高考數(shù)學總復習之最值問題專題

1、專題最值問題【考點聚焦】考點1：向量的概念、向量的加法和減法、向量的坐標運算、平面向量的數(shù)量積.考點2：解斜三角形.考點3：線段的定比分點、平移.考點4：向量在平面解析幾何、三角、復數(shù)中的運用.考點5：向量在物理學中的運用.【自我檢測】1、求函數(shù)最值的方法：配方法，單調(diào)性法，均值不等式法，導數(shù)法，判別式法，三角函數(shù)有界性，圖象法，2、求幾類重要函數(shù)的最值方法；（1）二次函數(shù)：配方法和函數(shù)圖像相結(jié)合；（2）:均值不等式法和單調(diào)性加以選擇；（3）多元函數(shù)：數(shù)形結(jié)合成或轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).3、實際應用問題中的最值問題一般有下列兩種模型：直接法，目標函數(shù)法(線性規(guī)劃，曲函數(shù)的最值)【重點難點熱點】問題1：

2、函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題是其他最值問題的基礎之一，許多最值問題最后總是轉(zhuǎn)化為函數(shù)(特別是二次函數(shù))的最值問題.求函數(shù)最值的方法有：配方法、均值不等式法、單調(diào)性、導數(shù)法、判別式法、有界性、圖象法等.例1：(02年全國理1) 設a為實數(shù)，（1）討論的奇偶性；（2）求的最小值思路分析：(1)考察與是否具有相等或相反的關系；或從特殊情形去估計，再加以驗證(2)二次函數(shù)的最值解，一般借助于二次函數(shù)的圖像，當對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系不確定，則需分類討論(1)解法一：(利用定義)，若都不成立，故不是奇函數(shù)；若為偶函數(shù)，則，即此等式對恒成立，只能是故時，為偶數(shù)；時，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)解法二：(

3、從特殊考慮) 又，故不可能是奇函數(shù)若，則，為偶函數(shù)；若，則，知，故在時，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)（2）當時，由二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)知：若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在上的最小值為；若，函數(shù)在上的最小值為，且當時，函數(shù)若，函數(shù)在上的最小值為，且；若，函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)函數(shù)在上的最小值為綜上所述，當時，函數(shù)的最小值是；當時，函數(shù)的最小值為；當時，函數(shù)的最小值是點評：1研究函數(shù)奇偶性的關鍵是考察函數(shù)的定義域是否關于原點對稱以及與是否具有相等或相反的關系；或從特殊情形去估計，再加以驗證2二次函數(shù)的最值解，一般借助于二次函數(shù)的圖像當對稱軸與所給定義域區(qū)間的相對位置關系不確定，則需分類討論3本題根

4、據(jù)絕對值的定義去絕對值后，變形為分段函數(shù)，分段函數(shù)的最值，有些同學概念不清，把每段函數(shù)的最小值都認為是整個函數(shù)的最小值，從而出現(xiàn)了一個函數(shù)有幾個最小值的錯誤結(jié)論演變1：（05年上海）已知函數(shù)f(x)=kx+b的圖象與x、y軸分別相交于點A、B,(、分別是與x、y軸正半軸同方向的單位向量), 函數(shù)g(x)=x2x6(1)求k、b的值;(2)當x滿足f(x)> g(x)時,求函數(shù)的最小值點撥與提示：由f(x)> g(x)得x的范圍，x+2+5，用不等式的知識求其最小值演變2：（05年北京卷）已知函數(shù)f(x)=x33x29xa（I）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（II）若f(x)在區(qū)間2，2

5、上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值點撥與提示：本題用導數(shù)的知識求解問題2：三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何中的最值問題將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用求函數(shù)最值的方法求解例2：（05年上海）點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，（1）求點P的坐標；（2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值思路分析：將d用點M的坐標表示出來，然后求其最小值解：（1）由已知可得點A(6,0),F(0,4)設點P(,),則=+6, ,=4, ,由已知可得，則2+918=0,解得=或=6由于>0,只能=,于是=點P的坐標是(,

6、) (2) 直線AP的方程是+6=0設點M(,0),則M到直線AP的距離是于是=,又66,解得=2橢圓上的點(,)到點M的距離有,由于66, 當=時,d取得最小值演變3：xy（05年遼寧）如圖，在直徑為的圓中，作一關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中() 將十字形的面積表示為的函數(shù)；()為何值時，十字形的面積最大？最大面積是多少？點撥與提示：將十字型面積S用變量表示出來，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的極值問題，利用三角函數(shù)知識求出S的最大值問題3：最值的實際應用OO1在數(shù)學應用性問題中經(jīng)常遇到有關用料最省、成本最低、利潤最大等問題，可考慮建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值例3：（06年江蘇卷）請您設計一個

7、帳篷它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？思路分析：將帳蓬的體積用x表示（即建立目標函數(shù)），然后求其最大值解：設OO1為，則由題設可得正六棱錐底面邊長為：，（單位：）故底面正六邊形的面積為：=，（單位：）帳篷的體積為：（單位：）求導得令，解得（不合題意，舍去），當時，為增函數(shù)；當時，為減函數(shù)當時，最大答：當OO1為時，帳篷的體積最大，最大體積為點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力演變4（05年湖南）對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗，清洗前其清

8、潔度（含污物體的清潔度定義為：）為0.8，要求洗完后的清潔度是0.99有兩種方案可供選擇方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)樵O用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是，其中是該物體初次清洗后的清潔度（1）分別求出方案甲以及時方案乙的用水量，并比較哪一種方法用水量較?。?）若采用方案乙，當為某定值時，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最少？并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響點撥與提示：設初次與第二次清洗的用水量分別為與，于是+，利用均值不等式求最值問題4：恒成立問題不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問

9、題f(x)m恒成立，即m；f(x)<m恒成立，即<m例4、已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）若對任意恒成立，試求實數(shù)的取值范圍思路分析：f(x)0恒成立，即0解：（1）當時，在區(qū)間上為增函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（也可用定義證明在上是減函數(shù)）（2）在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3即點評：1（1）中，這類函數(shù)，若，則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號是否成立，即用均值不等式來求最值時，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可2求函數(shù)的最小值的三種通法：利均值不等式，函數(shù)單調(diào)性，二次函數(shù)的配方法在本題中都得到了體現(xiàn)演變5：已知函數(shù)，其中

10、0<a<4（）將的圖像向右平移兩個單位，得到函數(shù)，求函數(shù)的解析式；（）函數(shù)與函數(shù)的圖像關于直線對稱，求函數(shù)的解析式；（）設，已知的最小值是，且，求實數(shù)的取值范圍點撥與提示：（）的實質(zhì)就是恒成立，利用均值不等式或轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)知識求它的最小值問題五：參數(shù)的取值范圍問題參數(shù)范圍的問題，內(nèi)容涉及代數(shù)和幾何的多個方面，綜合考查學生應用數(shù)學知識解決問題的能力在歷年高考中占有較穩(wěn)定的比重解決這一類問題，常用的思想方法有：函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合等例5設直線過點P（0，3）且和橢圓順次交于A、B兩點，求的取值范圍思路分析：=要求的取值范圍，一是構(gòu)造所求變量關于某個參數(shù)（自然的想到“直線AB的斜率k”）

11、的函數(shù)關系式（或方程），通過求函數(shù)的值域來達到目的二是構(gòu)造關于所求量的一個不等關系，由判別式非負可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在于不是關于的對稱式 問題找到后，解決的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關于的對稱式：由此出發(fā)，可得到下面的兩種解法解法1:當直線垂直于x軸時，可求得;當與x軸不垂直時，設，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 由橢圓關于y軸對稱，且點P在y軸上，所以只需考慮的情形當時，所以 =由, 解得 ，所以，即解法2:設直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則，令，則，在（*

12、）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以 ，解得 結(jié)合得綜上，點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法演變6：已知函數(shù)，（）求的單調(diào)區(qū)間和值域；（）設，函數(shù)，若對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍點撥與提示：利用導數(shù)知識求解專題小結(jié)1函數(shù)的最值問題是其他最值問題的基礎之一，許多最值問題最后總是轉(zhuǎn)化為函數(shù)(特別是二次函數(shù))的最值問題求函數(shù)最值的方法有：配方法、均值不等式法、單調(diào)性、導數(shù)法、判別式法、有界性、圖象法等2三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何中的最值問題，往往將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利

13、用求函數(shù)最值的方法或基本不等式法求解3在數(shù)學應用性問題中有關用料最省、成本最低、利潤最大等問題，可考慮建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值4不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題f(x)m恒成立，即m；f(x)<m恒成立，即<m5參數(shù)范圍問題內(nèi)容涉及代數(shù)和幾何的多個方面，鑰解題的關鍵不等關系的建立，其途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等解決這一類問題，常用的思想方法有：函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合等【臨陣磨槍】一 選擇題1拋物線上的點到直線距離的最小值是（ ）ABCD2（05福建卷）設的最小值是（）ABC3D3（06年江西）P是雙曲線的右支上一點，

14、M、N分別是圓（x5）2y24和（x5）2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為（ ）A 6 B7 C8 D94（06年福建）已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是 （ ）ABCD5當時，函數(shù)的最小值為（）A2BC4D6（05天津卷）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）AB CD7.（06年江西）若不等式x2ax1³0對于一切xÎ（0，）成立，則a的取值范圍是（ ）A0 B2 C- D-38.(05年重慶)若x，y是正數(shù)，則的最小值是（）A3BC4D二 填充題9.已知定點A、B且|AB|=4，動

15、點P滿足|PA|PB|=3，則|PA|的最小值是_10.(05上海)若滿足條件，則的最大值是_.11.（06年江西卷）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，ÐACB90°，AC6，BCCC1，P是BC1上一動點，則CPPA1的最小值是_12.對于滿足的一切實數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是三 計算題13（06年全國卷I）的三個內(nèi)角為，求當A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值14 (05年重慶卷)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且(其中O為原點)，求k的取值

16、范圍15 (05天津)已知，設：和是方程的兩個實根，不等式對任意實數(shù)恒成立；：函數(shù)在上有極值求使正確且正確的的取值范圍16（06年江西）如圖，橢圓Q：（a>b>0）的右焦點F（c，0），過點F的一動直線m繞點F轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于A、B兩點，P是線段AB的中點（1） 求點P的軌跡H的方程（2） 在Q的方程中，令a21cosqsinq，b2sinq（0<q£ ），確定q的值，使原點距橢圓的右準線l最遠，此時，設l與x軸交點為D，當直線m繞點F轉(zhuǎn)動到什么位置時，三角形ABD的面積最大？參考答案1A提示：設拋物線上動點為P(x,-x2)，所以2C提示：a=,b=,則a+b=

17、3sin(),其中,的最小值為33B提示：設雙曲線的兩個焦點分別是F1（5，0）與F2（5，0），則這兩點正好是兩圓的圓心，當且僅當點P與M、F1三點共線以及P與N、F2三點共線時所求的值最大，此時|PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）10194C提示：依題意 ，結(jié)合，得5C提示：，當且僅當，即時，取“”，存在使，這時6B提示：記，則，當時，要使得是增數(shù)，則需有恒成立，所以矛盾，排除C、D；當時，要使得是增數(shù)，則需有恒成立，所以，排除A本題答案選B7C提示：設f（x）x2ax1，則對稱軸為x若³即a£1時，則f（x）在0，上是減函數(shù)，應有f（）³0

18、2;£x£1；若£0即a³0時，則f（x）在0，上是增函數(shù)，應有f（0）1>0恒成立，故a³0；若0££即1£a£0，則應有f（）恒成立，故1£a£0綜上，有£a故選C8C提示：2(x+)(y+)8=4當且僅當,得x=y=時等號成立,選(C)93.5 提示：點P在以A,B為焦點,2a=3的雙曲線的右支上,|PA|的最小值為1.5+2=3.5C1CBA110.11提示：求的最大值，即求軸上的截距最大值，由圖可知，過點（1，2）時有最大值為11.11.提示：連A1B，沿BC

19、1將CBC1展開與A1BC1在同一個平面內(nèi)，如圖所示，連A1C，則A1C的長度就是所求的最小值通過計算可得ÐA1C1C90°又ÐBC1C45°,ÐA1C1C135° 由余弦定理可求得A1C12.提示：將視為主元，設，則當時，>0恒成立等價于：即,解得13記（）則原問題等價于求在上的最大值當時，即時，f(t)取得最大值14解：（）設雙曲線方程為由已知得故雙曲線C的方程為（）將由直線l與雙曲線交于不同的兩點得即設，則而于是由、得故k的取值范圍為15 解 ()由題設和是方程的兩個實根，得+且2，所以，當Î-1,1時，的最大值

20、為9，即£3由題意，不等式對任意實數(shù)Î-1,1恒成立的m的解集等于不等式的解集由此不等式得，或不等式的解為，不等式的解為或因為，對或或時，P是正確的()對函數(shù)求導令，即此一元二次不等式的判別式若D0，則有兩個相等的實根，且的符號如下：x(¥,)(,+¥)+0+因為，不是函數(shù)的極值若D>0，則有兩個不相等的實根和(<)，且的符號如下：x(¥,)(，)(,+¥)+0-0+因此，函數(shù)f()在處取得極大值，在處取得極小值綜上所述，當且僅當D>0時，函數(shù)f()在(¥,+¥)上有極值由得或，因為，當或時，Q是

21、正確得綜上，使P正確且Q正確時，實數(shù)m的取值范圍為(-¥,1)È16解：如圖，（1）設橢圓Q：（a>b>0）上的點A（x1，y1）、B（x2，y2），又設P點坐標為P（x，y），則1°當AB不垂直x軸時，x1¹x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2°當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3）故所求點P的軌跡方程為：b2x2a2y2b2cx0（2）因為，橢圓Q右準線l方程是x，原點距l(xiāng)的距離為，由于c2a2b2，a21cosqsinq，b2sinq（0<q

22、3;），則2sin（）當q時，上式達到最大值此時a22，b21，c1，D（2，0），|DF|1設橢圓Q：上的點 A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面積S|y1|y2|y1y2|設直線m的方程為xky1，代入中，得（2k2）y22ky10由韋達定理得y1y2，y1y2，4S2（y1y2）2（y1y2）24 y1y2令tk21³1，得4S2，當t1，k0時取等號因此，當直線m繞點F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大【挑戰(zhàn)自我】已知（）若函數(shù)圖象上任意兩個不同點的連線斜率小于1，求證：； （）若，函數(shù)上任一點切線斜率為，當時，求的取值范圍解：（1）、設任意不同兩點為

23、，且，則（2）、當由題意：， 則或或解得：當時，【答案及點撥】演變題要有點撥，原創(chuàng)題有詳解，一般題給答案演變1：(1)由已知得A(,0),B(0,b),則=,b,于是=2,b=2k1,b2(2)由f(x)> g(x),得x+2>x2x6,即(x+2)(x4)<0, 得2<x<4,=x+2+5由于x+2>0,則3,其中等號當且僅當x+2=1,即x=1時成立的最小值是3點評：（1）要熟悉在其函數(shù)的定義域內(nèi)，常見模型函數(shù)求最值的常規(guī)方法如型（2）利用均值不等式求最值時，要注意：一正、二定、三相等，缺一不可演變2：（I）f (x)3x26x9令f(x)<0，解得x<1或x>3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（，1），（3，）（II）因為f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a，所以f(2)>f(2)因為在（1，3）上f(x)>0，所以f(x)在1, 2上單調(diào)遞增，又由于f(x)在2，1上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(1)分別是f(x