《點(diǎn)集拓?fù)洹?sect;2.4導(dǎo)集,閉集,閉包

1、2.4 號集，閉集，閉包本節(jié)重點(diǎn)：熟練掌握凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、閉集、閉包的概念； 區(qū)別一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉包的概念上的不同； 掌握一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉集或閉包的充要條件; 掌握用“閉集”敘述的連續(xù)映射的充要條件.個(gè)點(diǎn)相對于如果在一個(gè)拓?fù)淇臻g中給定了一個(gè)子集，那么拓?fù)淇臻g中的每一 這個(gè)子集而言“處境”各自不同，因此可以對它們進(jìn)行分類處理.定義 2.4.1 設(shè) X 是一個(gè)拓?fù)鋁.如果點(diǎn)xX的每一個(gè)鄰域U中都有A中異于x的點(diǎn)，即Un (A-x)豐則稱點(diǎn)x是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn)或極限點(diǎn).集合A的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為A的導(dǎo)集，記作d (A).如果xC A并且x不是A的凝聚點(diǎn)，即存在x的一個(gè)鄰則稱 x 為 A域U

2、使彳3UP (A-x)=的一個(gè)孤立點(diǎn).即 :( 牢記 )在上述定義之中，凝聚點(diǎn)、 導(dǎo)集、 以及孤立點(diǎn)的定義無一例外地都依賴于它所在的拓?fù)淇臻g的那個(gè)給定的拓?fù)湟虼耍?當(dāng)你在討論問題時(shí)涉及了多個(gè)拓?fù)涠终劦侥硞€(gè)凝聚點(diǎn)時(shí)，你必須明確你所談的凝聚點(diǎn)是相對于哪個(gè)拓?fù)涠裕蝗菰S產(chǎn)生任何混淆由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于給定拓?fù)涞模?因此類似于這里談到的問題今后幾乎時(shí)時(shí)都會發(fā)生，我們不每次都作類似的注釋，而請讀者自己留心某些讀者可能已經(jīng)在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念，但絕不要以為對歐氏空間有效的性質(zhì)，例如歐氏空間中凝聚點(diǎn)的性質(zhì)，對一般的拓?fù)淇臻g都有效以下兩個(gè)例子可以幫助讀者澄清某些

3、不正確的潛在印象例 2.4.1 離散空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集設(shè)X是一個(gè)離散空間，A是X中的一個(gè)任意子集.由于X中的每一個(gè)單點(diǎn)集 都是開集，因此如果xCX ,則 X有一個(gè)鄰域x,使得，以上論證說明，集合A沒有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，從而 A的導(dǎo)集是空集，即 d (A)=例 2.4.2 平庸空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集設(shè)X是一個(gè)平庸空間，A是X中的一個(gè)任意子集.我們分三種情形討論:第 1 種情形： A= 任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，亦即d（ A） =.這時(shí)A顯然沒有2.4.1 中第（ l ）條的證明）第 2 種情形：A是一個(gè)單點(diǎn)集，令 如 果 xCXxw，點(diǎn)x只有惟一的一個(gè)鄰域X,這，所以;因此x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，即x

4、e d(A).然而對于X 有：所以d( A) =X-A第3種情形：A包含點(diǎn)多于一個(gè).請讀者自己證明這時(shí) X中的每一個(gè)點(diǎn)都是 A的凝聚點(diǎn)，即d (A) =X.定 理 2.4.1 設(shè) X 是 一 個(gè) 拓 撲 空 間 ，X.則l)d( (a) pn (w) p = (anv) p (e) (a) pw （乙）(4) d (d (A) )AU d (A)證明 (1)由于對于任何一點(diǎn)xCX和點(diǎn)x的任何一個(gè)鄰域U,有unB 如 果2) 設(shè) A這 證 明 了 d（ A）d（ B）3）根據(jù)2），因?yàn)锳， BAU B,所以有 d A），d B）d (AU B),從而 d (A) U d (B)d (AU B)另

5、一方面，如果綜上所述，可見（3）成立（ 這是證明一個(gè)集合包含于另一個(gè)集合的另一方法 :要 證,只 要 證4）設(shè)：4）成立定 義 2.4.2設(shè) X 是一個(gè)拓?fù)淇臻gX.如果A的每一個(gè)凝聚點(diǎn)都屬于A,即d (A)A,則稱A是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)閉集例如， 根據(jù)例 2.4.l 和例 2.4.2 中的討論可見，離散空間中的任何一個(gè)子集都是閉集，而平庸空間中的任何一個(gè)非空的真子集都不是閉集定 理 2.4.2個(gè)拓?fù)淇臻gX,則A是一個(gè)閉集，當(dāng)且僅當(dāng)A的補(bǔ)是一個(gè)開集證明 必要性：設(shè)A 是一個(gè)閉集一個(gè)閉集充分性：設(shè)：即A是一個(gè)閉集例2.4.3實(shí)數(shù)空間R中作為閉集的區(qū)間.設(shè)a, bCR, a0,存在yCA使得p (x

6、, y) e ,換言之即是：對于任意 B (x, ,而這又等價(jià)于:有 B (x, e ) PAW對于x的任何一個(gè)鄰域 U有Un AW應(yīng)用以上討論立即得到定理2.4.9設(shè)A是度量空間（X, P）中的一個(gè)非空子集.則(1) xCd (A)當(dāng)且僅當(dāng) p (x, A-x ) =0;xC當(dāng)且僅當(dāng)P (x, A) =0.以下定理既為連續(xù)映射提供了等價(jià)的定義，也為驗(yàn)證映射的連續(xù)性提供了另外的手段定理2.4.10設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X -Y.則以下條件等價(jià)：( l ) f 是一個(gè)連續(xù)映射；(2 ) Y 中的任何一個(gè)閉集 B 的原象(B) 是一個(gè)閉集；(3)對于X中的任何一個(gè)子集A, A的閉包的象包含于A的象的閉包，即?(4)對于Y中的任何一個(gè)子集B, B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即1)，是X中的一個(gè)開集，因此一個(gè)閉集則是一個(gè)開集，因此根據(jù) 一個(gè)開集，因此根據(jù)(B)是X中的一個(gè)閉集（2） 蘊(yùn)涵（3）設(shè)AX.由于f (A)成立根據(jù)（ 2），(3) 蘊(yùn) 涵 (4) 設(shè) AY 集 合X應(yīng)用（3）即得(B)（4）蘊(yùn)涵（l）