考研數(shù)三歷年真題+答案詳解之2003年真題

1、2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè) f(X)cosl0,0，其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范圍是0,2(2)已知曲線yX3 3a2X b與x軸相切，則b2可以通過a表示為b2、丄a,若 0 x 1,(3 )設(shè) a>0， f (x) g(x)»八 而 D表示全平面，則0,其他，I f(x)g(y x)dxdy=.D(4) 設(shè)n維向量(a,0, ,0,a)T,a0 ； e為n階單位矩陣，矩陣A ET， B E - T，a其中A的逆矩陣為B，則a=.(5) 設(shè)隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,

2、若Z X 0.4，則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，Xi,X2, ,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，則當(dāng)n1 n時，Yn X：依概率收斂于n i i、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且(A)在x=0處左極限不存在.(C)在x=0處右極限不存在.f (0)存在，則函數(shù)g(x) 丄X(B)有跳躍間斷點x=0.(D)有可去間斷點x=0.(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是(A)f(x°,y)在y y

3、。處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B) f(x°,y)在y y°處的導(dǎo)數(shù)大于零.(C)f(X0,y)在y y0處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D) f(X0,y)在y y0處的導(dǎo)數(shù)不存在.(3)設(shè)Pnan an2，qnanann 1,2,，則下列命題正確的是(A)若an條件收斂，則Pn與qn都收斂n1n1n 1(B)若an絕對收斂，則pn與qn都收斂n1n1n 1(C)若an條件收斂，則pn與qn斂散性都不定n1n1n 1(D)若an絕對收斂，則Pn與qn斂散性都不定 n1n1n 1a bb(4)設(shè)三階矩陣Abab，若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有b ba(A) a=b 或,a+2b=0.(B) a=b

4、 或 a+2b 0(C) ab 且 a+2b=0.(D) ab 且 a+2b 0. (5)設(shè) 1,2,s均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是(A)右對于任意-一組不全為零的數(shù)僉匕,ks，都有 k1 1k2 2ks s0,則1,2,s線性無關(guān)(B)若 1,2,s線性相關(guān)，則對于任意一組不全為零的數(shù)k1,k2,ks ,都有k1 1k22ks s0,(C)1, 2s線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.(D)1, 2, , s線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個向量線性無關(guān)(6)將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進(jìn)事件：A1 =擲第一次出現(xiàn)正面, A2=擲第二次出現(xiàn)正面，A3=正、反面各出現(xiàn)一次，A4=正面出現(xiàn)

5、兩次，則事件(A)Ai,A2,A相互獨立(B)A2ZA4相互獨立(C)Ai,a2,a3 兩兩獨立(D)A2, A3,A4兩兩獨立三、(本題滿分8分)設(shè)1試補充定義f(1)使得f(x)在,1上連續(xù)四、(本題滿分8分)設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足2u, 1v2 1 '又 g(x'y)fxy'2(x2 y2),2求_gJ 2x2g 2 y(本題滿分8分) 計算二重積分五、其中積分區(qū)域D= (x, y).六、(本題滿分9分)2n求幕級數(shù)11)的和函數(shù)f(x)及其極值.七、(本題滿分9分)內(nèi)滿足以下條件:設(shè) F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù) f(x),g(x)在(

6、f (x) g(x)，g (x) f (x)，且 f(0)=0, f (x) g(x) 2ex.(1) 求F(x)所滿足的一階微分方程；(2) 求出F(x)的表達(dá)式.八、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)f(x)在0，3上連續(xù)，在(0, 3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在 (0,3)，使 f ( )0.九、(本題滿分13分) 已知齊次線性方程組n其中 ai0.試討論a1,a2, ,an和b滿足何種關(guān)系時，i 1(1) 方程組僅有零解；(2) 方程組有非零解.在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系.十、(本題滿分13分)設(shè)二次型f (x1, x2, x3) X T AXax； 2x| 2x； 2bx1x3(b 0)，中二次型的矩陣 A的特征值之和為1，特征值之積為-12.(1) 求a,b的值；(2) 利用正交變換將二次型 f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣.十一、(本題滿分13分)設(shè)隨機變量X的概率密度為F(x)是X的分布函數(shù).