復(fù)變函數(shù)與積分變換公式

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換公式Document serial numberUU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)提綱（一）復(fù)數(shù)的概念1 .復(fù)數(shù)的概念：z = x+iy, x,y是實(shí)數(shù),x = Re（z）,y = Im（z）.產(chǎn)=-1 .注：兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小.2 .復(fù)數(shù)的表示1）模：因="不2）幅角：在zwO時(shí)，矢量與尤軸正向的夾角，記為A，x（z）（多值函數(shù)）；主值 arg（z）是位于（一r4中的幅角。3 ） arg（z）與arctan）之間的關(guān)系如下：當(dāng) x > 0, arg z = arctan ；xy > 0, arg z = arctan +

2、/r當(dāng) x<。/A ;yy < 0. arg z = arctan 二一%4）三角表示：z = M（cose+isin8）,其中6 = argz；注：中間一定是“ + ”號(hào)。5）指數(shù)表示：z=|z|-其中"argz。（二）復(fù)數(shù)的運(yùn)算1 .加減法：若 Z=再 +/>!，z2 =x2+iy2» 貝lj 4 土與=（x1±x2） + Z（y1±y2）2 .乘除法：1）若 = 4 + iyrZ2 =x2+ iy2,則Z& =（內(nèi)一），2）+，（,+為刈）；& _ 一 +必 _ （% +一）（/一必）_再七 + y）2 ,；）供一

3、司4 %+»2 （&+帆）（看一名）考+貢 石+£2）若a =|訃3e=|q忖"，則3.乘塞與方根1)若 z = | z| (cos 0+i sin 6)='忖'，則 z" = |z|" (cos nG + i sin nd) = | ze"冶。2)若z = |W(cos6+isin8) = hk% 則VF=印0$8 + ”+刖1(攵=0,2.-1)(有個(gè)相異的值)（三）復(fù)變函數(shù)1 .復(fù)變函數(shù)：W = /（Z），在兒何上可以看作把Z平面上的一個(gè)點(diǎn)集。變到“，平面上的一個(gè)點(diǎn)集G的映射.2 .復(fù)初等函數(shù)1）指數(shù)函數(shù)

4、：ez =<?' （cosy + Zsiny）,在z平面處處可導(dǎo)，處處解析；且注：，是以2疝為周期的周期函數(shù)。（注意與實(shí)函數(shù)不同）3）對(duì)數(shù)函數(shù)：Liiz. = In| + Z（argz + 2krr） （k=0,±l,±2）（多值函數(shù)）；主值：lnz = h1|z| + iargz。（單值函數(shù)）力區(qū)的每一個(gè)主值分支Inz在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處解析，且（勿z） =-；注：負(fù)復(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)存在。（與實(shí)函數(shù)不同）（ZH0）且（行3）乘塞與塞函數(shù)：/=/.（。工0）；注：在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處解析，A 一"工嶺 .e -ee' +e

5、 '44） 二用函數(shù)：sin z = ,cosz = -,t gz =Cgz =-2/2cosz sinzsinz,cosz在 z 平面內(nèi)解析，且（sinz）' = cosz,（cosz）' =-sinz .I *注：有界性卜inz|<ljcosz|l不再成立；(與實(shí)函數(shù)不同)4)雙曲函數(shù) shz =-,chz = <一； 22shz奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。成,c板在z平面內(nèi)解析,且(shz)' = chz, chz)' = shz。(四)解析函數(shù)的概念1 .復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1)點(diǎn)可導(dǎo)：/卜。)= Hm ")+&)"

6、)； v 07 工一。M2)區(qū)域可導(dǎo)：/(z)在區(qū)域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)。2 .解析函數(shù)的概念1)點(diǎn)解析:/(z)在z。及其z。的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，稱z)在z。點(diǎn)解析；2)區(qū)域解析：z)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)解析，稱/(z)在區(qū)域內(nèi)解析；3)若/(z)在Z。點(diǎn)不解析，稱z°為/(z)的奇點(diǎn)；3 .解析函數(shù)的運(yùn)算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn))仍為解析函數(shù)；解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；(五)函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件1.函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：f(z) = (x, y)+iy(x, y)在z = x+iy可導(dǎo)0”內(nèi)，)和")在(2)可微，且在«)，)處滿足c-o條件：du d

7、v du dv = =- dx 獷 dy dx此時(shí)，有廣(z) =包+邑。7 dx dx2.函數(shù)解析的充要條件：z) = (x,y)+，y(x,y)在區(qū)域內(nèi)解析<=>和y(x,)，)在(x,y)在。內(nèi)可微，且滿足條件：du _ dv du _ _ 加dx 獷 dy dx '此時(shí)廣(z)4+嚀 ox ox:若(x, y), y (x, y)在區(qū)域。具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則(x, y), y (x, y)在區(qū)域£)內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時(shí)，只要能說(shuō)明/具有一階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足C-R條件時(shí)，函數(shù)/(z) = + 2一定是可導(dǎo)或解析的。3.函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法

8、1)利用定義 (題目要求用定義，如第二章習(xí)題1)2)利用充要條件(函數(shù)以"z)=(K)，)+ii，«)，)形式給出，如第二章習(xí)題2)3)利用可導(dǎo)或解析函數(shù)的四則運(yùn)算定理。(函數(shù)/(z)是以z的形式給出，如第二章習(xí)題3)(六)復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)1 .復(fù)變函數(shù)積分的概念："叱妙正"媒陽(yáng)，c是光滑曲線。注：復(fù)變函數(shù)的積分實(shí)際是復(fù)平面上的線積分。2 .復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)1)1/(z)4z = -J(z)"z(1 與c 的方向相反)；2 ) J a/(z)+%(z)Mz = ajj汽+& g尸是常數(shù);3)若曲線c,由g與c2連接而成，則=

9、1/(z”z + /(z)"z。''I23 .復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算法1)化為線積分：£ f(z.)dz. = j udx-vdy + i j vdx + udy ；(常用于理論證明)2)參數(shù)方法：設(shè)曲線c： z = Z(/)(a«Y0，其中。對(duì)應(yīng)曲線c的起點(diǎn)，/對(duì)應(yīng) 曲線c的終點(diǎn)，則J /(z”z =加N。)， o(七)關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論1 .柯西一古薩基本定理：設(shè)“Z)在單連域8內(nèi)解析，C為8內(nèi)任一閉曲線，則 0/(z)“z = O C2 .復(fù)合閉路定理： 設(shè)z)在多連域。內(nèi)解析，c為。內(nèi)任意一條簡(jiǎn)單閉曲 線，C”是C內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲

10、線，它們互不包含互不相交，并且以 弓勺，?！睘檫吔绲膮^(qū)域全含于。內(nèi)，貝1J(z)"z =乞0/卜)以，其中c與q均取正向；$/(z)dz = O，其中由c及c-9= 1,2,)所組成的復(fù)合閉路。 r3 .閉路變形原理： 一個(gè)在區(qū)域。內(nèi)的解析函數(shù)沿閉曲線，的積分，不 因c在。內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過(guò)程中c不經(jīng)過(guò)使“Z)不 解析的奇點(diǎn)。4 .解析函數(shù)沿非閉曲線的積分：設(shè)z)在單連域8內(nèi)解析，G(z)為/(z)在8 內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則"(z>/z=G(Z2)-G(zJ(gwB)說(shuō)明：解析函數(shù)/(z)沿非閉曲線的積分與積分路徑無(wú)關(guān)，計(jì)算時(shí)只要求出原 函數(shù)即可。5

11、?？挛鞣e分公式：設(shè)在區(qū)域。內(nèi)解析，c為。內(nèi)任一正向簡(jiǎn)單閉曲線，c 的內(nèi)部完全屬于。，為c內(nèi)任意一點(diǎn)，則0 ,(、)元=2型億)z -6 .高階導(dǎo)數(shù)公式：解析函數(shù)z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的階導(dǎo)數(shù)為 。號(hào)加""*"I')其中C為/(z)的解析區(qū)域。內(nèi)圍繞Z。的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，而且它的內(nèi) 部完全屬于。7 .重要結(jié)論:f7 = "蜂-嚴(yán)彩;”屋是包含”的任意正向簡(jiǎn)單閉曲線）8 .復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法1）若/（z）在區(qū)域。內(nèi)處處不解析，用一般積分法J2）設(shè)“z）在區(qū)域。內(nèi)解析,c是。內(nèi)一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則由柯西一古薩定理，jf（z）dz =

12、Oc是。內(nèi)的一條非閉曲線，馬,馬對(duì)應(yīng)曲線c的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則有J /血可"（名）血=蟲2）-尸（zj3）設(shè)z）在區(qū)域。內(nèi)不解析= 2后 f（4）曲線c內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)：（/在c內(nèi)解析）（£ /什也/（”，曲線c內(nèi)有多于一個(gè)奇點(diǎn)：0z）dz=t©/（z）4z （q內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)Z«）或：0/（z）dz = 2;ri£Res"（z）,zJ （留數(shù)基本定理） cZ若被積函數(shù)不能表示成上二，則須改用第五章留數(shù)定理來(lái)計(jì)算。 （Z Z0嚴(yán)（八）解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1 .調(diào)和函數(shù)的概念：若二元實(shí)函數(shù)°*,），）在。內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足

13、察+察=0,6廠 6廠O（x,y）為。內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。2 .解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)/（z） = +N的實(shí)部與虛部y都是調(diào)和函數(shù)，并稱虛部了為實(shí)部的共輾調(diào)和函數(shù)。兩個(gè)調(diào)和函數(shù)與箕構(gòu)成的函數(shù)/（z） = "+iu不一定是解析函數(shù)；但是若加如果滿足柯西一黎曼方程，則十八，一定是解析函數(shù)。3 .已知解析函數(shù)的實(shí)部或虛部，求解析函數(shù)/（z） = +»的方法。1）偏微分法：若已知實(shí)部 = «），），利用C-R條件，得爸f ; dx oy對(duì)之=兩邊積分,得y = J券，y+g（x）（*）再對(duì)（*）式兩邊對(duì)工求偏導(dǎo)，得捻*；俗小/3 （*）由 C-R 條件，,得史 =f

14、包dv + g'（x）,可求出 g（x）；3y dx dy dxV dx ' J .，代入（*）式，可求得 虛部吁J*/），+ g（x）。2）線積分法：若已知實(shí)部 = （x,y）,利用C-R條件可得. 切, dv . du . du .dv = dx + clx = dx Hu v ,dx dy dy dx ' 故虛部為丫=' -"/x + «4V + c；J14.%） dy dx由于該積分與路徑無(wú)關(guān)，可選取簡(jiǎn)單路徑（如折線）計(jì)算它，其中（土,），0）與 （X,），）是解析區(qū)域中的兩點(diǎn)。du3）不定積分法：若已知實(shí)部 =（乂），），根據(jù)解析函

15、數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和C-R條件 得知， du .dv du f (z) =+ i = ')dx 於 dx將此式右端表示成z的函數(shù)u（z）,由于廣仁）仍為解析函數(shù)，故 注：若已知虛部I，也可用類似方法求出實(shí)部./(%)=,(+ C（C為實(shí)常數(shù)）（九）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.復(fù)數(shù)列的極限1）復(fù)數(shù)列% = "+血（ = 1,2）收斂于復(fù)數(shù)。=+罰的充要條件為 lim an = a,=b（同時(shí)成立）2）復(fù)數(shù)列%收斂O實(shí)數(shù)列qj,但同時(shí)收斂。2,復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)3000001）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)£4（%=勺+以）收斂的充要條件是級(jí)數(shù)“與£勿同時(shí)收斂； /!-（n-0/I-02）級(jí)數(shù)收斂的必要條件

16、是lim% =0。注：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可以歸納為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題的討論。（十）幕級(jí)數(shù)的斂散性1 .寨級(jí)數(shù)的概念：表達(dá)式Z。）”或£c.z"為幕級(jí)數(shù)。 H-0H-02 .幕級(jí)數(shù)的斂散性1）幕級(jí)數(shù)的收斂定理一阿貝爾定理（Abel）：如果哥級(jí)數(shù)f c”z”在z。，。處收/|-0斂，那么對(duì)滿足|z|v|z0|的一切Z,該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；如果在Z。處發(fā)散，那么 對(duì)滿足的一切Z,級(jí)數(shù)必發(fā)散。2）暴級(jí)數(shù)的收斂域一圓域辱級(jí)數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對(duì)收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能 收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法如果lim|%±|

17、 = 4w0,則收斂半徑R = _l；根值法lim歷=4工0 ,則收斂半徑R=-;如果2 = 0,則R = s；說(shuō)明在整個(gè)復(fù)平面上處處收斂；如果幾=8,則R = 0；說(shuō)明僅在2 =20或Z = o點(diǎn)收斂；注：若基級(jí)數(shù)有缺項(xiàng)時(shí)，不能直接套用公式求收斂半徑。（如3 .幕級(jí)數(shù)的性質(zhì)1）代數(shù)性質(zhì)：設(shè)£>/,£/的收斂半徑分別為與與號(hào),記R=疝（4，&）, “0句則當(dāng)|z|vR時(shí)，有£ （叫+%）z" =a£%z" +夕£叱 （線性運(yùn)算） «）/!»0（X 4 z" ）（X a z"

18、;）= Z （岫）+ a“_Mi + + aob）zn（乘積運(yùn)算）一）-0.（）2）復(fù)合性質(zhì)：設(shè)當(dāng)用<廠時(shí)，劣=£。房"，當(dāng)|z|<R時(shí)，g = g（z）解析且/|-0|g（z）|r,則當(dāng)|z|vR時(shí)，fg(z) = tang(Z)". 03）分析運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)幕級(jí)數(shù)£q,z"的收斂半徑為RW0,則 -0其和函數(shù)z） = f%z"是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù); “0在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，收斂半徑不變；且r（z） = f>q£|z|vR在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求積收斂半徑不變；J"（山z=懸/同R（十一）幕函數(shù)的泰勒

19、展開1.泰勒展開：設(shè)函數(shù)“Z）在圓域內(nèi)解析，則在此圓域內(nèi)“Z）可以展開成鼎級(jí)數(shù)/卜）=£八億）/I-0/:!（Z-Z。）"；并且此展開式是唯一的。注：若“Z）在Z。解析，則“Z）在Z。的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑R = zo-a;其中R為從z。到/（z）的距z。最近一個(gè)奇點(diǎn)。之間的距離。2.常用函數(shù)在4=0的泰勒展開式1)/=£匕"=i+z+三+二+二+白！2! 3!！2)1 x = 'z = l + z + z2+z+ 1-Z七同13)sin z=£上J-+ £(2 + 1)!3! 5!(-D忖s4)8 / _ n24C

20、OS Z = Z2n = 1- -+ -F£(2)！2! 4!?)!kloc3.解析函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法1)182)直接法：直接求出,于是/（z） = Z%（z-Z。）"。 n-0間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開式及幕級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算和逐項(xiàng) 求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法將函數(shù)展開。（十二）塞函數(shù)的洛朗展開1.洛朗級(jí)數(shù)的概念：£c”（z-zj,含正幕項(xiàng)和負(fù)累項(xiàng)。3C2,洛朗展開定理：設(shè)函數(shù)/（）在圓環(huán)域?yàn)椴?2。|用內(nèi)處處解析，。為圓環(huán)域內(nèi)繞Z。的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內(nèi)，有Z）=£c”（"Z。）"，且展開式唯一。3.

21、解析函數(shù)的洛朗展開法：洛朗級(jí)數(shù)一般只能用間接法展開。*4.利用洛朗級(jí)數(shù)求圍線積分：設(shè)/（z）在，y|z-Zo|<R內(nèi)解析，。為廠<卜-叫<火內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則由= 2加。其中J為/（z）在r<|z-JvH內(nèi)洛朗展開式中丁的系數(shù)。二 一 Z。說(shuō)明：圍線積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展開式中（Z-Z。尸的系數(shù)。（十三）孤立奇點(diǎn)的概念與分類lo孤立奇點(diǎn)的定義：在z。點(diǎn)不解析，但在z°的0<匕-4<6內(nèi)解析。2。孤立奇點(diǎn)的類型：1）可去奇點(diǎn)：展開式中不含Z-Z0的負(fù)轅項(xiàng)；/（Z）= Co+G（Z-Z（） + C2（Z-Zo+一2）極點(diǎn)：展開式中含

22、有限項(xiàng)Z-Z。的負(fù)轅項(xiàng)；f = F + c。+q（z-Zo） + c,（Z-Zo）： +=-'、（二）一, （z-zj"（Z-Z。嚴(yán)（Z-4）。I Q -（Z z。）"'其中 g（z） = j + Jm_D（Z-q）+ J（Z-q）"I +C0（Z Zo）" + 在 Zo 解析，且 g（4）RQmNLj 工。；3）本性奇點(diǎn)：展開式中含無(wú)窮多項(xiàng)Z-Z。的負(fù)幕項(xiàng)；/（?） = C一i（z-zj”十 +-zL + c（）+q（z_Zo ） + +J （z - Z。）'” + （Z-Z°）（十四）孤立奇點(diǎn)的判別方法1 .可去奇點(diǎn)

23、：lim/（z） = c（）常數(shù);2 .極點(diǎn)：lim/（z） = 83 .本性奇點(diǎn)：不存在且不為o4 .零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1)零點(diǎn)的概念：不恒為零的解析函數(shù)“Z)，如果能表示成/(z) = (z-Zo)"3(z)， 其中夕(z)在Zo解析，夕(玄),0,7為正整數(shù)，稱Zo為f(Z)的小級(jí)零點(diǎn);2)零點(diǎn)級(jí)數(shù)判別的充要條件5 .0 是 /(z)的 m 級(jí)零,H <=> <,小)工。3)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系：Z。是/卜)的?級(jí)零點(diǎn)u>Zo是1的，級(jí)極點(diǎn)；J4)重要結(jié)論若z =。分別是9(z)與(z)的?級(jí)與級(jí)零點(diǎn)，則Z =。是" (Z)的? + 級(jí)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，Z

24、 = 4是史的7-級(jí)零點(diǎn)； (z)當(dāng)? < 時(shí)，Z =。是"的?級(jí)極點(diǎn)；(z)當(dāng)?= 時(shí)，z = n是史的可去奇點(diǎn)；當(dāng)1W時(shí)，z = a 是夕(z) + (z)的/級(jí)零點(diǎn)，/ = min(?,)當(dāng)?= 時(shí)，z = 是夕(z)+(z)的/級(jí)零點(diǎn),其中/之】()(十五)留數(shù)的概念1.留數(shù)的定義：設(shè)Z。為“Z)的孤立奇點(diǎn)，/(z)在Z。的去心鄰域0<|z-z0|vb內(nèi)解析，c為該域內(nèi)包含Z。的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線，則稱積分二dz”z為 2/r”uz)在z。的留數(shù)(或殘留)，記作Res"(z),z= 5©/(zWz2.留數(shù)的計(jì)算方法若Z。是f(Z)的孤立奇點(diǎn)，則

25、ReWf(Z),Z<J = c_,其中j為/(z)在Z0的去 心鄰域內(nèi)洛朗展開式中(z-z。尸的系數(shù)。1)可去奇點(diǎn)處的留數(shù)：若Zo是/(z)的可去有點(diǎn)，則ReM/(z),zJ = O2) ，級(jí)極點(diǎn)處的留數(shù)法則I 若Z。是“Z)的，級(jí)極點(diǎn)，則1(jm-lRM")十記第R(z - W(z)特別地,若 Zo是f(Z)的一級(jí)極點(diǎn),則 Res"(z),zJ= lim("4)/(z)注：如果極點(diǎn)的實(shí)際級(jí)數(shù)比“低，上述規(guī)則仍然有效。法則 n 設(shè)=P(Z),Q(Z)在 Zo 解析，尸(Zo)wo,QG)=°'Q'G)=°'則Res耦"=資(十六)留數(shù)基本定理設(shè) Z)在區(qū)域。內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)卬Z2,Z”外處處解析，C為。內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則由/ (z) dz = 2川2 Re sf(z), Zn-1說(shuō)明：留數(shù)定理把求沿簡(jiǎn)單閉曲線積分的整體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)“Z)在C 內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的局部問(wèn)題。積分變換復(fù)習(xí)提綱一、傅里葉變換的概念W)l= f(t)e-jwldt = F(w) J -XF ()e""da) = fQ)尸叱=上2乃二、幾個(gè)常用函數(shù)的傅里葉變換/+加 F«(r)=+ 乃3(3) js 中(，) =1 網(wǎng)1 =