三種常用方法處理實驗數(shù)據(jù)不確定度評定的討論

1、第26卷第4期阜陽師范學院學報(自然科學版 V ol. 26, N o. 42009年12月Jo urnal of F uy ang T eacher s Colleg e (N atur al Science Dec. 2009三種常用方法處理實驗數(shù)據(jù)不確定度評定的討論范士民, 趙曉云(阜陽師范學院物理與電子科學學院, 安徽阜陽236041摘要:以伏安法測電阻為例, 分別用作圖法、逐差法、最小二乘法對實驗數(shù)據(jù)進行了處理, 并比較了這三種常用的處理實驗數(shù)據(jù)方法的不確定度的評定.關(guān)鍵詞:不確定度; 實驗數(shù)據(jù)處理; 作圖法; 逐差法; 最小二乘法中圖分類號:O4-33文獻標識碼:A 文章編號:10

2、04-1069(2009 04-0049-04Discussion on assessment of the uncertainty in dealingwith experimental data in three methodsFA N Shi -min , ZHA O Xiao -y un(School of Phy sics and Electronics , Fuyang T eacher s College , Fuy ang A nhui 236041, China Abstract :T ake Vo lt-A mpere law used to measur e a resi

3、stance in physical ex per iment as an ex ample, it is calculatedw ith g raphical so lution, g r adual deduction metho d and least squar e method r espectiv ely. I n additio n, it is discussed o n t he assessment o f the uncer tainty on these methods .Key words :uncerta inty; data pro cessing of the

4、exper iment; g ra phical so lution; g radual deductio n m ethod; lea stsquar e method0引言大學普通物理實驗中一個重要的環(huán)節(jié)是實驗數(shù)據(jù)處理及實驗結(jié)果評定. 傳統(tǒng)的實驗結(jié)果評定是分析結(jié)果的“測量誤差”. 所謂測量誤差, 即測量值與真實值之間的差值, 但由于真實值是被測量量的真實的理想值, 永遠也無法測量到1, 所以, 測量誤差也是一個不可知量. 目前, 國內(nèi)和國際的科學文獻交流已廣泛采用不確定度的概念, 用不確定度表示體系進行誤差分析和實驗結(jié)果的評定.諸多大學普通物理實驗教材中2, 3都介紹了不確定度的概念和分類

5、. 測量不確定度是與測量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的參數(shù), 它表示由于測量誤差的存在而使被測量值不能確定的程度. 測量不確定度包括A 類標準不確定度和B 類標準不確定度. 不確定度的大小反映測量結(jié)果的優(yōu)劣. 不確定度越小, 表示測量結(jié)果越接近真值, 越能反映被測對象的特性. 一般大學物理實驗教材中給出了直接測量和間接測量的不確定度的計算2, 但沒有具體地介紹實驗中數(shù)據(jù)處理方法結(jié)果的不確定度評定. 而在大學物理實驗的數(shù)據(jù)處理中, 經(jīng)常需要根據(jù)實際測量情況針對實驗數(shù)據(jù)使用不同的處理方法, 例如常用的有作圖法, 逐差法和一元線性最小二乘法. 針對這些處理數(shù)據(jù)方法的不確定度評定, 一般教材很少提及. 本文用三種常用方

6、法分別處理了伏安法測電阻的實驗數(shù)據(jù), 著重討論了這三種方法的不確定的評定, 以期給大學物理實驗的教學以及學生在處理實驗數(shù)據(jù)時提供一定的參考.收稿日期:2009-09-26基金項目:安徽省教育廳教學研究項目(2008jyx m 451 ; 校級精品課程“大學物理實驗”資助. , .1作圖法物理實驗中所得到的一系列測量數(shù)據(jù), 往往可以用圖線直觀的表示出來. 作圖法就是在坐標紙上描繪出一系列數(shù)據(jù)間對應關(guān)系的圖線. 作圖法處理實驗數(shù)據(jù)可以研究物理量之間的變化規(guī)律, 指出對應的函數(shù)關(guān)系, 是求經(jīng)驗公式的常用方法之一4. 當由作圖法在圖線上獲得數(shù)據(jù)時, 對該數(shù)據(jù)的不確定度評定也是必要的. 合理選軸, 正確

7、分度是作圖法進行不確定度評定的關(guān)鍵. 作圖法的各個測量量的不確定度的評定取決于坐標軸的最小分度. 通常, 坐標軸的分度原則是:坐標軸的比例及分度不改變測量數(shù)據(jù)的精度. 評定的一般方法是將兩坐標軸看成兩把直尺, 取其最小分度值為該直尺的誤差極限. 以伏安法測電阻實驗所測量得到的實驗數(shù)據(jù)為例, 圖1是根據(jù)表1中伏安法測電阻的數(shù)據(jù)表格作出的I -U 關(guān)系圖.表1伏安法測電阻的實驗數(shù)據(jù)U /v 1. 002. 003. 004. 005. 006. 007. 008. 00I /mA2. 004. 016. 057. 859. 7011. 8313. 7516. 02圖1I -U 關(guān)系圖1. 1計算被

8、測量的最佳估計值根據(jù)圖1, 為了計算直線的斜率, 在直線上選取A, B 兩點(一般不取實驗點 , 坐標為A (1. 60, 3. 0 , B (7. 50, 15. 0 , 則可以得到k =B AU B -U A =7. 5-1. 6=2. 0(m -1(1于是有R =k =2. 0×10-3=5. 0×102( (21. 2作圖法不確定度評定電壓U 和電流I 測量的誤差來源較多, 包括儀器的誤差, 讀數(shù)的誤差等等. 在作圖法處理數(shù)據(jù)時, 這些誤差均由坐標的最小分度反映出來. 由圖1中兩軸最小分度值可知, 相應的電流, 電壓測量的儀器誤差限分別為 I =0. 5mA , U

9、 =0. 1V .U 和I 的合成不確定度分別為I A = I B =3=3=0. 29(mA U A = U B =3=3=0. 06(V (3根據(jù)R -=B A I B -I A得到=(A 2 2U A +(A 2 2U B 2 2U B +(A 2 2I A +(B2 2I B=0. 2×102( (4測量結(jié)果可表述為R =(R ± =(5. 0±0. 2 ×102( , r =R×100%=4. 0%(52逐差法或相等間隔項相減得到結(jié)果的一種方法5. 逐差法的使用條件是:自變量x 是等間距變化的; 被測的物理量之間的函數(shù)形式可以寫成x

10、的多項式, 即y =m =0am x m. 逐差法計算簡便, 并可充分利用測量數(shù)據(jù), 隨測隨檢, 及時發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中差錯, 或找到相50阜陽師范學院學報( 第26卷據(jù)處理方法. 用逐差法計算時常常是將測量數(shù)據(jù)分成兩組, 然后將前后兩組的對應項進行相減, 從而進一步得到平均值, 對于測量所帶來的不確定度的計算則可由分組的數(shù)據(jù)求出.為便于比較, 仍然采用實驗所測數(shù)據(jù)表1作為研究對象來說明逐差法不確定度的評定. 2. 1計算被測量的最佳估計值將測量的值分成前后兩組, 前后兩組的對應項之差為I 1=I 5-I 1=7. 70(mA , I 2=I 6-I 2=7. 82(mA , I 3=I 7-I 3=

11、7. 70(mA , I 4=I 8-I 4=8. 17(mA . 取平均值得: I -=44i =0(I 4+i -I i =7. 85(mA (6 同理得到電壓的平均值為 U -=44i =0(U 4+i -U i =4. 00(V(7于是得到電阻的平均值為R =- I=5. 10×102( (82. 2逐差法不確定度的評定電壓U 的隨機誤差為0, 但儀器誤差仍然存在(B 類分量 . 即電壓的誤差不能忽略不計. 該電壓表的極限誤差為0. 1伏, 所以U = 3=0. 06(V .電流I 的A 類不確定度A ( I =4i =1( I i - I - 2n (n -1=0. 11(

12、mA (9B 類不確定度 B ( I =3=0. 06(m A (10電流I 的不確定度 I =2A( I + 2B( I =0. 13(mA (11根據(jù)電壓電流求得的相應的不確定度, 可以計算出電阻R 的不確定度=( 2 2 U +( 2 2 I +0. 11×102( 測量結(jié)果可表述為R =(R ± =(5. 10±0. 11 ×102( ,r = (R R×100%=2. 2%(133最小二乘法最小二乘法是由一組實驗數(shù)據(jù)找出一條最佳的擬合直線(曲線 的常用方法, 它所依據(jù)的原理是:在最佳擬合直線上, 各相應點的值與測量值之差的平方和應比其

13、它的擬合直線上的都要小2. 假設(shè)所研究的量只有兩個:x 和y , 且它們之間存在著線性相關(guān)關(guān)系, 即滿足一元線性方程y =b +kx (14實驗測得的一組數(shù)據(jù)是X:x 1, x 2, x 3, x m ,Y:y 1, y 2, y 3y m(15根據(jù)所測得數(shù)據(jù)來確定y =b +kx 式中的常數(shù)b 和k :k =xyl xx ,b =y -A 1x (16斜率k , 截距b 的不確定度分別為 (k =(r-1 /(n -2 k , (b =x (k (17其中r 是相關(guān)系數(shù), 用來檢驗線性擬合的好壞,r =l x y /l xx l yy ,其中l(wèi) x y =n (x y -x y , l xx

14、 =n (x 2-x 2,l yy =n (y 2-y 2(18然后進一步結(jié)合求的結(jié)果求出相應的不確定度.同樣為了便于比較分析, 采用表1的實驗數(shù)據(jù)作為研究對象來說明最小二乘法的不確定度的評定, 同時各物理量均采取國際單位制. 3. 1計算被測量的最佳估計值根據(jù)表1測量數(shù)據(jù)可得U -=4. 50,25. 50, -,51第4:I =99. 76×10-6,UI =50. 43×10-3由公式(16 得到k =1. 98×10-3( -1,b =I -kU-=0. 01×10-3(V , 則電阻R 為R =k=5. 05×102( (193. 2

15、最小二乘法不確定度的評定結(jié)合相關(guān)系數(shù)r 的表達式, 可以求出相應的r =9. 99×10-1, 則 (k =2. 95×10-5(-1(20 (R =k(k =7. 51( (21測量結(jié)果可表述為:R =(R ± (R =(5. 05±0. 08 ×102( , r =R×100%=1. 6%(22 4結(jié)論綜合以上三種方法分析比較, 可以看出對于同一組實驗數(shù)據(jù)使用最小二乘法計算時得到的不確定度最小, 作圖法得到的不確定度最大.作圖法具有直觀、簡便的優(yōu)點, 但是受圖紙大小的限制以及人為主觀描點連線的影響, 處理實驗數(shù)據(jù)時容易帶來誤差.

16、尤其是對于坐標分度的選擇, 在圖1中如取坐標的最小分度都為0. 5V 時, 算出的相對不確定度達到7. 6%, 即誤差將增加一倍, 所以此種方法適合處理實驗數(shù)據(jù)要求不太高的情形; 逐差法的優(yōu)點可以提高實驗數(shù)據(jù)的利用率, 減小隨機誤差的影響, 但利用逐差法處理數(shù)據(jù)時一般要求測量數(shù)據(jù)的自變量等間隔變化, 因變量和自變量之間要呈線性關(guān)系; 最小二乘法是以所測實驗點為基礎(chǔ), 擬合出最理想的曲線, 其優(yōu)點是精度高, 受人為因素影響小, 但是最小二乘法所使用的代數(shù)計算相對比較繁瑣, 所以該種方法適合專業(yè)性比較強要求比較高的情形. 參考文獻:1劉潤如. 測量不確定度的概念和計算方法在物理實驗中的應用J .長春大學學報(自然科