概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講21 o0)(xf2 o1)(dxxf1. 連續(xù)型連續(xù)型r.v及其密度函數(shù)的定義及其密度函數(shù)的定義一一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度3 o( )baP aXbf x dx 設(shè)設(shè)X是隨機(jī)變量，如果存在定義在整個(gè)實(shí)是隨機(jī)變量，如果存在定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的函數(shù)數(shù)軸上的函數(shù)f(x) ,滿足條件滿足條件(),ab且對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)且對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a, ,b ba可以為可以為,b可以為可以為,則稱則稱 X為連續(xù)型為連續(xù)型r.v,稱稱 f(x)為為 X 的概率密度函的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度數(shù)，簡(jiǎn)稱概

2、率密度.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講3 故故 X的密度的密度f (x) 在在 x 這一點(diǎn)的值，恰好是這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度上的概率與區(qū)間長度 之比的極限之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量，這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x)相當(dāng)于線密度相當(dāng)于線密度.x ,(xxx 若若 x 是是 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)，則：的連續(xù)點(diǎn)，則：0()limxP xXxxx 0 x( )limxxxxf t dt = f (x)對(duì)對(duì) f(x)的進(jìn)一步理解的進(jìn)一步理解:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講4 要注意的是，密度函數(shù)要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點(diǎn)處在某點(diǎn)處a的的值，并不反映值，

3、并不反映X取值取值a的概率的概率. 若不計(jì)高階無窮小，有：若不計(jì)高階無窮小，有：xafxaXaP )( 但是，這個(gè)高度越大，則但是，這個(gè)高度越大，則X取取a附近的值附近的值的概率的概率就越大就越大. 即在某點(diǎn)密度曲線的高度反映即在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度了概率集中在該點(diǎn)附近的程度. xxxXxPx )(lim0 = f(x) f (x)xoaxa 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講5連續(xù)型連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為取任一指定值的概率為0.即：即：, 0)( aXPa為任一指定值為任一指定值因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?(lim)(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00注意注

4、意:由此得由此得，)()(bXaPbXaP)(bXaP1） 對(duì)連續(xù)型對(duì)連續(xù)型 r.v X,有有)(bXaP概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講62) 由由P(X=a)=0 可推知可推知 1)()()(aXPdxxfaRXP而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件aRX稱稱A為為幾乎不可能事件幾乎不可能事件，B為為幾乎必然事件幾乎必然事件.可見，可見，由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講7若若 r.vX的概率密度為：的概率密度為：則稱則稱X服從區(qū)間服從區(qū)間( a, b)上的均勻分布，記作：上的均勻分布，記作：X U

5、(a, b) 它的實(shí)際背景是：它的實(shí)際背景是： r.v X 取值在區(qū)間取值在區(qū)間(a, b)上，并且取值在上，并且取值在(a, b)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長度成正比與這個(gè)小區(qū)間的長度成正比.)(xfab其它, 0,1)(bxaabxf1. 均勻分布均勻分布二二、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講8例例1 某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來分鐘來一班車，即一班車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時(shí)刻等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X

6、是是7:00 到到 7:30 之間的均勻隨機(jī)變量之間的均勻隨機(jī)變量, 試求他候車試求他候車時(shí)間少于時(shí)間少于5 分鐘的概率分鐘的概率.解：解：依題意，依題意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00為為起點(diǎn)起點(diǎn)0，以分為單位，以分為單位 其它其它, 0300,301)(xxf概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講9 為使候車時(shí)間為使候車時(shí)間X少于少于 5 分鐘，乘客必須在分鐘，乘客必須在 7:10 到到 7:15 之間，或在之間，或在7:25 到到 7:30 之間到之間到達(dá)車站達(dá)車站.所求概率為：所求概率為：從上午從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來一班車，即分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30等時(shí)刻

7、有汽車到達(dá)汽車站，等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，30251510XPXP其它, 0300,301)(xxf3130130130251510dxdx即乘客候車時(shí)間少于即乘客候車時(shí)間少于5 分鐘的概率是分鐘的概率是1/3.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講10則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布. 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命（無記憶性）元件的壽命（無記憶性）. 若若 r.v X具有概率密度具有概率密度 其它其它001)(/xexfx 0 常簡(jiǎn)記為常簡(jiǎn)記為 XE( ) . 2. 指數(shù)分布指數(shù)分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講11 若若 r.v X的的概率

8、密度為概率密度為),(2NX記作記作 f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.xexfx,)()(22221 其中其中 和和 都是常數(shù)，都是常數(shù)， 任意，任意， 0，則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布. 2 1)(dxxf可證可證3.正態(tài)分布正態(tài)分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講12標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布xexx,21)(221, 0的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. .其密度函數(shù)用其密度函數(shù)用 表示表示)(x)(x 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講13 為了對(duì)離散型的和非離散型的為了對(duì)離散型的和非離散型的 r.v以及以及更廣泛類型的更廣泛類型的

9、r.v給出一種統(tǒng)一的描述方法，給出一種統(tǒng)一的描述方法，我們引進(jìn)我們引進(jìn)分布函數(shù)分布函數(shù)的概念的概念.三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)1、定義、定義： 設(shè)設(shè) X 是一個(gè)是一個(gè) r.v，x是任意實(shí)數(shù)，稱是任意實(shí)數(shù)，稱)()(xXPxF為為 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 記作記作 X F(x) 或或 FX(x). |xX x概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講14 由定義，對(duì)任意實(shí)數(shù)由定義，對(duì)任意實(shí)數(shù) x1x2，隨機(jī)點(diǎn)落在，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間（區(qū)間（ x1 , x2 的概率為：的概率為：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了隨機(jī)變量因此，只要知道了

10、隨機(jī)變量X的分布函的分布函數(shù)，數(shù)， 它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.xxXPxF),()(X, x 皆為變量皆為變量. 二者有什么區(qū)別？二者有什么區(qū)別？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講152、分布函數(shù)、分布函數(shù)F(x)的性質(zhì)：的性質(zhì)：1）F(x)是一個(gè)單調(diào)不減函數(shù)是一個(gè)單調(diào)不減函數(shù). 2）0101( ),(),()F xFF 且且3）)()0(xFxF3、離散型、離散型 r.v的分布函數(shù)的分布函數(shù)設(shè)離散型設(shè)離散型r.v X 的分布律是的分布律是P X = x k = p k , k =1,2,3,xxkkp則則 F(x) = P(X x) = 由于由于F(x) 是是 X

11、 取取 的諸值的諸值 xk 的概率之和，的概率之和，故又稱故又稱 F(x) 為累積概率函數(shù)為累積概率函數(shù).x概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講16試說明試說明F(x)能否是某個(gè)能否是某個(gè)r.v 的分布函數(shù)的分布函數(shù).例例2 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) F(x)其它00sin)(xxxF解：解： 注意到函數(shù)注意到函數(shù) F(x)在在 上下降，上下降，不滿足性質(zhì)不滿足性質(zhì)(1)，故，故F(x)不能是分布函數(shù)不能是分布函數(shù).,2不滿足性質(zhì)不滿足性質(zhì)(2)， 可見可見F(x)也不能是也不能是r.v 的的分布函數(shù)分布函數(shù).或者或者0)(lim)(xFFx概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講17當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)， X x = ， 故故 F(

12、x) =0例例3212613110X，求，求 F(x).當(dāng)當(dāng) 0 x 1 時(shí)，時(shí)， F(x) = P(X x) = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解解:當(dāng)當(dāng) 1 x 2 時(shí)，時(shí)， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =316121當(dāng)當(dāng) x 2 時(shí)，時(shí)， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講18故故注意右連續(xù)注意右連續(xù)下面我們從圖形上來看一下下面我們從圖形上來看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講19212121103100 xxxxxF,/,/,)(分布律圖分布

13、律圖31120 x)(xXP612113121120 x612161OOO1)(xF分布函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫分布畫分布函數(shù)圖函數(shù)圖212613110X概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講20例例4 設(shè)設(shè)r.v X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 f (x)其它0,11,12)(2xxxf求求 F(x).F(x) = P(X x) = xdttf)(解：解：對(duì)對(duì)x 1， F (x) = 121112 xarcsinxx xdttdtxF121120)(, 11x對(duì)對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講22 例例5 在區(qū)間在區(qū)間 0，a 上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以以 X 表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo). 設(shè)這個(gè)

14、質(zhì)點(diǎn)落在設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在 0, a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長度成正比長度成正比，試求，試求 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 解：解： 設(shè)設(shè) F(x) 為為 X 的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，當(dāng)當(dāng) x a 時(shí)時(shí)，F(xiàn)(x) =1當(dāng)當(dāng) 0 x a 時(shí)時(shí)， P(0 X x) = kx (k為常數(shù)為常數(shù) ) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講23由于由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / aaxaxaxxxF, 10,0, 0)( 這就是在區(qū)間這就是在區(qū)間 0，a上服從均勻分布的上服從均勻分布的

15、隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù).當(dāng)當(dāng) 0 x a 時(shí)時(shí)， P(0 X x) = kx (k為常數(shù)為常數(shù) ) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講24xdttfxF)()(求求 F(x).其它, 021,210,)(xxxxxfX例例6 設(shè)設(shè)由于由于f(x)是分段是分段表達(dá)的，求表達(dá)的，求F(x)時(shí)時(shí)注意分段求注意分段求.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講25=01xtdt0 xdtttdt110)2(0 x10 x21 x2xF(x)其它, 021,210,)(xxxxxfX2, 121,21210,20, 0)(22xxxxxxxxF概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講261110002xxxxxF,)(例例7 設(shè)設(shè)r.vX的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為（1） 求求X取值在區(qū)間取