1C. 0<a<y D. a< 1010 .已知圓Ci： (x-m) 2+ (y-m) 2 = 2與圓C2： x2+y2 =

4、8無公共切線，則實數(shù) m的取值可 以是()11.已知實數(shù)x, y滿足lnx<lny,則下列結(jié)論正確的是()A. tanx<tany12.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P為線段A1C1上的動點(點P與A1 , C1不重合)，則下列說法不正確的是(A. BDXCP2214 .寫出一個與橢圓口看+-“有公共焦點的橢圓方程15 .在(x2-2x+1)(x+1) 4的展開式中，x5的系數(shù)為(用數(shù)字作答).JT16 .已知函數(shù)f (x)是定義域在R上的偶函數(shù)，當x0時，若關(guān)于x的方程(f (x) ) 2 - (a+1) f (x) +a = 0有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的

5、取值范圍是 四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17 .已知數(shù)列an中，ai=1,且滿足 an+i = an-2n,N*)(1)證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項公式；r 1 丁(2)設&為數(shù)列E-;-的前n項和，求滿足的n的最小值.Dn D UhlI 口 J,上18 .在2acosC=2b-c,加式n(B© 喙in4+1,(2b-c) cosA= acosC,這三個條件 L-a中任選一個，補充在下面橫線處，然后解答問題.在4ABC中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知 .(1)求/ A的大小；(2)若4ABC

6、的面積 .口尸三里，且a = 5,求4ABC的周長.19 .電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對“中國詩詞大會”的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，其中女性有55名.將日均收看該節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“詩詞迷”， 已知“詩詞迷”中有15名男性，“非詩詞迷”共有75名.(1)根據(jù)已知條件完成下面的2X2列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否有 95%的把握認為是否 為“詩詞迷”與性別有關(guān)？非詩詞迷詩詞迷合計合計(2)采用分層抽樣的方式從“詩詞迷”中任意選取 5人進行問卷調(diào)查，若再從這5人中任意選取2人獎勵詩詞大禮包，用x表示獲得大禮包的男性人數(shù)，y表示獲得大禮包的女性人2n州-外二(s+b) (

7、a+c)(b+d)數(shù)，設 X-y|,求己的分布列及期望.P (K2>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附:其中 n=a+b+c+d.20.如圖，在底面為梯形的四棱錐P ABCD中，AD/BC, PA= PD = AD = DC = 2BC = 2, CD，平面PAD, Q為AD的中點.(1)證明：AD,平面PBQ；(2)求直線PC與平面PAB所成角的正弦化21 .已知雙曲線以 三-勺1Q0, b>0)的離心率為苧，且該雙曲線經(jīng)過點我b2*r)(1)求雙曲線C的方程;(2)

8、設斜率分別為ki, k2的兩條直線li, 12均經(jīng)過點Q (2, 1),且直線11, 12與雙曲線C分別交于A, B兩點(A, B異于點Q),若ki+k2=1,試判斷直線AB是否經(jīng)過定點，若存在定點，求出該定點坐標；若不存在，說明理由.22 已知函數(shù)心"1呼士1(1)當m=0時，求f (x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對任意的x (0, +8),均有f (x) >0,求實數(shù)m的最小值.)D.(0, 2)D. - iD. 3、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1 .設集合 A= x|0<x<2, B=x|2<x<2,則？bA=(A. (-2,0) B. (

9、- 2, 0C. (-2,2解：. A=x|0<x<2, B = x|-2<x< 2,. .?bA= (-2, 0.故選：B.2 .已知z=1-i,則:Y2-i)的虛部為()A. 1B. iC. - 1解： z= 1 - i,忌(2二型的虛部為1.故選：a.2一'+1】3.已知函數(shù)二 、則f (3)=()f (x-2b x>0,ACC 區(qū)C LA. 2B.二C.1解：由題意 f (3) =f (1) =f ( 1) =3,故選：D.4,已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，a = 1, a1，a3, a6成等比數(shù)列，則a5 =A .工B. 7C. 2D. 3

10、解：an是公差不為零的等差數(shù)列，a1 = 1,且a1，a3, a6成等比數(shù)列，（1+2d） 2=1X （1+5d）,解得 d=4 （dw0）, a戶產(chǎn)數(shù)7+4又十二2.故選：C.5 .在 ABC中，AC=2AD, P為BD上一點，若樂個正斗正，則實數(shù)人的值為（A -B- C ;D-解：J 二”|,.由研卷研十九AC,得枳甘拉+1 AC=1屈+2嬴，. B, P, D三點共線，32彩1,得入=耳，故選：D.RDP-6 .四色定理(Fourcolortheorem)又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學難題之一.它是于 1852 年由畢業(yè)于倫敦大學的格斯里(FrancisGuthrie)提出來的，其內(nèi)容

11、是“任何一張地圖只用 四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”四色問題的證明進程緩慢，直到1976年，美國數(shù)學家運用電子計算機證明了四色定理.某校數(shù)學興趣小組在研究給四棱錐ABCD的各個面涂顏色時，提出如下的“四色問題”：要求相鄰面(含公共棱的平面)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，那么不同的涂法有(A. 36 種B. 72 種C. 48 種D. 24 種解：先給底面涂色，有4種涂法，設4個側(cè)面為A、B、C、D,然后給A面涂色，有3種；給B面涂色，有2種；給C面，若C與A相同色，則D面可以涂2種；若C與A不同色，則D面可以涂1種,所以共有4X3X2X (2+1) =72；故選：B

12、.a=7 .已知銳角a滿足2c口屋Q=cgfaw),則sin2B.C.7T解：因為2gs右(口W"),貝U 2 (cos2 a sin2 a)貝U cos a sin a=兩邊同平方可得,1 sin2 a=所以sin2a=8.已知點F為拋物線C： y2 = 4x的焦點，過點F的直線則 |AB|=()l交拋物線C于A,B兩點，若AB=3FB,A. 9B.C.9D丁解：如圖，設A, B在準線上的投影分別為C, D設 BF = m,則 AF = 2m,根據(jù)拋物線定義可得 AC = AF = 2m, BD=BF=m,過B作BMLAC于M,在4AMB 中，AM = m, AB=3m,cos/

13、BAC =,3，./2V2SinZBAC=-j-.o、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題 目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9 . ?xCR,關(guān)于x的不等式x2-ax+a>0包成立的一個必要不充分條件是()A. 0<a<1B. a>-1C.D. a< 10解：.關(guān)于x的不等式x2-ax+a>0的解集為R,.函數(shù)f (x) =x2-ax+a的圖象始終在x軸上方，即< 0,(a) 2- 4a<0,解得 0<a<4,X /a|0<a<4?a|a> 1,

14、a0<a<4? a|a<10,.9-1和2010是關(guān)于乂的不等式x2-2ax+a>0的解集為R的必要不充分條件，故選:BD.10 .已知圓Ci： (x-m) 2+ (y-m) 2 = 2與圓C2： x2+y2 = 8無公共切線，則實數(shù) m的取值可以是()A. - 2C.3D- 2解：,圓 Ci ： (x-m) 2+ (y-m) 2 = 2與圓 C2： x2+y2= 8 無公共切線,圓Ci與圓C2內(nèi)含，圓心距d = d9-0 ) ?+(正-0 ) “士心|m| . . - 1<m<1,故選：BC.11.已知實數(shù)x, y滿足lnx<lny,0< x&

15、lt; y.A. tanx<tany不一定成立，例如取 x=77rV,因此不正確;。因此不正確;C.由(x y)(x2+xy+y2+x+y) <0,可得:x3- y3+x2- y2<0,化為:1+x1+y正確;16>y2+ 左匕2)2 = y2+T > 8當且僅當x=1, y= 2時取等號，因此正確.故選：D.12.如圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，點P為線段AiCi上的動點(點P與Ai , Ci不重合)，則下列說法不正確的是(A. BDXCPB .三棱錐C - BPD的體積為定值C.過P, C, Di三點作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形D. DP

16、與平面AiBiCiDi所成角的正弦值最大為 二解：正方體ABCD-AiBiCiDi中，點P為線段AiCi上的動點，對于A,連接AC,如圖i所示：DtB都 C所以BDXAC,因為 C平面ABCD, BD?平面ABCD,所以CCiXBD,又ACnCCi=C,所以BD,平面ACCiAi,又CP?平面ACCiAi,所以BDXCP,選項A正 確；對于B,設正方體的棱長為a,則三棱錐C- BPD的體積為V三棱錐c-pbd= V三棱錐p-bcd =Sz<3BCD?CCi =，a3是定值，選項B正確；對于C,連接A1C1、B1D1,交于點O,如圖2所示，當點P在OCi上（包括點O）時，則過P, C, D

17、i三點作正方體的截面，截面圖形 DiMC 為三角形；當點P在OAi上（不包括點O）時，則過P, C, Di三點作正方體的截面，截面圖形DiNQC 為梯形，所以選項C正確；對于D,連接AiCi、BiDi,交于點O,如圖3所示，B邸 C由題意知/ DODi是直線DP與平面AiBiCiDi所成角的最大值值，該角的正弦值最大,最大值為不2陋, MV，所以選項D錯誤故選：D.VL，1 +UU a 十°三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線f (x) =lnx+2x在點(1, f (1)處的切線方程為3x-y- 1=0 .解：由已知得f (1) =2,故切點為(1,2),1

18、H，2,故 k=f' (1) =3,切線方程為 y 2=3 (x 1),即 3x- y- 1 = 0.故答案為：3x - y - 1 = 0.222214.寫出一個與橢圓C：標號二有公共焦點的橢圓方程齊耳-二1 (答案不唯一)2222解：與橢圓C：寺七-二1有公共焦點坐標的橢圓系為： 王丁哈丁二1 (入-3),令人=5,即可得到一個與橢圓二1有公共焦點的橢圓方程2 .222故答案為： =，=1 (答案不唯一). 10 315 .在(x2-2x+1) (x+1) 4的展開式中，x5的系數(shù)為 2(用數(shù)字作答)解：(x+1) 4的展開式的通項公式為Tr+1 = Cjx4,又(x2- 2x+1

19、) (x+1) 4 = x2 (x+1) 4 - 2x (x+1) 4+ (x+1) 4, 所以(x2-2x+1) (x+1) 4的展開式中，x5的系數(shù)為C： - 2C? =2.故答案為：2.16 .已知函數(shù)f (x)是定義域在R上的偶函數(shù)，當x0時，fW若關(guān)于x的方程(f (x) ) 2 - (a+1) f (x) +a = 0有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的 取值范圍是(1,最).解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)是定義域在R上的偶函數(shù)，當x > 0時，方式口弓立0<x<E則f (x)的圖象大致如圖：對于方程(f (x) ) 2- (a+1) f (x) +a = 0,變形可得

20、f (x) -af (x) - 1 = 0,即方程有兩個根f (x) =1和f (x) =a,y= f (x)與直線y= 1有且只有2個交點,若關(guān)于x的方程(f (x) )2- (a+1) f (x) +a = 0有且僅有6個不同實數(shù)根，必有y= f (x) 與直線y= a有4個交點，結(jié)合圖象可得：1<a<"|,即a的取值范圍為(1, 1);故答案為：(1,仔).四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17 .已知數(shù)列an中，ai=1,且滿足 an+i = an-2n, 3(1)證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項公式；(2)設

21、Sn為數(shù)列,)的前n項和，求滿足的n的最小值."n 修 nHit【解答】(1)證明：因為b1 = a1+1 =2.所以數(shù)列bn是首項為2,公差為1的等差數(shù)列，所以下TTNiMrar5一玄京k五，解得n>10,所以滿足與卷的n的最小值為10._5 k18.在2acosC=2b-c,與in 今+1,(2b-c) cosA= acosC,這三個條件J中任選一個，補充在下面橫線處，然后解答問題.在4ABC中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知 .(1)求/ A的大小；(2)若4ABC的面積品匕吟，且a = 5,求 ABC的周長.解：(1)若選：2acosC = 2bc,

22、則由正弦定理得 2sinAcosC = 2sin (A+C) - sinC,即 2sinCcosA-sinC= 0,因為 sinCw。，所以8區(qū)K三£,因為0<A<兀，若選：J5Ein（B+C）=ZsiMqE ,則有山港1逑：1-“甘人+1,7TH化簡得2mir式&+彳）=2,可得二L,兀 兀所以a47 w，x故Ap若選：因為（2b-c） cosA=acosC,由正弦定理得（2sinB - sinC） cosA=sinAcosC,即 2sinBcosA= sinCcosA+sinAcosC,所以 2sinBcosA= sinB,因為 0V B< tt,所以

23、sinBw。，可得 ksA二耳因為0<A<兀，故A了.12&V3（2）因為S瞰方所以bc= 25,2 cosA=.22,22 rtr i+ cb +g -25 1因為所以所以(b+c) 2=b2+c2+2bc= 100,即 b+c= 10.所以 ABC的周長為a+b+c=15.19.電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對“中國詩詞大會”的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，其中女性有55名.將日均收看該節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“詩詞迷”， 已知“詩詞迷”中有15名男性，“非詩詞迷”共有75名.(1)根據(jù)已知條件完成下面的2X2列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否有 95%的把握

24、認為是否 為“詩詞迷”與性別有關(guān)？非詩詞迷詩詞迷合計2b c2X25b2+c2 = 50,合計附:,其中 n=a+b+c+d.男女合計將 2X2 列非詩詞迷304575聯(lián)表中的數(shù)詩詞迷151025據(jù)代入公式合計4555100計算，可得100 X(30X 10-45 15)2入 75X25X45X55=1223.030<3. 841 33(2)采用分層抽樣的方式從“詩詞迷”中任意選取 5人進行問卷調(diào)查，若再從這5人中任 意選取2人獎勵詩詞大禮包，用x表示獲得大禮包的男性人數(shù)，y表示獲得大禮包的女性人 數(shù)，設/X-y|,求E的分布列及期望.所以沒有95%的把握認為是否為“詩詞述”與性別有關(guān)；

25、(2)由題意可知，采用分層抽樣的方式從“詩詞迷”中任意選取5人，則男性3名，女性2名，再抽取2人,當 x=2 時，y=0,當 x=1 時，y=1當 x=0 時，y = 2所以己的所有取值為0, 2,3貝卜 ；：上 bP=2>225所以己的分布列為:己0P里5故旌隹 b b d20.如圖，在底面為梯形的四棱錐 P ABCD中，AD/BC, PA= PD = AD = DC = 2BC = 2, CD，平面PAD, Q為AD的中點.(1)證明：AD，平面PBQ；(2)求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.Aj?【解答】(1)證明：因為 PAD為正三角形，Q為AD的中點，所以PQXAD.又 A

26、D/BC, AD=DC=2BC,所以四邊形BCDQ為平行四邊形，所以BQ/CD. 因為CD，平面PAD,所以CDXAD.所以BQXAD.又 PQABQ=Q,所以AD，平面PBQ.(2)解：因為 PQXAD. PQXCD,所以PQL平面ABCD.所以QA, QB, QP兩兩垂直，由題得pq=7s.分別以直線QA, QB, QP為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則 Q (0, 0, 0) , A (1, 0, 0) , B (0, 2, 0) , C ( 1, 20)，PC6T0TV3)死=(-1,2,飛打),AP-(-h 0, W),彘士(T. 2, 0)設m=a, yf力為平面P

27、AB的一個法向量,nrA?=0,由，nr A5=O,-x-h/3z-Or-x+2y-0.取2= 1,則而設直線PC與平面PAB所成的角為9sin6 = |cas'pc> | = |19=38所以直線PC與平面PAB所成角的正弦值為的離心率為(1)求雙曲線C的方程;,且該雙曲線經(jīng)過點烏).(2)設斜率分別為k1，k2的兩條直線11, 12均經(jīng)過點Q (2, 1),且直線11, 12與雙曲線C分別交于A, B兩點(A, B異于點Q),若k1+k2=1,試判斷直線AB是否經(jīng)過定點，若存在定點，求出該定點坐標；若不存在，說明理由.解：(1)由離心率為:二丁，且c2a2+b2,得 c2=

28、3b2, a2 = 2b2,即雙曲線方程為又點pCJL乎)在雙曲線C上,解得 b2=1, a2=2,2b£ 2b鏟1,雙曲線C的方程為(2)當直線AB的斜率不存在時，點A, B關(guān)于x軸對稱,設A (xo, yo) , B (X0, -yo),了口一 "yn-l則由 ki+k2 = 1,得-f-=1,不-2k0-2即三亍E,解得xo=O,不符合題意，故直線AB的斜率存在.X 口 Z不妨設直線AB的方程為y=kx+t,代入卷一產(chǎn)2=,整理得(2k21) x2+4ktx+2t2+2 = 0 (2k2- 10) , > 0.設 A (xi, yi) , B (x2,4kty2

29、),則-二 j2t2+21 五 2二 S2k J由 ki+k2=1,得kx i+t-L即勺-2 ,-2 =1整理得(2k 1) xix2+ (t 2k+1) (xi+x2) 4t=0,(2k'L)，2 土2 +(L2k“)，()-4t=0 21-12k7整理得：t2+ (2k-2) t1+2k=0,即(t1) (t+2k1) = 0,. .t=1 或 t=1 2k.當t=1時，直線AB的方程為y=kx+1,經(jīng)過定點(0, 1);當t=1-2k時，直線AB的方程為y= k (x-2) +1,經(jīng)過定點Q (2, 1),不符合題意. 綜上，直線AB過定點(0, 1).22.已知函數(shù) flQ / 1- A.A.(1)當m