高考橢圓幾種題型

1、高考橢圓幾種題型引言在高考之中占有比較重要的地位，并且占的分?jǐn)?shù)也多。分析歷年的高考試題，在選擇題，填空題，大題都有橢圓的題。所以我們對知識必須系統(tǒng)的掌握。對各種題型，基本的解題方法也要有一定的了解。二 橢圓的知識（一）、定義1平面內(nèi)與與定點F1、F2的距離之和等于定長2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，其中F1、F2稱為橢圓的焦點，|F1F2|稱為焦距。其復(fù)數(shù)形式的方程為|Z-Z1|+| Z-Z2|=2a(2a>|Z1-Z2|)2一動點到一個定點F的距離和它到一條直線的距離之比是一個大于0小于1的常數(shù)，則這個動點的軌跡叫橢圓，其中F稱為橢圓的焦點，l稱為橢圓的準(zhǔn)線。（二）

2、、方程1中心在原點，焦點在x軸上：2中心在原點，焦點在y軸上：3 參數(shù)方程：4 一般方程：（三）、性質(zhì)1 頂點：或2 對稱性：關(guān)于，軸均對稱，關(guān)于原點中心對稱。3 離心率：4 準(zhǔn)線5 焦半徑：設(shè)為上一點，F(xiàn)1、F2為左、右焦點，則，；設(shè)為上一點，F(xiàn)1、F2為下、上焦點，則，。三 橢圓題型（一）橢圓定義 1.橢圓定義的應(yīng)用例1橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置解：（1）當(dāng)為長軸端點時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）當(dāng)為短軸端點時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個，給出一個頂點的坐標(biāo)和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的

3、，因而要考慮兩種情況例2已知橢圓的離心率，求的值分析：分兩種情況進行討論解：當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，得由，得當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，得由，得，即滿足條件的或說明：本題易出現(xiàn)漏解排除錯誤的辦法是：因為與9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點可能在軸上，也可能在軸上故必須進行討論例3 已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由得，故的取值范圍是出錯的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個條件，當(dāng)時，并不表示橢圓例4 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍解：方程可化為因為焦點在軸

4、上，所以因此且從而說明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，這是容易忽視的地方(2)由焦點在軸上，知， (3)求的取值范圍時，應(yīng)注意題目中的條件例5 已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點P滿足的關(guān)系式解：如圖所示，設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點動點到兩定點，即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法 2.關(guān)于線段長最值的問題一般兩個方法：一種是借助圖形，由幾何圖形中量的關(guān)系求最值，二是建

5、立函數(shù)關(guān)系求最值，或用均值不等式來求最值。例(1)：點P為為橢圓上一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，試求：取得最值時的點坐標(biāo)。解：(1)設(shè)，則。由橢圓第二定義知：。當(dāng)時， 取最大值，此時點P(0,±b)；當(dāng)時，取最小值b2，此時點P(±a，0)。（二).焦半徑及焦三角的應(yīng)用例1已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限由余弦定理知： ·由橢圓定義知： ，則得 故例2.已知橢圓內(nèi)有一點，、分別是橢圓的左、右焦點

6、，點是橢圓上一點求的最大值、最小值及對應(yīng)的點坐標(biāo)；分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運用數(shù)形結(jié)合，就能簡捷求解解：如上圖，設(shè)是橢圓上任一點，由，等號僅當(dāng)時成立，此時、共線由，等號僅當(dāng)時成立，此時、共線建立、的直線方程，解方程組得兩交點、綜上所述，點與重合時，取最小值，點與重合時，取最大值（三）、直線與橢圓相交問題(1) 常用分析一元二次議程解的情況，僅有還不夠，且用數(shù)形結(jié)合的思想。(2) 弦的中點，弦長等，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，但>0這一

7、制約條件不同意。例1. 已知直線過橢圓的一個焦點，斜率為2，與橢圓相交于M、N兩點，求弦的長。解：由得。方法一：由弦長公式方法二：例2已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長分析：可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因為，所以因為焦點在軸上，所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦

8、半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出（四）、“點差法”解題?！霸O(shè)而不求”的思想。當(dāng)涉及至平行法的中點軌跡，過定點弦的中點軌跡，過定點且被定點平分的弦所在直線方程，用“點差法”來求解。步驟：1.設(shè)A(x1,y1) B(x2,y2)分別代入橢圓方程；2.設(shè)為AB的中點。兩式相減，3.得出注：一般的，對橢圓上弦及中點，有說明：（1）有關(guān)弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦中點軌跡（2）解法二是“點差法”，解決有關(guān)弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率（3）有關(guān)弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達定理應(yīng)用

9、”及“點差法”有關(guān)二次曲線問題也適用例1 已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程 分析：此題中四問都跟弦中點有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點分別為，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（4）由得 ： ， ， 將平方并整理得， ，

10、 ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決例2已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交于、兩點，為中點，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，為所求例5分析：已知是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，(或，)的值代入計算即得并不需要求出直線與橢圓的交點坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的解：方法一：設(shè)所求直線方程為代入橢圓方程，整理得 設(shè)直線與橢圓的交點為，則、是的兩根，為中點，所求直線方程為方法二：設(shè)直線與橢圓交點，為中點，又，在橢圓上，兩式相減得，即直線方程為方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為，另一個交點、在橢圓上，。 從而，在方程的圖形上，而過、的直線只有一條，直線方程為（五）、軌跡問題這一問題難，但是解決法非常多，有如下幾種。1.直接法：根據(jù)條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)動點(x，y)，直接列出動點所應(yīng)滿足的方程。2.代入法：一個是動點Q(x0,y0)在已知曲線F(x,y)=0，上運動，而動點P(x,y)與Q點滿足某種關(guān)系，要求P點的軌跡。其關(guān)鍵是列出P