我看矩陣在實際生活中的應(yīng)用

1、矩陣在實際生活中的應(yīng)用華中科技大學(xué)文華學(xué)院城市建設(shè)工程學(xué)部環(huán)境工程1班 劉叢目錄摘要 3 實際應(yīng)用舉例 4 論文總結(jié) 15 參考文獻(xiàn) 16 2摘要：隨著現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)中廣泛而深入的應(yīng)用是當(dāng)前經(jīng)濟(jì)學(xué)最為深刻的因素之一，馬克思曾說過：“一門學(xué)科只有成功地應(yīng)用了數(shù)學(xué)時，才真正達(dá)到了完善的地步”。下面通過具體的例子來說明矩陣在經(jīng)濟(jì)生活中、人口流動、電阻電路、密碼學(xué)、文獻(xiàn)管理的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：矩陣、人口流動、電阻電路、密碼學(xué)、文獻(xiàn)管理一：矩陣在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用1“活用”行列式定義 定義：用符號表示的n階行列式D指的是n!項代數(shù)和，這些項是一切可能的取自D不同行與不同列上的n個元素的乘積的符號為

2、。由定義可以看出。n階行列式是由n!項組成的，且每一項為來自于D中不同行不同列的n個元素乘積。實例1：某市打算在第“十一”五年規(guī)劃對三座污水處理廠進(jìn)行技術(shù)改造，以達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)要求。該市讓中標(biāo)的三個公司對每座污水處理廠技術(shù)改造費(fèi)用進(jìn)行報價承包，見下列表格(以1萬元人民幣為單位)在這期間每個公司只能對一座污水處理廠進(jìn)行技術(shù)改造，因此該市必須把三座污水處理廠指派給不同公司，為了使報價的總和最小，應(yīng)指定哪個公司承包哪一座污水處理廠? 設(shè)這個問題的效率矩陣為，根據(jù)題目要求，相當(dāng)于從效率矩陣中選取來自不同行不同列的三個元素“和”中的最小者!從行列式定義知道，這樣的三個元素之共有31=6(項)，如下： 4由

3、上面分析可見報價數(shù)的范圍是從最小值54萬元到最大值58萬元。由得到最小報價總數(shù)54萬元，因此，該城市應(yīng)選定即2 “借用”特征值和特征向量定義：“設(shè)A是F中的一個數(shù)如果存在V中的零向量，使得，那么A就叫做的特征值，而叫做的屬于本征值A(chǔ)的一個特征向量。 實例2：發(fā)展與環(huán)境問題已成為21世紀(jì)各國政府關(guān)注和重點(diǎn)，為了定量分析污染與工業(yè)發(fā)展水平的關(guān)系，有人提 出了以下的工業(yè)增長模型：設(shè)是某地區(qū)目前的污染水平 (以空氣或河湖水質(zhì)的某種污染指數(shù)為測量單位)，是目前 的工業(yè)發(fā)展水平(以某種工業(yè)發(fā)展指數(shù)為測量單位)若干年 后(例如5年后)的污染水平和工業(yè)發(fā)展水平分別為和它們之間的關(guān)系為試分析若干年后的污染水平和

4、工業(yè)發(fā)展水平。對于這個問題，將(1)寫成矩陣形式，就是由此可預(yù)測若干年后的污染水平與工業(yè)發(fā)展水平為原來的4倍。二：人口流動問題（矩陣高次冪的應(yīng)用）設(shè)某中小城市及郊區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)共有30萬人從事農(nóng)、工、商工作，假定這個總?cè)藬?shù)在若干年內(nèi)保持不變，而社會調(diào)查表明： 在這30萬就業(yè)人員中，目前約有15萬人從事農(nóng)業(yè)，9萬人從事工業(yè)，6萬人經(jīng)商；在務(wù)農(nóng)人員中，每年約有20%改為務(wù)工，10%改為經(jīng)商； 在務(wù)工人員中，每年約有20%改為務(wù)農(nóng)，10%改為經(jīng)商； 在經(jīng)商人員中，每年約有10%改為務(wù)農(nóng)，10%改為務(wù)工。現(xiàn)欲預(yù)測一、二年后從事各業(yè)人員的人數(shù)，以及經(jīng)過多年之后，從事各業(yè)人員總數(shù)之發(fā)展趨勢?，F(xiàn)做如下解答：若用三維

5、向量(xi,yi,zi)T 表示第i年后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)，則已知(x0,y0,z0)T=(15,9,6)T。而欲求(x1,y1,z1)T，(x2,y2,z2)T 并考察在n時(xn,yn,zn)T的發(fā)展趨勢。 依題意，一年后，從事農(nóng)、工、商的人員總數(shù)應(yīng)為X1=0.7x0+0.2y0+0.1z0Y1=0.2x0+0.7y0+0.1z0即以(x0,y0,z0)T=(15,9,6)T代入上式，即得X112.9 X0.70.2 0.1 x0 x0 yz0 Z1=0.1x0+0.1y0+0.8z0 Y= 0.2 0.7 0.1 y0 Z1 0.1 0.1 0.8 z0 Y= 9.9 Z1 7.2

6、即一年后從事各業(yè)人員的人數(shù)分別為12.9萬、9.9萬、7.2萬人。以及X2 x1 x011.73 YyZ2 z1 = A2 y= 10.23 z0 8.04即兩年后從事各業(yè)人員的人數(shù)分別為11.73萬、10.23萬、8.04萬人。進(jìn)而推得xnxn-1 xyy = A 0 zn zn-1 z0 即n年之后從事各業(yè)人員的人數(shù)完全由An決定。三：電阻電路的計算如圖所示的電路中，已知R1=2，R2=4，R3=12，R4=4，R5=12，R6=4，R7=2，設(shè)電壓源us=10V，求i3,u4,u7.現(xiàn)求解如下：設(shè)各個網(wǎng)孔的回路電流分別為ia,ib和ic，由物理學(xué)定律，任何回路中諸元件上電壓之和等于0.

7、據(jù)圖可列出各回路的電壓方程為 (R1+R2+R3)ia-R3ib=us-R3ia+(R3+R4+R5)ib-R5ic=0 -R5ib+(R5+R6+R7)ic=0 可寫成矩陣形式為：R1+R2+R3 -R3 0 ia 1把參數(shù)代入，列方程如下：18 -12 0 ia簡寫成 -12 28 -12 ib = s 0 -12 18 ic 0 -R3 R3+R4+R5 -R0 -R5 ib = us R5+R6+R7 ic 0 AI=bus 其中I=( ia,ib,ic)T。已知us=10，解矩陣方程得 1 0 0 0.9259U 1 0 這就是問題的解0 0 1 0.3704意味著ia 0.9259

8、I= ib = 0.5556ic 0.3704任何穩(wěn)態(tài)電路問題都可以用線性代數(shù)方程描述。直流電路構(gòu)成的是實系數(shù)方程，它的解為實數(shù)；而交流電路構(gòu)成的是復(fù)系數(shù)方程，它的解為負(fù)數(shù)。所以用矩陣方程和計算機(jī)軟件就顯得更為重要。由此題我們看出矩陣在表示數(shù)方面有簡潔直觀、表現(xiàn)力強(qiáng)的特點(diǎn)，是理論與實際結(jié)合的一個很好的觸點(diǎn)。四：矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用在密碼學(xué)中，原來的消息為明文，經(jīng)過偽裝的明文則變成了密文。有明文變成密文的過程稱為加密。由密文變成明文的過程稱為譯密。改變明文的方法稱為密碼。密碼在軍事上和商業(yè)上是一種保密通信技術(shù)。矩陣在保密通信中發(fā)揮了重要作用。例如，如圖所示，當(dāng)矩陣A可逆時，對Rn中的所有X，等式

9、A-1AX=X說明，A-1把向量AX變回到X，A-1確定的線性變換稱為由A確定的線性變換的逆變換。這使一些有心人想到可用可逆矩陣及其逆矩陣對需發(fā)送的秘密消息加密和譯密。假設(shè)我們要送出的消息“ACCOMPLISH THE TASK.”。首先把每個字母A,B,C,Z映射到數(shù)1,2,3，26.例如，數(shù)1表示A，數(shù)11表示K；另外，用0表示空格，27表示句號等。于是數(shù)集1,3,3,15,13,16,12,9,19,8,5,0,20,19,11,27表示消息“ACCOMPLISH THE TASK”，這個消息（按列）寫成4×5矩陣1 13 19 8 1M = 3 16 8 53 12 0 0

10、11 1115 9 20 20 27密碼的發(fā)送者和接收者都知道的密碼矩陣是1 -1 -1 1A = 3 0 -3 43 -2 2 -1-1 1 2 -2其逆矩陣（譯碼矩陣）是9 1 -1 7A-1 = 1/2 5 1 -1 5-19 -1 3 -13-21 -1 3 -15加密后的消息通過通信渠道，以乘積AM的形式輸出，接收者收到的矩陣1 -1 -1 1 1 13 19 8 13 0 -3 4 13 16 8 510 -6 31 23 -2= 54 39 137 104-12 22 21 -6 -40 -22 9 -51 -43 -14 3 -2 2 -1 3 12 0 0 11 -1 1 2

11、 -2 15 9 20 20 27之后接收者通過計算乘積A-1C來譯出消息，即相繼變換矩陣C的第1列，第2列，的元素就會變回到原來的信息。上述例子是矩陣乘法與逆矩陣的應(yīng)用，將高等代數(shù)與密碼學(xué)緊密結(jié)合起來。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識破譯密碼，進(jìn)而運(yùn)用到軍事等方面?？梢娋仃嚨淖饔檬呛纹鋸?qiáng)大。五：矩陣在文獻(xiàn)管理中的應(yīng)用假如數(shù)據(jù)庫中包括了n個文件，而搜索所用的關(guān)鍵詞有m個，如果關(guān)鍵詞按字母順序排列，我們就可以把數(shù)據(jù)庫表示為m×n的矩陣A。其中每個關(guān)鍵詞占矩陣的一行，每個文件用矩陣的列表示。A的第j列的第一個元素是一個數(shù)，它表示第一個關(guān)鍵詞出現(xiàn)的相對頻率；第二個元素表示第二個關(guān)鍵詞出現(xiàn)的相對頻率；，依次類推

12、。用于搜索的關(guān)鍵詞清單用Rm空間的列向量x表示。如果關(guān)鍵詞清單中第i個關(guān)鍵詞在搜索列中出現(xiàn)，則x的第i個元素就賦值1，否則就賦值0。為了進(jìn)行搜索，只要把AT乘以x。下面我們來看一個例子:假如，數(shù)據(jù)庫包含有一下書名：B1-應(yīng)用線性代數(shù)，B2-初等線性代數(shù)，B3-初等線性代數(shù)及其應(yīng)用，B4-線性代數(shù)及其應(yīng)用，B5-線性代數(shù)及應(yīng)用，B6-矩陣代數(shù)及應(yīng)用，B7-矩陣?yán)碚?。而搜索?個關(guān)鍵詞組成的集按以下的拼音字母次序排列；初等，代數(shù)，矩陣，理論，線性，應(yīng)用因為這些關(guān)鍵詞在書名中做多出現(xiàn)1次，所以其相對頻率數(shù)不是0就是1。當(dāng)?shù)趇個關(guān)鍵詞出現(xiàn)在第j本書名上時，元素A（i，j）就等于1，否則就等于0。這樣我

13、們的數(shù)據(jù)庫矩陣就可用下表表示：假如讀者輸入的關(guān)鍵詞是“應(yīng)用，線性，代數(shù)”，則數(shù)據(jù)庫矩陣和搜索向量為0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 ， 0 0 0 0 0 0 1 01 1 1 1 1 0 0 11 0 1 1 1 1 0 1搜索結(jié)果可以表示為兩者的乘積：y=ATx，于是可得0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 y=AT 0 1 0 0 1 0 30 1 0 0 1 1 1 30 1 1 0 0 1 1 20 0 1 1 0 0 0y的各個分量就表示各書與搜索向量匹配程度。因為y1=y3=y4=y5=3，說明四

14、本書B1,B3,B4,B5必然包含所有三個關(guān)鍵詞。這四本書就被認(rèn)為具有最高的匹配度，因而在搜索的結(jié)果中會把這幾本書排在最前面。本例把線性變換的概念進(jìn)一步擴(kuò)展，它不一定是在具體的幾何空間內(nèi)進(jìn)行的變量變換，在本例中是從“關(guān)鍵詞”到“文獻(xiàn)目錄”的變換?，F(xiàn)代搜索中往往包括幾百萬個文件和成千的關(guān)鍵詞，但由于矩陣和向量的稀疏性，節(jié)省計算機(jī)的存儲空間和搜索時間?！菊撐目偨Y(jié)】經(jīng)過不斷努力，一篇小論文終于新鮮出爐。這段時間，我去圖書館查閱資料，仔細(xì)觀摩范文，研究參考文獻(xiàn)。這次論文的編寫不僅加深了我們對矩陣的了解，明確了它的重要性，還使我認(rèn)識到生活中有很多應(yīng)用都涉及到了矩陣知識。感謝李創(chuàng)舉老師一個學(xué)期以來辛勤的工作，你認(rèn)真的工作態(tài)度，仔細(xì)的講解，讓我們對自動控制原理這門非常難的課有了最基本的了解。也許這篇論文顯得有些淺顯，用語也并不專業(yè)，但它鍛煉了我的思維方式，開闊了我的視野，也使得我們對矩陣學(xué)習(xí)有了更新的了解?？傊?，感謝李老師的教導(dǎo)，我一定會更加努力，不僅僅是在自動控制原理的學(xué)習(xí)上，也在整個大學(xué)生活中努力做到更好，使自己成為一個能對社會有貢獻(xiàn)的人?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】【1】線性代數(shù)及其應(yīng)用（