高考總復(fù)習(xí)精品教學(xué)案導(dǎo)數(shù)單元

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考綱導(dǎo)讀1了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念.2. 熟記八個基本導(dǎo)數(shù)公式(c,(m為有理數(shù))， 的導(dǎo)數(shù))；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點兩側(cè)異號)；會求一些實際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值知識網(wǎng)絡(luò)高考導(dǎo)航導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用價值極高，主要涉及函數(shù)單調(diào)性、極大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有關(guān)問題要能自覺地運用導(dǎo)數(shù).第1課時 變化

2、率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算基礎(chǔ)過關(guān)1導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，就是當(dāng)0時，函數(shù)的增量y與自變量的增量的比的，即2導(dǎo)函數(shù)：函數(shù)y在區(qū)間(a, b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)都存在，就說在區(qū)間( a, b )內(nèi)，其導(dǎo)數(shù)也是(a ,b )內(nèi)的函數(shù)，叫做的，記作或，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在時的函數(shù)值，就是在處的導(dǎo)數(shù).3導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè)函數(shù)y在點處可導(dǎo)，那么它在該點的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)所表示曲線在相應(yīng)點處的.4求導(dǎo)數(shù)的方法(1) 八個基本求導(dǎo)公式； ；(nQ) ， ， ， (2) 導(dǎo)數(shù)的四則運算 ，(3) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)在點x處可導(dǎo)，在點處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點x處可導(dǎo)， 且，即.典型例題例1求函數(shù)y=在x0到x0+x之間的平均變化率.解

3、y=變式訓(xùn)練1. 求y=在x=x0處的導(dǎo)數(shù).解 例2. 求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1） （2） （3） （4） 解 (1) y （2）方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11.方法二 =（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）y=（4） ，變式訓(xùn)練2：求y=tanx的導(dǎo)數(shù).解y例3. 已知曲線y=（1）求曲線在x=2處的切線方程；（2）求曲線過點（2，4）的切線方程. 解 （1）y=x2,在點P（2，4）處的切線的斜率k=|x

4、=2=4. 曲線在點P（2，4）處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. （2）設(shè)曲線y=與過點P（2，4）的切線相切于點，則切線的斜率k=|=. 切線方程為即點P（2，4）在切線上，4=即(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0. 變式訓(xùn)練3：若直線y=kx與曲線y=x3-3x2+2x相切，則k=. 答案2或例4. 設(shè)函數(shù) (a,bZ)，曲線在點處的切線方程為y=3.（1）求的解析式；（2）證明：曲線上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.（1）解，于是解得或因為a,bZ，

5、故（2）證明 在曲線上任取一點由知，過此點的切線方程為令x=1，得，切線與直線x=1交點為令y=x，得，切線與直線y=x的交點為直線x=1與直線y=x的交點為(1,1)從而所圍三角形的面積為所以，所圍三角形的面積為定值2.變式訓(xùn)練4：偶函數(shù)f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的圖象過點P（0，1），且在x=1處的切線方程為y=x-2，求y=f（x）的解析式.解 f（x）的圖象過點P（0，1），e=1. 又f（x）為偶函數(shù)，f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.b=0，d=0. f（x）=ax4+cx2+1.函數(shù)f（x）在x=1處的切線

6、方程為y=x-2，可得切點為（1，-1）.a+c+1=-1. =(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，4a+2c=1. 由得a=，c=.函數(shù)y=f（x）的解析式為小結(jié)歸納1理解平均變化率的實際意義和數(shù)學(xué)意義。2要熟記求導(dǎo)公式，對于復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要層層求導(dǎo).3搞清導(dǎo)數(shù)的幾何意義，為解決實際問題，如切線、加速度等問題打下理論基礎(chǔ).第2課時 導(dǎo)數(shù)的概念及性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)1 函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)y在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若0，則為；若0，則為 .（逆命題不成立）(2) 如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有，則.注：連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間和與之相應(yīng)的閉區(qū)間上的單調(diào)性是一致的.(3) 求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法： 確定函數(shù)的；

7、 求，令，解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根； 把函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標(biāo)和上面的各個實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間； 確定在各小開區(qū)間內(nèi)的，根據(jù)的符號判定函數(shù)在各個相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性.2可導(dǎo)函數(shù)的極值 極值的概念設(shè)函數(shù)在點附近有定義，且對附近的所有點都有（或），則稱為函數(shù)的一個極大（?。┲捣Q為極大（?。┲迭c. 求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟： 求導(dǎo)數(shù)； 求方程0的； 檢驗在方程0的根左右的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)y在這個根處取得；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)為正，那么函數(shù)y在這個根處取得.3函數(shù)的最大值與最小值

8、： 設(shè)y是定義在區(qū)間a ,b 上的函數(shù)，y在(a ,b )內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)y在a ,b 上有最大值與最小值；但在開區(qū)間內(nèi)有最大值與最小值(2) 求最值可分兩步進行： 求y在(a ,b )內(nèi)的值； 將y的各值與、比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.(3) 若函數(shù)y在a ,b 上單調(diào)遞增，則為函數(shù)的，為函數(shù)的；若函數(shù)y在a ,b 上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的，為函數(shù)的.典型例題例1. 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若f(x）在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）是否存在a,使f(x)在（-，0上單調(diào)遞減，在0，+）上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若

9、不存在，說明理由.解：=ex-a.（1）若a0，=ex-a0恒成立，即f(x)在R上遞增.若a>0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+).（2）f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增，0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex>0，a0.（3）方法一 由題意知ex-a0在（-，0上恒成立.aex在（-，0上恒成立.ex在（-，0上為增函數(shù).x=0時，ex最大為1.a1.同理可知ex-a0在0，+）上恒成立.aex在0，+）上恒成立.a1，a=1.方法二 由題意知，x=0為f(x)的極小值點.=0,即e0-a=0,a=1.變式訓(xùn)練1.

10、已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)a,使f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由；（3）證明：f(x)=x3-ax-1的圖象不可能總在直線y=a的上方.（1）解 由已知=3x2-a,f(x)在（-,+）上是單調(diào)增函數(shù)，=3x2-a0在（-,+）上恒成立，即a3x2對xR恒成立.3x20,只需a0,又a=0時，=3x20,故f(x)=x3-1在R上是增函數(shù)，則a0.（2）解 由=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1<x<1,3x2&l

11、t;3,只需a3.當(dāng)a=3時，=3(x2-1),在x(-1,1)上，<0,即f(x)在（-1，1）上為減函數(shù)，a3.故存在實數(shù)a3,使f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞減.（3）證明 f(-1)=a-2<a,f(x)的圖象不可能總在直線y=a的上方.例2. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x）在點x=1處的切線為l:3x-y+1=0，若x=時，y=f(x）有極值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,當(dāng)x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0 當(dāng)x=時，y

12、=f(x)有極值，則=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切點的橫坐標(biāo)為x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.當(dāng)x變化時，y,y的取值及變化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8單調(diào)遞增13單調(diào)遞減單調(diào)遞增4 y=f（x）在-3，1上的最大值為13，最小值為變式訓(xùn)練2. 函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間-2,2上的最大值與最小值.解 先求導(dǎo)數(shù),得y=4x3-4x,令y=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1.導(dǎo)數(shù)y的正負(fù)以及f(-2)

13、,f(2)如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y-0+0-0+y1345413從上表知,當(dāng)x=±2時,函數(shù)有最大值13,當(dāng)x=±1時,函數(shù)有最小值4.例3. 已知函數(shù)f(x)=x2e-ax (a0),求函數(shù)在1，2上的最大值.解 f（x）=x2e-ax（a0）,=2xe-ax+x2·（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x). 令>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得0<x<.f(x)在（-,0),上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).當(dāng)0<<1,即a>2時,f(x）在（1，2）上是減函數(shù),f（

14、x）max=f（1）=e-a. 當(dāng)12,即1a2時，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，f(x)max=f=4a-2e-2. 當(dāng)>2時，即0<a<1時，f(x)在（1，2）上是增函數(shù)，f（x）max=f（2）=4e-2a.綜上所述，當(dāng)0<a<1時，f(x)的最大值為4e-2a,當(dāng)1a2時，f(x)的最大值為4a-2e-2,當(dāng)a>2時，f(x)的最大值為e-a. 變式訓(xùn)練3. 設(shè)函數(shù)f(x)=-x(x-a)2(xR),其中aR.（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f(x)在點（2，f(2)處的切線方程；（2）當(dāng)a0時，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值.解：（1）當(dāng)a=1

15、時，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2,=-3x2+4x-1,-12+8-1=-5,當(dāng)a=1時，曲線y=f(x)在點（2,f(2)處的切線方程為5x+y-8=0.（2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令=0,解得x=或x=a.由于a0，以下分兩種情況討論.若a>0，當(dāng)x變化時，的正負(fù)如下表：x(-,)(,a)a(a,+)-0+0-f(x)0因此，函數(shù)f(x)在x=處取得極小值f（），且f（）=-函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值f(a),且f(a)=0.若a<0，當(dāng)x變化時，的正負(fù)如

16、下表：x(-,a)a(a,)(,+)-0+0-f(x)0-因此，函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值f(a),且f(a)=0；函數(shù)f(x)在x=處取得極大值f（）,且f（）=-.例4. 某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（3a5）的管理費，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元（9x11）時，一年的銷售量為(12-x)2萬件.（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）.解 （1）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關(guān)系式為：L=(x-3-a)(12-x)2,x

17、9,11.(2) =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令=0得x=6+a或x=12（不合題意，舍去）.3a5,86+a.在x=6+a兩側(cè)L的值由正變負(fù).所以當(dāng)86+a9即3a時，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).當(dāng)96+a，即a5時，Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)2=4(3-a)3.所以答 若3a，則當(dāng)每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（萬元）；若a5，則當(dāng)每件售價為(6+a)元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)= (萬元).變式訓(xùn)練4：某造船公司

18、年造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3 700x+45x2-10x3（單位：萬元），成本函數(shù)為C(x)=460x+5 000（單位：萬元），又在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；（提示：利潤=產(chǎn)值-成本）（2）問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？（3）求邊際利潤函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并說明單調(diào)遞減在本題中的實際意義是什么？解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(xN*，且1x20);MP(x)=P(x+1)-P

19、(x)=-30x2+60x+3 275 (xN*,且1x19).（2）=-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),x>0,=0時,x=12，當(dāng)0<x<12時，>0,當(dāng)x>12時，<0,x=12時，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大.（3）MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305.所以，當(dāng)x1時，MP(x)單調(diào)遞減，所以單調(diào)減區(qū)間為1，19，且xN*.MP(x)是減函數(shù)的實際意義是：隨著產(chǎn)量的增加，每艘利潤與前一艘比較，利潤在減少.小結(jié)歸納研究可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）時

20、，應(yīng)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再找出0的x取值或>0(<0)的x的取值范圍導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元檢測題一、選擇題1.曲線y=ex在點（2，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（ ）A.e2B.2e2 C.e2 D.2.如果函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，那么導(dǎo)函數(shù)y=的圖象可能是 ( )3.設(shè)f(x)=x2(2-x),則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是 （ ）A.(0, B.(+) C.(-,0) D.(-,0)(,+）4.設(shè)aR,若函數(shù)y=ex+ax,xR有大于零的極值點，則 ( )A.a<-1B.a>-1C.a<- D.a>-5.已知函數(shù)y=f(x)=x3+px2+qx的

21、圖象與x軸切于非原點的一點，且y極小值=-4，那么p、q的值分別為 （ ）A.6,9B.9,6 C.4,2 D.8,66.已知x0,y0，x+3y=9,則x2y的最大值為 （ ）A.36 B.18 C.25 D.427.下列關(guān)于函數(shù)f(x)=(2x-x2)ex的判斷正確的是 （ ）f(x)>0的解集是x|0<x<2;f(-)是極小值，f()是極大值；f(x)沒有最小值，也沒有最大值.A.B.C.D.8.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是 ( )A.0f(3)-f(2)B.0f(3)-f(2) C.0f(3)f(3)-f(2)D.0f(3)-f(2)9.若函數(shù)f(

22、x)=x3-ax2+1在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為 （ ）A.a3B.a=3C.a3D.0<a<310.函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1時有極值10，則a、b的值為 （ ）A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3D.以上都不正確11.使函數(shù)f(x)=x+2cosx在0，上取最大值的x為 （ ）A.0B.C. D.12.若函數(shù)f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，則 （ ）A.0<b<1B.b<1C.b>0D.b<二、填空題13.若f(x)=x3+3ax2+3(a+

23、2)x+1沒有極值，則a的取值范圍為.14.如圖是y=f(x)導(dǎo)數(shù)的圖象，對于下列四個判斷：f(x）在-2，-1上是增函數(shù)；x=-1是f(x)的極小值點；f(x)在-1，2上是增函數(shù)，在2，4上是減函數(shù)；x=3是f(x)的極小值點.其中判斷正確的是.15.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=的圖象如右圖，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.16.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為,且滿足f(x)=3x2+2x,則=.三、解答題17.已知函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在（-，+）上是增函數(shù)，求b的取值范圍;(2)若f(x)在x=1處取得極值，且x-1,2時，f(x)<c2恒成立，求c的取值范

24、圍.18.設(shè)p:f(x)=(x2-4)(x-a)在(-,-2)和(2,+）上是單調(diào)增函數(shù)；q:不等式x2-2xa的解集為R.如果p與q有且只有一個正確，求a的取值范圍.19.已知函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+）上是增函數(shù)，試確定實數(shù)a的取值范圍.20.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=-2x3+bx2+cx(b,cR)，函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù)，函數(shù)f(x)在x=-1處取極值.（1）求f(x)的解析式；（2）討論f(x)在區(qū)間-3，3上的單調(diào)性.21.如圖所示，P是拋物線C：y=x2上一點，直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點Q，當(dāng)點P在

25、拋物線C上移動時，求線段PQ的中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離.22.已知某質(zhì)點的運動方程為s(t)=t3+bt2+ct+d，下圖是其運動軌跡的一部分，若t，4時，s(t)<3d2恒成立，求d的取值范圍.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元檢測題答案一、選擇題1.答案D2答案A3.答案 A4.答案A5.答案A6.答案A7.答案 D8.答案B9.答案A10.答案B11.答案B12.答案A二、填空題 13.答案 -1，214.答案 15.答案 -1，0和2，+）16.答案 6三、解答題17.解 （1）=3x2-x+b,因f(x)在（-，+）上是增函數(shù)，則0.即3x2-x+b0,bx-3x2在（-，+）

26、恒成立.設(shè)g(x)=x-3x2.當(dāng)x=時，g(x)max=,b.(2)由題意知=0，即3-1+b=0，b=-2.x-1,2時，f(x)<c2恒成立，只需f(x)在-1，2上的最大值小于c2即可.因=3x2-x-2,令=0,得x=1或x=-.f(1)=-+c,f(-f(2)=2+c.f(x)max=f(2)=2+c,2+c<c2.解得c>2或c<-1，所以c的取值范圍為（-，-1）（2，+）.18.解 命題p:由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a,=3x2-2ax-4,y的圖象為開口向上且過點（0，-4）的拋物線.由條件得0且0,即-2a2.命題q:該不等式的解集為R，a<-1.當(dāng)p正確q不正確時,-1a2;當(dāng)p不正確q正確時，a<-2.