課后限時(shí)集訓(xùn)55,拋物線

1、本文格式為word版，下載可任意編輯課后限時(shí)集訓(xùn)55,拋物線 1 拋物線 建議用時(shí)：45 分鐘 一、選擇題 1(2021全國(guó)卷)若拋物線 y 2 2px(p0)的焦點(diǎn)是橢圓 x23p y 2p 1 的一個(gè)焦點(diǎn)，則 p( ) a2 b3 c4 d8 d 拋物線 y 2 2px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 è çæø÷öp2 ，0 ， 橢圓 x23p y 2p 1 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( 2p，0) 由題意得 p2 2p，p0(舍去)或 p8. 故選 d. 2(2021廈門模擬)已知拋物線 ypx 2 (其中 p 為常數(shù))過(guò)點(diǎn) a(1,3)，則拋物線的焦

2、點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于( ) a. 92 b.32 c.118 d. 16 d 由拋物線 ypx 2 (其中 p 為常數(shù))過(guò)點(diǎn) a(1,3)，可得 p3，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 2 13 y，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于16 .故選 d. 3頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(4,4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( ) ay 2 4x bx 2 4y cy 2 4x 或 x 2 4y dy 2 4x 或 x 2 4y c 設(shè)所求拋物線方程為 y 2 kx 或 x 2 my，又點(diǎn)(4,4)在拋物線上，則有4k16 或 4m16，解得 k4 或 m4，所求拋物線方程為 y 2 4x 或 x 24y.故選 c. 4已知 a

3、b 是拋物線 y 2 8x 的一條焦點(diǎn)弦，|ab|16，則 ab 中點(diǎn) c 的橫坐 2 標(biāo)是( ) a3 b4 c6 d8 c 設(shè) a(x 1 ，y 1 )，b(x 2 ，y 2 )，則|ab|x 1 x 2 p16，又 p4，所以 x 1 x 212，所以點(diǎn) c 的橫坐標(biāo)是 x1 x 226. 5(2021龍巖模擬)若直線 ab 與拋物線 y 2 4x 交于 a，b 兩點(diǎn)，且 abx軸，|ab|4 2，則拋物線的焦點(diǎn)到直線 ab 的距離為( ) a1 b2 c3 d5 a 由|ab|4 2及 abx 軸，不妨設(shè)點(diǎn) a 的縱坐標(biāo)為 2 2，代入 y 2 4x 得點(diǎn) a 的橫坐標(biāo)為 2，從而直線

4、 ab 的方程為 x2.又 y 2 4x 的焦點(diǎn)為(1,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)到直線 ab 的距離為 211，故選 a. 二、填空題 6若拋物線 x 2 4y 上的點(diǎn) a 到焦點(diǎn)的距離為 10，則點(diǎn) a 到 x 軸的距離是 9 依據(jù)題意，拋物線 x 2 4y 的準(zhǔn)線方程為 y1，點(diǎn) a 到準(zhǔn)線的距離為10，故點(diǎn) a 到 x 軸的距離是 9. 7已知正三角形 aob(o 為坐標(biāo)原點(diǎn))的頂點(diǎn) a，b 在拋物線 y 2 3x 上，則aob 的邊長(zhǎng)是 6 3 如圖，設(shè)aob 的邊長(zhǎng)為 a，則 a è çæø÷ö 32a， 12 a ，點(diǎn) a

5、在拋物線 y2 3x 上， 14 a2 332a，a6 3. 8直線 yk(x1)與拋物線 y 2 4x 交于 a，b 兩點(diǎn)，若|ab| 163，則 k . 3 設(shè) a(x 1 ，y 1 )，b(x 2 ，y 2 )，由于直線 ab 經(jīng)過(guò)拋物線 y 2 4x 的焦點(diǎn)，所以|ab|x 1 x 2 2 163，所以 x 1 x 2 103.聯(lián)立 î íì y 2 4x，yk(x1)得到 k 2 x 2 (2k 2 4)x 3 k 2 0， 所以 x 1 x 2 2k2 4k 2 103，所以 k 3. 三、解答題 9已知拋物線 y 2 2px(p0)過(guò)點(diǎn) a(2，y

6、0 )，且點(diǎn) a 到其準(zhǔn)線的距離為 4. (1)求拋物線的方程； (2)直線 l：yxm 與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn) p，q，若 opoq，求實(shí)數(shù) m 的值 解 (1)已知拋物線 y 2 2px(p0)過(guò)點(diǎn) a(2，y 0 )，且點(diǎn) a 到準(zhǔn)線的距離為 4， 2 p2 4，p4， 拋物線的方程為 y 2 8x. (2)由 î íì yxm，y 2 8x得 x 2 (2m8)xm 2 0. 設(shè) p(x 1 ，y 1 )，q(x 2 ，y 2 )，則 x 1 x 2 82m，x 1 x 2 m 2 ， y 1 y 2 x 1 x 2 2m8，y 1 y 2 (x 1 m

7、)(x 2 m)x 1 x 2 m(x 1 x 2 )m 2 8m. opoq，x 1 x 2 y 1 y 2 m 2 8m0， m0 或 m8. 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) m0 時(shí)，直線與拋物線交點(diǎn)中有一點(diǎn)與原點(diǎn) o 重合，不符合題意 當(dāng) m8 時(shí)，(24) 2 4640，符合題意 綜上，實(shí)數(shù) m 的值為8. 10如圖，已知點(diǎn) f 為拋物線 e：y 2 2px(p0)的焦點(diǎn)，點(diǎn) a(2，m)在拋物線 e 上，且|af|3. (1)求拋物線 e 的方程； (2)已知點(diǎn) g(1,0)，延長(zhǎng) af 交拋物線 e 于點(diǎn) b，證明：gf 為agb 的平 4 分線 解 (1)由拋物線定義可得|af|2 p2 3，解得

8、 p2. 拋物線 e 的方程為 y 2 4x. (2)證明：點(diǎn) a(2，m)在拋物線 e 上， m 2 42，解得 m2 2，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè) a(2,2 2)，由a(2,2 2)，f(1,0)， 直線 af 的方程為 y2 2(x1)， 由 î íì y2 2(x1)，y 2 4x，得 2x 2 5x20，解得 x2 或 12 ，b èçæø÷ö12 ， 2 . 又 g(1,0)，k ga 2 23，k gb 2 23， k ga k gb 0， agfbgf. gf 為agb 的平分線 1已知

9、拋物線 c：y 2 2px(p0)的焦點(diǎn)為 f，準(zhǔn)線方程為 x2，過(guò)點(diǎn) f的直線與拋物線 c 交于 m(x 1 ，y 1 )，n(x 2 ，y 2 )兩點(diǎn)，若|mn|8，則 y 2 1 y 2 2 ( ) a16 b32 c24 d48 b 由準(zhǔn)線方程為 x2，可知 p4，則拋物線 c 的方程為 y 2 8x.由拋物線的定義可知，|mn|mf|nf|x 1 x 2 48，則 x 1 x 2 4，即 y218 y 2 28 4，故 y 2 1 y 2 2 32.故選 b. 2(2021大慶模擬)已知 f 是拋物線 c：y 2 2px(p0)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) r(2,1)的直線 l 與拋物線 c 交于

10、 a，b 兩點(diǎn)，r 為線段 ab 的中點(diǎn)若|fa|fb|5，則直線 l 的斜率為( ) a3 b1 c2 d. 12 b 由于 r(2,1)為 ab 中點(diǎn)，設(shè) a(x a ，y a )，b(x b ，y b )依據(jù)拋物線的定義|fa|fb|x a x b p22p5，解得 p1，拋物線方程為 y 2 2x.y 2 a 2x a ，y 2 b 5 2x b ，兩式相減并化簡(jiǎn)得 yb y ax b x a 2y a y b 221 1，即直線 l 的斜率為 1.故選 b. 3已知拋物線 y 2 2px(p0)的焦點(diǎn) f 與雙曲線 x23 y2 1 的右焦點(diǎn)重合，若a 為拋物線在第一象限上的一點(diǎn)，且

11、|af|3，則直線 af 的斜率為 2 2 雙曲線 x23 y2 1 的右焦點(diǎn)為(2,0)，拋物線方程為 y 2 8x.|af|3，x a 23，得 x a 1，代入拋物線方程可得 y a 2 2.點(diǎn) a 在第一象限， a(1,2 2)， 直線 af 的斜率為2 212 2 2. 4已知拋物線 y 2 2px(p0)的焦點(diǎn)為 f，a 是拋物線上橫坐標(biāo)為 4，且位于 x 軸上方的點(diǎn)，a 到拋物線準(zhǔn)線的距離等于 5，過(guò) a 作 ab 垂直于 y 軸，垂足為 b，ob 的中點(diǎn)為 m. (1)求拋物線的方程； (2)若過(guò) m 作 mnfa，垂足為 n，求點(diǎn) n 的坐標(biāo) 解 (1)拋物線 y 2 2px

12、(p0)的準(zhǔn)線為 x p2 ，于是 4p2 5，p2. 拋物線方程為 y 2 4x. (2)點(diǎn) a 的坐標(biāo)是(4,4)， 由題意得 b(0,4)，m(0,2) 又f(1,0)，k fa 43 ， mnfa，k mn 34 . fa 的方程為 y 43 (x1)， mn 的方程為 y2 34 x， 聯(lián)立，解得 x 85 ，y45 ， 點(diǎn) n 的坐標(biāo)為 è çæø÷ö85 ，45. 6 1已知直線 l：yk(x2)(k0)與拋物線 c：y 2 8x 相交于 a，b 兩點(diǎn)，f為 c 的焦點(diǎn)若|fa|2|fb|，則 k( ) a. 13 b.

13、23 c. 23 d.2 23 d 由 î íì yk(x2)，y 2 8x，消去 y 得 k 2 x 2 (4k 2 8)x4k 2 0.(4k 2 8) 2 16k 40，解得1k1.設(shè) a(x 1 ，y 1 )，b(x 2 ，y 2 )x 1 x 2 8k 2 4. x 1 x 2 4. 依據(jù)拋物線的定義及|fa|2|fb|，得 x 1 22(x 2 2)，即 x 1 2x 2 2，且 x 1 0，x 2 0，由解得 x 1 4，x 2 1，代入得 k 2 89 ，k0，k2 23.故選 d. 2已知拋物線 c：x 2 2py(p0)，過(guò)焦點(diǎn) f 的直線交

14、c 于 a，b 兩點(diǎn)，d是拋物線的準(zhǔn)線 l 與 y 軸的交點(diǎn) (1)若 abl，且abd 的面積為 1，求拋物線的方程； (2)設(shè) m 為 ab 的中點(diǎn)，過(guò) m 作 l 的垂線，垂足為 n. 證明：直線 an 與拋物線相切 解 (1)abl，|fd|p，|ab|2p. s abd p 2 ，p1， 故拋物線 c 的方程為 x 2 2y. (2)設(shè)直線 ab 的方程為 ykx p2 ， 由îïíïì ykx p2 ，x 2 2py得 x 2 2kpxp 2 0. x 1 x 2 2kp，x 1 x 2 p 2 . 其中 a è çæø÷öx 1 ， x212p，b è çæø÷öx 2 ， x222p. m è çæø÷ö