超幾何分布與二項(xiàng)分布考題詳解

1、超幾何分布與二項(xiàng)分布考題詳解專題:超幾何分布與二項(xiàng)分布南海中學(xué)20XX屆高三理科數(shù)學(xué)備課組知識(shí)點(diǎn)關(guān)鍵是判斷超幾何分布與二項(xiàng)分布判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，關(guān)鍵是要看隨機(jī)變量是否滿足 超幾何分布的特征:一個(gè)總體（共有N個(gè)）內(nèi)含有兩種不同的事物 A（M個(gè)）、 個(gè)），任取n個(gè),其中恰有X個(gè)A.符合該條件的即可斷定是超幾何分布，按照超幾何分布的分布列）進(jìn)行處理就可以了 . nCN二項(xiàng)分布必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:在一次試驗(yàn)中試驗(yàn)結(jié)果只有A與A這兩個(gè),且事件A發(fā)生的概率為p,事件A發(fā)生的概率為：試驗(yàn)可以獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行，即每次重復(fù)做一次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的概率都是同一常數(shù) p,事件A發(fā)生的概率為11

2、、（2011?北京海淀一模）某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測(cè)，每 一件一等品都能通過檢測(cè)，每一件二等品通過檢測(cè)的概率為2.現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件是一等品，4件是二等品.3（I ）隨機(jī)選取1件產(chǎn)品，求能夠通過檢測(cè)的概率；（n）隨機(jī)選取3件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為X，求X的分布列；（川）隨機(jī)選取3件產(chǎn)品，求這三件產(chǎn)品都不能通過檢測(cè)的概率【解析】（I）設(shè)隨機(jī)選取一件產(chǎn)品，能夠通過檢測(cè)的事件為A1 分J J J J J J J J J J 1八事件A等于事件“選取一等品都通過檢測(cè)或者是選取二等品通過檢測(cè)”，,2 分64213，汕仞,葉,“,計(jì)4 分 1010315(n)由題可知X可能取值為0,

3、123.3O21C1C6C<13P(X0)3,P(XI)36, C1030CI01 Op (A)1203C4C61C4C!P(X2)；3?P(X3)36""沖8 分 C102C106故X的分布列為,9 分（川）設(shè)隨機(jī)選取3件產(chǎn)品都不能通過檢測(cè)的事件為B ,10 分事件B等于事件“隨機(jī)選取3件產(chǎn)品都是二等品且都不能通過檢測(cè)” 所以，分3038102、（2011?深圳一模）第26屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于 20XX年8月 12日到23日在深圳舉行，為了搞好接待工作，組委會(huì)在某學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。將這30名志愿者的身高編成如右所示的莖葉圖（單位 :cm

4、）:若身高在175cm 以上（包括175cm）定義為“高個(gè)子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個(gè)子”， 且只有“女高個(gè)子”才擔(dān)任“禮儀小姐”.（I）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中中提取5人,再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？（n）若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望.人, 分【解析】（I）根據(jù)莖葉圖，有,1 分 用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽中的概率是“高個(gè)子”12人,“非高個(gè)子” 18 斤2U 丄，J J J J J J023尸130而1210306第1頁共8

5、頁11 2人，“非高個(gè)子”有183人，,3分66用事件A表示“至少有一名“高個(gè)子”被選中”，則它的對(duì)立事件A表示“沒有一名“高個(gè)子”被選中”，則，,5分因此，至少有一人是“高個(gè)子”的概率是.,6分101010C5（U）依題意，的取值為0,1,2,3 . ,7分所以選中的“高個(gè)子”有32（CI142S4CS p（. o） ：3 ， D ，3C1255C1255C212OI4C84 卩 I： 2），.,9 分卩（ 3）33C1255C1255因此，的分布列如下：O1理S5451E 01 128121 I 231 .,12 分 555555553、（2011?廣州二模）某地區(qū)對(duì)12歲兒童瞬時(shí)記憶能力

6、進(jìn)行調(diào)查，瞬時(shí)記 憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力某班學(xué)生共有40人下表為該班學(xué)生瞬時(shí)記憶能力的調(diào)查結(jié)果.例如表中聽覺記憶能力為中等，現(xiàn)進(jìn)記憶施力怕島id憶015113b汩：；ij010 1fll11,且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為2. 5 (I)試確定a、b的值；(U)從40人中任意抽取3人，設(shè)具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏 高或超常的學(xué)生人數(shù)為求隨機(jī)變量 的分布列【解析】(I)由表格數(shù)據(jù)可知，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學(xué) 生共有人.記“視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等 以上”為事件A,，解得 ，從而(U)由于從40位學(xué)生中任意抽取3

7、位的結(jié)果數(shù)為C40,其中具有聽覺記憶能力或 視覺記憶能力偏高或則P超常的學(xué)生共24人，從40位學(xué)生中任意抽取3位,其中恰有k位具有聽 覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為 C24,所以從40位學(xué)生中任意抽取3位, 其中恰有k位具有聽覺記憶能力或視k3 kC2-lC16 (k 0, 1, & 3) +的可能取值為 0、aLi*uT：iM:”721、2、3.覺記憶能力偏高或超常的概率為卩( k) 3C-4003122130C24CI因?yàn)椋?333C40247C40247C401235C401235所以的分布列為第2頁共8頁4、(2011?北京朝陽一模)在某校教師趣味投籃比賽中,比賽

8、規(guī)則是:每 場(chǎng)投6個(gè)球，至少投進(jìn)4個(gè)球且最后2個(gè)球都投進(jìn)者獲獎(jiǎng)；否則不獲獎(jiǎng).已 知教師甲投進(jìn)每個(gè)球的概率都是 2. 3 (I)記教師甲在每場(chǎng)的 6次投球中 投進(jìn)球的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(U)求教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率；(川)已知教師乙在某場(chǎng)比賽中，6個(gè)球中恰好投進(jìn)了 4個(gè)球，求教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率；教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率與教師甲在一 場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率相等嗎？【解析】(I) X的所有可能取值為0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.依條件可 知XB(6,2), 3 2 卩(X k) C3 k6k 136)，丨，2, 3, -1； 5, 6)所以 Xr*sflt&

9、#39;IfMJ2 JO12MF7*9729 I I 12260：:!16042405 92 fi 64)- 4.所以EX 72972922或因?yàn)閄B(6,)，所以EX 6即X的數(shù)學(xué)期望為4. 331224125263221. (U)設(shè)教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)為事件A貝V卩(A) C4 ()() C4 0()333338132.答：教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率為81242A4A42C42 (川)設(shè)教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)為事件B,貝V卩勺此處為會(huì)更好！因?yàn)闃颖究?間基于:已知6個(gè)球中恰好投進(jìn)了 4個(gè)球）即教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng) 的概率為.5顯然，所以教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率與教師甲在一場(chǎng) 比賽

10、中獲獎(jiǎng)的概率不相等.580815、（2011?北京石景山一模）為增強(qiáng)市民的節(jié)能環(huán)保意識(shí)，某市面向全市 征召義務(wù)宣傳志愿者從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽樣100名志愿者 的年齡情況如下表所示.（I）頻率分布表中的、位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補(bǔ)全頻 率分布直方圖（如圖），再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在30 ,） 35歲的人數(shù)；（U）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加中心廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，從這 20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人，記 這2名志愿者中“年齡低于 30歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期 望.分組 （單位：歲）頻數(shù)換率-20.25)50

11、.05025,30)020030.35)3535.40)30 |0.300(4(X45100,1 (X)合計(jì)100L(X)歲第3頁共8頁【解析】（I）處填 20,處填0.35 ;補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所 示.500名志愿者中年齡在；的人數(shù)為人，6分（U）用分層抽樣的方法，從中選取20人，則其中“年齡低于30歲”的有5人，“年齡不低于30歲”的有15人.故X的可能取值為0, 1, 2;2C1521P(X 0)2C2038112C15C515C52I) 2，臨 2, ,11 分C2038C2038所以XX0JP2138153812 ,13 分二啟 0 3838382歲6、（2011?北京朝陽二模）

12、為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國民眾的身 體健康，要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售 已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為11，第二輪檢測(cè)不合格的概率為，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒有影響610（I）求該產(chǎn)品不能銷售的概率；（U）如果產(chǎn)品可以銷售，貝y每件產(chǎn)品可獲利40元；如果產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元（即獲利-80元）.已知一箱中有產(chǎn)品4件，記一 箱產(chǎn)品獲利X元，求X的分布列，并求出均值 E（X）.【解析】（I）記“該產(chǎn)品不能銷售”為事件 A,則卩（所以，該產(chǎn)品不能銷售的概率為1611 . 10414分4 J J J J J J J J J

13、J J J J J 1丿 7 1（n）由已知，可知X的取值為320?200,出U?。?5 分J J J J J J J J J丿 J1113331卩侶 ：詛心 )斗,p(x 200)e.'40斗256446413273327231P(X80) C4 ()2()2PCX 啊)(M 0, 441284464381卩(X 160)()4 .分4256所以X的分布列為*320* 20。柏1G0P125636427 112827648125611分1追)：站)1127278110,故均值 e(x)為 40.,12 分 20080"IO1602566412864256;L2路線上有B1,

14、 B227、（2011?北京豐臺(tái)二模）張先生家住H小區(qū)，他在C科技園區(qū)工作，從 家?guī)攒嚨焦旧习嘤?L1，L2兩條路線（如圖），L1路線上有A1, A2, A3 三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為33, 452 (I)若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率；.(U)若走L2路線，求遇到紅燈次數(shù) X的數(shù)學(xué)期望；(川)按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請(qǐng)你幫助張先生從上述 兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由.10【解析】(I)設(shè)走 L1路線最多遇到1次紅燈為A事件，則P（A）-C301所以走L1路線，最多遇到1次紅燈的概率為231（.,4 分 222(U)依題意，X的可能取值為0, 1

15、, 2. ,5 分33933133339) (I ，卩(XTj n I，卩代乃.,8分X曹iIy¥r102ll10 ；45204510454520EX 012.,10 分102020201(川)設(shè)選擇L1路線遇到紅燈次數(shù)為 Y,隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布，,213所以.，,12分因?yàn)闀r(shí)EY，所以選擇L2路線上班最好. ,14 分228、(2011?北京海淀二模)某商場(chǎng)一號(hào)電梯從1層出發(fā)后可以在2、3、4 層?？恳阎撾娞菰?層載有4位乘客，假設(shè)每位乘客在 2、3、4層下電 梯是等可能的.(I )求這4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的概率；(n )用X表示4名乘客在第4層下電梯的人數(shù)

16、，求 X的分布列和數(shù)學(xué) 期望【解析】(I)設(shè)4位乘客中至少有一名乘客在第 2層下電梯的事件 為 A,1 分由題意可得每位乘客在第2層下電梯的概率都是，,3 分32 65則 PCA) 1 H(A) 1分381.(n ) X 的可能取值為 0,1,2,3,4, ,7分1iK.JJK叩JiR1*1> 1ai811由題意可得每個(gè)人在第 4層下電梯的概率均為，且每個(gè)人下電梯互不影 響，所以分311分414339、(2011?福建福州3月質(zhì)檢)“石頭、剪刀、布”是一種廣泛流傳于我 國民間的古老游戲，其規(guī)則是：用三種不同的手勢(shì)分別表示石頭、剪刀、 布；兩個(gè)玩家同時(shí)出示各自手勢(shì) 1次記為1次游戲，“石頭

17、”勝“剪刀”， “剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”；雙方出示的手勢(shì)相同時(shí)，不分勝 負(fù).現(xiàn)假設(shè)玩家甲、乙雙方在游戲時(shí)出示三種手勢(shì)是等可能的.(I)求出在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率；（U）若玩家甲、乙雙方共進(jìn)行了 3次游戲，其中玩家甲勝玩家乙的次 數(shù)記作隨機(jī)變量X，求X的分布列及其期望.【解析】（I）玩家甲、乙雙方在1次游戲中出示手勢(shì)的所有可能結(jié)果是：（石頭，石頭）；（石頭，剪刀）；（石頭，布）；（剪刀，石頭）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石頭）；（布，剪刀）；（布， 布）.共有9個(gè)基本事件, 3分 玩家甲勝玩家乙的基本事件分別是：（石頭，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石頭），共有3個(gè).

18、所以，在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率 卩（U） X的可能取值分別為0， 1， 2， 3.331.6分 931，P X 1 C3P X 0 C332731P X 2C32-2 123273261 2 3 1. 10 分P X 3 C332732fXX131261.1 V11 (或：XB(3,) , EX 呼 31).-EX 01-13分272727273310、(2011?湖北黃岡3月質(zhì)檢)某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命 中率為，乙的命中率為p2，3在射擊比武活動(dòng)中每人射擊發(fā)兩發(fā)子彈則完成一次檢測(cè)，在一次檢測(cè) 中，若兩人命中次數(shù)相等且都不少于一發(fā)，則稱該射擊小組為“先進(jìn)和諧 組”；(I)若

19、,求該小組在一次檢測(cè)中榮獲“先進(jìn)和諧組”的概率;(U)計(jì)劃在20XX年每月進(jìn)行1次檢測(cè)，設(shè)這12次檢測(cè)中該小組獲得 “先進(jìn)和諧組”的次數(shù) ，如果求p2的取值范圍.【解析】(I)12111122111；C2)(6 分 332233223(U)該小組在一次檢測(cè)中榮獲“先進(jìn)和諧組”的概率2112284) TC2. p2(l p2)_( )p22 p2 p22 3333998423而，所以E 12卩，由£.5知12賓 卩2)乳解得1.12 分994卩(C2111、(2011?湖北部分重點(diǎn)中學(xué)第二次聯(lián)考)一射擊測(cè)試每人射擊三次， 每擊中目標(biāo)一次記10分。沒有擊中記0分，某人每次擊中目標(biāo)的概率為

20、(I)求此人得20分的概率；(U)求此人得分的數(shù)學(xué)期望與方差。23分 39（U）記此人三次射擊擊中目標(biāo)次得分為 分，則 B（3,）,分32二施）l（）H（ ）10 ：:!20*9 分321200【）（.）H）0D（.）100 3J2 分333（2011?江西八校4月聯(lián)考）設(shè)不等式確定的平面區(qū)域?yàn)榇_定的平面區(qū)域?yàn)?V 12、（I）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”，在區(qū)域 U內(nèi)任取3個(gè)整點(diǎn)，求這些整點(diǎn)中恰有 2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域V 的概率；【解析】（I）此人得 20分的概率為p C3 02223（U）在區(qū)域U內(nèi)任取3個(gè)點(diǎn)，記這3個(gè)點(diǎn)在區(qū)域V的個(gè)數(shù)為X,求X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（I）依題可知平

21、面區(qū)域 U的整點(diǎn)為共有13 個(gè),C52.C840平面區(qū)域V的整點(diǎn)為()，()，1*1,0共有5個(gè)，AP 3C131431(u)依題可得：平面區(qū)域 u的面積為22 4 ，平面區(qū)域V的面積為：，221在區(qū)域u內(nèi)任取1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域 V內(nèi)的概率為，4 21, 2, 3,且易知：X的可能取值為0，3203122 132111 111 ，P(X 0) C301P(X 1) c13338 822221卩 Qt 2)cX0IJ心-tj*斗 - 1 fJr lir - Q(IXjf'KJET'2321321311，卩隹萄8 2 233 21 3 21 1：U12 分123 =8 38 38

22、 38 32113)，故 EX np-3(或者：XB(3, )22213、(2011?山東淄博二模)A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干 試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有2效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，31服用B有效的概率為.2(I)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；(U)觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用 表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望?！窘馕觥?I)設(shè) Ai表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0,1, 2;，i=0，1，2

23、Bi表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小白鼠有i124224111111依題意有PUl) 2,P(A2)十M)3393392242221414144所求的概率為 卩 IMOAl)P(B1A2J49492994k4k5(U) 的可能取值為o, 1, 2, 3,且P( k) C3 0 (),k 0,12 3999 A 21二X的數(shù)學(xué)期望：EX 0所以數(shù)學(xué)期望E 3.9314、(2011?溫州一模)盒子中裝有大小相同的10只小球，其中2只紅 球，4只黑球，4只白球.規(guī)定：一次摸出 3只球，如果這3只球是同色 的，就獎(jiǎng)勵(lì)10元，否則罰款2元.(I)若某人摸一次球，求他獲獎(jiǎng)勵(lì)的概率；(U)若有10人參加摸球游戲，每人摸一次，摸后放回，記隨機(jī)變量 為獲獎(jiǎng)勵(lì)的人數(shù)，(i )求I) (ii )求這10人所得錢數(shù)的期望.1 142 1532C41【解析】（i）p 2-C10151011401141119)，則P( 1)P( 1) 10)1146 102.1(ii )設(shè)所以H(10)12I0H.10 (5 (10,(n)(i )由題意知10C10（）151515157為在一局中的輸贏，則E 1515561