模糊數(shù)學(xué)論文

1、模糊數(shù)學(xué)論文Prepared on 22 November 2020模糊數(shù)學(xué)論文姓名：張益群學(xué)號(hào)學(xué)院：經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院專業(yè)：應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)摘要：自從有了模糊數(shù)學(xué)，人們總習(xí)慣于追求精確性和清晰性。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展， 人們對(duì)客觀世界存在的大量模糊現(xiàn)象產(chǎn)生了越來(lái)越濃厚的興趣，希望也能用數(shù)學(xué)的方法 清楚地表述和處理模糊現(xiàn)象。以下簡(jiǎn)要介紹模糊數(shù)學(xué)是怎樣產(chǎn)生的，模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展以 及模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用，并以模糊數(shù)學(xué)在土地資源評(píng)價(jià)中的應(yīng)用為例介紹模糊數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng) 用。關(guān)鍵字:模糊數(shù)學(xué)；起源；實(shí)際應(yīng)用1模糊數(shù)學(xué)的起源和發(fā)展傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的局限性我們都知道，利用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的精確性，人們可以設(shè)計(jì)遠(yuǎn)程炮彈,甚至洲際導(dǎo)彈,將 誤差壓縮在

2、很小的范圍內(nèi)；電子計(jì)算機(jī)能在幾個(gè)小時(shí)內(nèi)將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后十萬(wàn)位； 電子計(jì)算機(jī)能在幾小時(shí)內(nèi)將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后十萬(wàn)位，能在幾分鐘內(nèi)解出含有1000 個(gè)未知數(shù)的方程組，其速度之快令人驚嘆一句話，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的精確性有目共睹，它 的廣泛應(yīng)用舉不勝舉。但是，客觀世界還存在著另一個(gè)普遍現(xiàn)象模糊現(xiàn)象。例如從 傾盆大雨到綿綿細(xì)雨，這一自然現(xiàn)象的變化是逐漸的，什么叫大雨什么叫中雨什么叫 小雨沒(méi)有明確的界限。又比如老師們常常用“優(yōu)”、“良”、“差.諸等級(jí)來(lái)評(píng)定學(xué)生的學(xué)習(xí)成 績(jī)，但什么是優(yōu)什么是良什么是差呢彼此的界限又在哪里呢如果90分以上（含90分） 為優(yōu)，那么89分就是良。90分與89分僅有一分之差，而概念

3、“優(yōu)”與“良”卻差別很大， 這樣的評(píng)分顯然不科學(xué)。模糊現(xiàn)象反映到人們的思維中，便形成了沒(méi)有明確的內(nèi)涵和外延的模糊概念，如 “一堆”、“老年人”、“中等”“附近”、“高”與“矮”、“很大”與“很小”、“濃”與“淡”，“好看”與“難 看”等等。這些都是模糊的概念?？茖W(xué)的發(fā)展，伴隨著數(shù)學(xué)的全面滲透等等，一些過(guò)去 與數(shù)學(xué)關(guān)系不大的學(xué)科，如教育學(xué)，語(yǔ)言學(xué)，管理學(xué)等人文學(xué)科，都迫切需要定量化和 數(shù)學(xué)化。但是，當(dāng)人們應(yīng)用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的思想方法去處理客觀現(xiàn)實(shí)中的模糊現(xiàn)象時(shí)卻遇到 了實(shí)質(zhì)性的困難，比如講，一個(gè)擁有2000人的師范學(xué)校的門衛(wèi)員，能夠根據(jù)一些模糊 印象判斷進(jìn)出門的人是否是本校的教職工或?qū)W生，可是，如果讓

4、計(jì)算機(jī)來(lái)識(shí)別進(jìn)出門的 是誰(shuí)，那它就得按照精確的數(shù)學(xué)方法，測(cè)量來(lái)人的身高，體重，胖瘦，手臂擺動(dòng)的角 度，走路的速度及聲音頻率等一大堆數(shù)據(jù)，而且還要精確到小數(shù)點(diǎn)后幾十位才行。如果 有人一時(shí)長(zhǎng)胖了一些，與計(jì)算機(jī)原來(lái)存儲(chǔ)信息不一致，那它就“六親不認(rèn)了，可見(jiàn)，傳 統(tǒng)數(shù)學(xué)思想方法對(duì)模糊事物是無(wú)能為力的。諸如上述問(wèn)題，使人們意識(shí)到，有必要尋找 一種描述，處理模糊事物的方法。模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生認(rèn)識(shí)到研究模糊性的重要性和積極意義，是科學(xué)史上的一件大事。這個(gè)功績(jī)屬于美 國(guó)著名的科學(xué)家查德教授。長(zhǎng)期以來(lái)，查德圍繞決策控制與其有關(guān)的一系列重要問(wèn)題的 研究，逐步意識(shí)到傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法的局限性。他指出:“如果深入研究人類的認(rèn)識(shí)過(guò)

5、程，我 們將發(fā)現(xiàn)人類能運(yùn)用模糊概念是一個(gè)巨大的財(cái)富而不是包袱，這一點(diǎn)是理解人類智能和 機(jī)器智能之間深?yuàn)W區(qū)別的關(guān)鍵。”1965年，他發(fā)表了一篇模糊集合的論文，這標(biāo)志 著模糊數(shù)學(xué)的誕生。查德第一次把模糊性和數(shù)學(xué)統(tǒng)一在一起，他的觀點(diǎn)不是讓數(shù)學(xué)放棄 嚴(yán)格性去遷就模糊性，而是要把數(shù)學(xué)方法打入具有模糊現(xiàn)象的“禁區(qū)'，也就是說(shuō)要把數(shù) 學(xué)吸收人腦處理模糊現(xiàn)象的優(yōu)點(diǎn)，以精確對(duì)模糊,用精確的數(shù)量關(guān)系來(lái)表達(dá)模糊概念及 其關(guān)系。因此，模糊數(shù)學(xué)決不是模模糊糊的學(xué)科，而是以數(shù)學(xué)的手段分析與處理模糊事 物的學(xué)科。模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展模糊數(shù)學(xué)目前正沿著理論研究和應(yīng)用研究?jī)蓚€(gè)方向迅速發(fā)展著。理論研究主要是經(jīng) 典數(shù)學(xué)概念的模糊

6、化。由于模糊集自身的層次結(jié)構(gòu)，使得這種理論研究更加復(fù)雜，當(dāng)然也 因而更具吸引力。目前已形成了模糊拓?fù)洹⒛：鷶?shù)、模糊分析、模糊測(cè)度及模糊計(jì)算 機(jī)等模糊數(shù)學(xué)分支。應(yīng)用研究主要是對(duì)模糊性之內(nèi)在規(guī)律的探討，對(duì)模糊邏輯及模糊信 息處理技術(shù)的研究。模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍已遍及自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的幾乎所有的領(lǐng) 域。特別是在模糊控制、模式識(shí)別、聚類分析、系統(tǒng)評(píng)價(jià)、數(shù)據(jù)庫(kù)、系統(tǒng)決策、人工智 能及信息處理等方面取得了顯著的成就。從1965年算起，模糊集與系統(tǒng)理論（或簡(jiǎn)單地說(shuō)成模糊理論）已走過(guò)了 32年的風(fēng)雨 路程，如今已發(fā)展成一門獨(dú)立的學(xué)科。參與這個(gè)學(xué)科研究的國(guó)度遍布全球，研究人員與 曰俱增，模糊新產(chǎn)品不斷問(wèn)世，模

7、糊技術(shù)不斷被應(yīng)用到高精尖領(lǐng)域。因此，可以毫不夸 張地說(shuō)，全球性的“模糊熱”已經(jīng)形成。目前，模糊理論方面的專業(yè)學(xué)術(shù)雜有:Fuzzy Setsand Systems（模糊集與系統(tǒng)，國(guó)際模糊系統(tǒng)協(xié)會(huì)會(huì)刊，德國(guó)承辦），模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)中國(guó)模糊系統(tǒng)協(xié)會(huì)會(huì)刊，國(guó)防科技大學(xué)承辦），（模糊數(shù)學(xué)雜志，美國(guó)），BUSEFAL（模糊集及其應(yīng)用研究快報(bào)，法國(guó))，IEEE Transactions on Fuzzy System(IEEE模糊系統(tǒng)，美國(guó)電 氣和電子工程師學(xué)會(huì)主辦)。2模糊數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容模糊數(shù)學(xué)的基本概念1. 模糊集(Fuzzy set)定義1設(shè)X是論域，稱映射A ： X-0,1為X上的模糊集合(Fuzzy

8、 set)簡(jiǎn)稱F 集，記為A。稱A(x)為元素x相對(duì)于F集的隸屬度。稱A(.)為F集A的隸屬函數(shù)。(1)模糊集合的表示：U = uU2，,un), A(u)稱為元素u屬于模糊集A的隸屬度;則模糊集可以表示為：A = N& +皿+. +竺史，或人=5)6(1】2)，,A(un),54UpA = (u1,A(u1),(u2,A(u2)，,(un,A(un) o(2)模糊集合的運(yùn)算：A = A(u ), A(u 2)A(un), B = B(u ), B(u 2),., B(un),并集：Ak>B = A(u1)vB(ul),A(u2)vB(u2),. A(un)vB(un),交集：A

9、nB = A(u1)AB(u1), A(u2) aB(u2),. A(un)AB(un),補(bǔ)集：Ac=1-A(U1),1-A(u2)，,1-A(un),包含：若VueU,有A(u)<B(u),則有AuB。2. 鬲集定義2稱論域X上的F集的全體集合F(X) = A I A : X f 0,1為X上的F-帚集。3. 模糊集的九一截集定義3 已知U上模糊子集A : U f 0,1,u - A(u)(Vu e U)對(duì)九田0川，則稱A；. = u|u G U, A(u)之初為模糊集A的"截集；稱A入=曲e U, A(u) >入為模糊集A的 *九一強(qiáng)截集；九稱為A,.、A入的置信水平

10、或閾值。*4. 三角范數(shù)、反三角范數(shù)定義4 稱二元函數(shù)T： 0,1*0,10,口為三角?；蛉欠稊?shù)，簡(jiǎn)稱范數(shù)，滿 足以下條件：若a, b, c, dE0, 1,有：交換律：T (a, b)=T(b, a)結(jié)合律：T(T(a, b), c)=T(a, T(b, c)單調(diào)性：aWc, bWd 時(shí)，T(a, b) WT(c, d)邊界條件：T(a, l)=a, T(0, a)=0定義5稱二元函數(shù)S ：為反三角范數(shù)，簡(jiǎn)稱S-范數(shù)，滿足以下條件：若，b, c. dEO, 1,有：交換律：S(a, b)=S(b, a)結(jié)合律：S(S(a, b), c)=S(a, S(b, c)單調(diào)性：aWc, bWd 時(shí)

11、，S(a, b)WS(c, d)邊界條件：S(a, 1)=1, S(0, a)二a模糊數(shù)學(xué)的基本定理1 .模糊截積定義6已知U上模糊子集A:Uf OJ,uf A(u)(VuwU),對(duì)入日0吐 九A也是U上模糊集，其隸屬函數(shù)為：(ZA)(u) = XaA(U),(VuU)；稱為九A為九與A的模糊截 積。2 .分解定理1 已知模糊子集AwF(U),則A =，v AAA 0.1 推論 1 ：對(duì) VueU, A(u) = vX|Xg0,1,ugA. )o3 .分解定理2 已知模糊子集A$F(U),則人=u XA. o入ao."e推論 2 :對(duì) Vu eU, A(u) = vXXg0J,u e

12、 A 入。3模糊數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用模糊技術(shù)所謂模糊技術(shù)就是利用模糊數(shù)學(xué)的基本理論在具體實(shí)現(xiàn)模糊控制、模糊識(shí)別、模糊 診斷、模糊預(yù)測(cè)及模糊推理等的過(guò)程中、積累起來(lái)的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)和技巧。模糊技術(shù)已滲透 到自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及工程技術(shù)的幾乎全部領(lǐng)域，像電力、電子、核物理、石油、化 工、機(jī)械、冶金、能源、材料、交通、醫(yī)療、衛(wèi)生、林業(yè)、農(nóng)業(yè)、地質(zhì)、地理、地震、 建筑、水文、氣象、環(huán)保、管理、法律、教育、心理、體育、軍事和歷史等領(lǐng)域，都有 其成功應(yīng)用的范例。近幾年來(lái)，模糊技術(shù)已被列入我國(guó)的多種攻關(guān)計(jì)劃.1988年,國(guó)家 自然科學(xué)基金委員會(huì)組織全國(guó)35所高校及研究機(jī)構(gòu)開展了“模糊信息處理與機(jī)器智能，重 大聯(lián)合攻關(guān)

13、項(xiàng)目的研究，并撥?？?35萬(wàn)元予以支持；1994年，國(guó)家經(jīng)濟(jì)貿(mào)易委員會(huì)撥 資上億元開發(fā)模糊技術(shù)產(chǎn)品；國(guó)家技術(shù)監(jiān)督局專門成立了模糊技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)化工作組，制定 各種模糊產(chǎn)品的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)；1991年9月，中國(guó)微機(jī)學(xué)會(huì)單片機(jī)公共實(shí)驗(yàn)室曾組織召開全 國(guó)家電模糊控制會(huì)議，在會(huì)上，由全國(guó)21個(gè)家用電器廠聯(lián)合倡議成立了“中國(guó)家用電器 模糊控制促進(jìn)會(huì)”；據(jù)中國(guó)青年報(bào)1997年12月16日?qǐng)?bào)道,春蘭集團(tuán)正組織數(shù)名博士 后聯(lián)合攻關(guān)，投巨資開發(fā)21世紀(jì)的高新技術(shù)模糊控制電動(dòng)車。中國(guó)模糊系統(tǒng)協(xié)會(huì)理 事長(zhǎng)、中國(guó)科學(xué)院院士劉應(yīng)明教授已在全國(guó)性的學(xué)術(shù)會(huì)議上表示，中國(guó)要下大氣力開發(fā) 模糊技術(shù)、并首先在模糊家電上取得突破。因此，不久將

14、會(huì)看到國(guó)產(chǎn)的模糊控制家用電器 陸續(xù)上市。在國(guó)外，各種模糊技術(shù)成果和模糊產(chǎn)品已逐漸由實(shí)驗(yàn)室走向社會(huì)，并取得了 明顯的社會(huì)效益和巨大的經(jīng)濟(jì)效益。模糊數(shù)學(xué)在數(shù)據(jù)挖掘中的應(yīng)用(-)模糊聚類分析的在數(shù)據(jù)挖掘的應(yīng)用實(shí)例例：設(shè)某地區(qū)設(shè)置有11個(gè)雨量站，其分布圖見(jiàn)圖5-1, 10年來(lái)各雨量站所測(cè)得的年降 雨量列入表5-1中。現(xiàn)因經(jīng)費(fèi)問(wèn)題，希望撤銷幾個(gè)雨量站，問(wèn)撤銷那些雨量站，而不會(huì) 太多的減少降雨信息圖3-1表3-1年降雨量列入年序號(hào)12763241594132922583113031752433202251287349344310454285451402307470319243329056347950222

15、12203204112324246232243281267310273315285327352L 0291311502388330410352267603290292646615822417816420350232024027835072583274324013613813014134021994218453365357452384420482228360316252915827141030828341020117943034218510324406235520442520358343251282371應(yīng)該撤銷那些雨量站，涉及雨量站的分布，地形，地貌，人員，設(shè)備等眾多因素。我們僅考慮盡可能地減

16、少降雨信息問(wèn)題。一個(gè)自然的想法是就10年來(lái)各雨量站所獲得 的降雨信息之間的相似性，對(duì)全部雨量站進(jìn)行分類，撤去“同類”(所獲降雨信息十分相 似)的雨量站中“多余”的站。問(wèn)題求解假設(shè)為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，特作如下假設(shè)(1)每個(gè)觀測(cè)站具有同等規(guī)模及儀器設(shè)備；(2)每個(gè)觀測(cè)站的經(jīng)費(fèi)開支均等；具有相同的被裁可能性。分析：對(duì)上述撤銷觀測(cè)站的問(wèn)題用基于模糊等價(jià)矩陣的模糊聚類方法進(jìn)行分析，原 始數(shù)據(jù)如上。求解步驟1.利用相關(guān)系數(shù)法，構(gòu)造模糊相似關(guān)系矩陣其中l(wèi)(xik-x,)ll(xjk-xJ)lk=lk-l_1其中看 二i =1, 2, k-l1 口Xj 二一Z*上一 j =1, 2,，Uo n k-i用c#語(yǔ)言編程

17、計(jì)算出模糊相似關(guān)系矩陣（”卬，得到模糊相似矩陣R oR=1.0000.8390.5280.8440.8280.7020.9950.6710.4310.5730.7120.8391.0000.5420.9960.9890.8990.8550.5100.4750.6170.5720.5280.5421.0000.5620.5850.6970.5710.5510.9620.6420.5680.8440.9960.5621.0000.9920.9080.8610.5420.4990.6390.6070.8280.9890.5850.9921.0000.9220.8430.5260.5120.6860.

18、5840.7020.8990.6970.9080.9221.0000.7260.4550.6670.5960.5110.9950.8550.5710.8610.8430.7261.0000.6760.4890.5870.7190.6710.5100.5510.5420.5260.4550.6761.0000.4670.6780.9940.4310.4750.9620.4990.5120.6670.4890.4671.0000.4870.4850.5730.6170.6420.6390.6860.5960.5870.6780.4871.0000.6880.7120.5720.5680.6070.

19、5840.5110.7190.9940.4850.6881.000對(duì)這個(gè)模糊相似矩陣用平方法作傳遞閉包運(yùn)算，求R:R 即t (R)R=R。注：R是對(duì)稱矩陣，故只寫出它的下三角矩陣。故X”X4同屬一類，所以此時(shí)可以將觀故第二行（列）,取“二，則1ooooooooooo1o11oooooooo1ooooooooo1o1oooooooo1oo1ooooooooooo1ooooooooooo1ooooooooooo1ooooooooooo1ooooooooooo1ooooooooooo1第四行（列）完全一致,R 0.996測(cè)站分為 9 類X2，X«, Xs,X X3, X6,X7,X8, X

20、9, X10,X“這表明，若只裁減一個(gè)觀測(cè)站，可以裁X?，X4中的一個(gè)。若要裁掉更多的觀測(cè)站,則要降低置信水平匕 對(duì)不同的九作同樣分析，得到九二時(shí)，可分為 8 類，即X2，X,，* 可 X6,X X3,X/,X8, Xg, 廣叫，X“；九二時(shí)，可分為 7 類X2，X,X，*6, X： X7,X3 , X8,X9,XU；九二時(shí)，可分為 6 類X2，x«, x5>x6>X1>x7b x3f x9) >xstX叫，X"；九二時(shí)，可分為 5 類卜2亦4, X5,X6,X1,X7, X3, X9 , X& , X” , X1。； 圖3-2聚類譜系圖再具

21、體分析圖3-1,我們可以看到X6雖然和X2，X4, X5分為一類，但X6和X2，X4, X，觀測(cè)點(diǎn)相距較遠(yuǎn)，撤去*6是不太合適的，保留而撤去X2，X,，X5就更不合適了。 因此還是將其分為 6 類,即此 2，X4,X 箕，X6,XX», -3, X9 , X8( XI1>Xlo) 依據(jù)每類最少保留一個(gè)站的原則，最多可撤去5個(gè)站。實(shí)際應(yīng)該撤去哪幾個(gè)站就應(yīng)該依 據(jù)其他條件來(lái)確定了。(-)模糊綜合評(píng)價(jià)法評(píng)價(jià)某河流水質(zhì)例：待測(cè)河流取樣所得數(shù)據(jù)SS含量79, DO, CDOMN,NH3-N,單位均為 mg/J試確定該河流的水質(zhì)情況屬于哪一個(gè)等級(jí)根據(jù)有關(guān)規(guī)定，水質(zhì)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示：水質(zhì)分

22、級(jí)標(biāo)準(zhǔn)表(mg/L)InmNVSS50150250350350DO6532CODmn246810NH3-N 1、建立評(píng)價(jià)對(duì)象因素?cái)?shù)集U =（%,%/344，5，），水質(zhì)等級(jí)評(píng)價(jià)集合 v =（%,匕，匕，匕,，），通過(guò)比較實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)，只取前四個(gè)等級(jí)來(lái)判別，得 到的矩陣： 評(píng)價(jià)對(duì)象 B = (797.04,4.92,0.51)72、對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。這里采用單個(gè)只占總體的比值來(lái)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，評(píng)價(jià)集合A進(jìn)行0.0625標(biāo)準(zhǔn)化：a.j=l得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣。=0.16000.10.0476190.18750.20.20.15873020.31250.240.30.31746030.43750.4

23、0.40.4761905按照這種方法對(duì)B進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化得。=（0.09875 .0.1705,0.246.0,1619 ）7 3、貼近度的計(jì)算。矩陣D與矩陣C某列的貼近度顯示了該樣本與某種等級(jí)的接近程度，程度高的可近似歸為該等級(jí)。這里采用相對(duì)距離貼近度：% =maxi；二S " 34 j = 3,4）,由此可以得到貼近度矩陣：0.903333 0.76333330.95625 0.8770833R =0.513333 0.84666670.733344 0.99260370.430.71041670.820.63702590.09666670.043750.48666670.26665564、權(quán)向量的計(jì)算。在水環(huán)境評(píng)價(jià)中，污染因子的數(shù)量越來(lái)越多，單個(gè)因子對(duì)水環(huán)境的重要性各不相同，確定單個(gè)因子的權(quán)值對(duì)最終的評(píng)價(jià)結(jié)果影響較大。考慮到不同的污染 因子對(duì)河流污染程度的貢獻(xiàn)率不同，在不同等級(jí)下，相同污染因子對(duì)污染程度的貢