1.2.多元函數(shù)的極限與連續(xù)ppt課件

1、推廣推廣一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用 第一節(jié)一、平面點集一、平面點集 n維空間維空間二、二、 n元函數(shù)元函數(shù) 三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù) 第八章第八章 的的映映射射mnRR )(0oPPU 00PP一、平面點集一、平面點集 n n維空間維空間1. 1. 平面點集平面點集點集點集 , ),(0PPU 稱為點稱為點 P0 的的鄰鄰域域.坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P P 的點的集合，的點的集合， ),(),(0

2、yxPU 說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成也可寫成. )(0PU點點 P0 的去心的去心鄰域記為鄰域記為 0PP 2020)()(yyxx在平面上在平面上, ,稱為平面點集，記作稱為平面點集，記作 . ,PyxyxE具有性質(zhì)(1) 鄰域鄰域設(shè)有點集設(shè)有點集 E 及一點及一點 P : 若存在點若存在點 P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E , 若存在點若存在點 P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E = , 若點若點 P P 的任一鄰域的任一鄰域 U(P) U(P) 中既有屬于中既有屬于 E E的點，也的點，也有有E則稱則稱 P 為為 E 的內(nèi)點的內(nèi)點, 例如例如 ；則

3、稱則稱 P 為為 E 的外點，例如的外點，例如 ; 則稱則稱 P 為為 E 的邊界點，例如的邊界點，例如 .不屬于不屬于E的點的點 ,顯然顯然, E 的內(nèi)點必屬于的內(nèi)點必屬于 E , E 的外點必不屬于的外點必不屬于 E , E 的的邊界點可能屬于邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于也可能不屬于 E . PP3P(2) 內(nèi)點、外點、邊界點內(nèi)點、外點、邊界點1P2P3P12(3) 聚點聚點若對任意給定的正數(shù)若對任意給定的正數(shù) ,點點P 的去心的去心),(PUE鄰域鄰域內(nèi)總有內(nèi)總有E 中的點中的點 , 則稱則稱 P 是是 E 的聚點的聚點.聚點可以屬于聚點可以屬于 E , 也可以不屬于也可以不屬于

4、E. 聚點可以為聚點可以為 E 的內(nèi)點的內(nèi)點 或或E的邊界點的邊界點注注1 內(nèi)點一定是聚點；內(nèi)點一定是聚點；2 邊界點可能是聚點邊界點可能是聚點, 也可能不是聚點；也可能不是聚點；但但 的點屬于的點屬于 E , 的點不屬于的點不屬于 E. 2E3E則點集則點集 31,221 yxyxE中的點都是中的點都是E的內(nèi)點；的內(nèi)點；點集點集 1,222 yxyxE中的點都是中的點都是E的聚點，的聚點，3),( 223 yxyxE和和E例如例如: 設(shè)點集設(shè)點集 ,31,22 yxyxExyoD(4)開區(qū)域及閉區(qū)域開區(qū)域及閉區(qū)域 若點集若點集 E E 的點都是內(nèi)點，則稱的點都是內(nèi)點，則稱 E E 為開集；為

5、開集； 若點集若點集 E E E, E, 則稱則稱 E E 為閉集；為閉集； 若點集若點集E E中任意兩點中任意兩點 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域. .E的折線相連的折線相連, 連通的開集稱為開區(qū)域連通的開集稱為開區(qū)域 , ,簡稱區(qū)域簡稱區(qū)域 ; ; E E 的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為 E E 的邊界的邊界, , 記作記作 E ;E ;如，如，是閉集、連通集、閉區(qū)域是閉集、連通集、閉區(qū)域. 31,224 yxyxE都可用一完全屬于都可用一完全屬于則稱則稱 E 是連通集是連通集 ;是開集、連通集、是區(qū)域；是開集、連通集、是區(qū)域； 31,223 yxy

6、xE例如，在平面上例如，在平面上 0),( yxyx 41),(22 yxyx 0),( yxyx 41),(22 yxyx開區(qū)域開區(qū)域閉區(qū)域閉區(qū)域xyo21xyoxyoxyo21 整個平面整個平面 點集點集 1),( xyx是開集，是開集， 是最大的開域是最大的開域 , , 也是最大的閉域；也是最大的閉域；但非區(qū)域但非區(qū)域 .11oxy 對點集對點集E , 若存在正數(shù)若存在正數(shù) K , 使對一切點使對一切點 P E, P與原點與原點 O的距離的距離 OP K ,則稱則稱 E 為有界點集；為有界點集； 否則，稱為無界點集否則，稱為無界點集 .2. n 維空間維空間n 元有序數(shù)組元有序數(shù)組),(

7、21nxxx),(21nxxx的全體所構(gòu)成的的全體所構(gòu)成的,Rn 中的每一個元素中的每一個元素kx數(shù)數(shù)稱為該點或該稱為該點或該n維維集合集合,記作記作即即RRRR n nkxxxxkn,2,1,R),(21 一個點或一個一個點或一個n維向量維向量, 當(dāng)所有坐標(biāo)當(dāng)所有坐標(biāo)時時，0 kx稱該點為稱該點為 nR中的坐標(biāo)原點中的坐標(biāo)原點,記作記作0 . 或或n維零向量維零向量,向量的第向量的第 k 個坐標(biāo)個坐標(biāo) .nR稱為稱為 中的中的nR),(21nyyyy 與與),(R21nnxxxx 中中的的向向量量對對于于以及實數(shù)以及實數(shù)， 規(guī)定規(guī)定, ),(2211nnyxyxyxyx , ),(21nxx

8、xx 稱引入了上述線性運算的集合稱引入了上述線性運算的集合為為nR.)(空間空間實實維維n的距離記作的距離記作2222211)()()(),(nnyxyxyxyxP ),(21nyyyy 與與點點),(R21nnxxxx 中中的的點點規(guī)定為規(guī)定為 ,),(yxyxP 或或),(R21nnxxxx 中中的的點點與零元與零元 0 的距離為的距離為22221nxxxx .,3, 2, 1xxn通常記作通常記作時時當(dāng)當(dāng) 0R axaxn滿滿足足與與定定元元中中的的變變元元若若. ax 記記作作并稱并稱x為向量為向量x的模的模., yxRn與與中的向量中的向量于是，對于于是，對于 yx2222211)(

9、)()(nnyxyxyx ),(yxP 則稱則稱顯然顯然,ax .,2211nnaxaxax它們的差為它們的差為的的極極限限，為為變變元元 xa中點中點 a 的的 鄰域鄰域為為 ),(,R),(axPxxaUnnR二、二、 n元函數(shù)元函數(shù)1. n元函數(shù)元函數(shù)的映射的映射mnRR 引例引例: 圓柱體的體積圓柱體的體積,2hrV 0, 0),( hrhrhr 定量理想氣體的壓強(qiáng)定量理想氣體的壓強(qiáng),(為常數(shù)）為常數(shù)）RVTRp 0, 0),(TTVTV 三角形面積的海倫公式三角形面積的海倫公式)2(cbap cba cbacbacba , 0, 0, 0),( )()(cpbpappS 定義定義8.

10、1 設(shè)非空點集設(shè)非空點集,RnD ,RR:nDf映射映射R:Df稱為定義在稱為定義在 D 上的上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作記作點集點集 D 稱為函數(shù)的定義域稱為函數(shù)的定義域 ; 數(shù)集數(shù)集 DxxfDf )()(稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域 . .),()(21Dxxxxfxfyn 或或稱為稱為nxxx,21的子集的子集1R n ),(),(2121nnxxxfyyxxx fnDxxx ),(21的的稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(21nxxxf自變量，自變量，.圖形圖形特別地特別地 , 當(dāng)當(dāng) n = 2 時時, 有二元函數(shù)有二元函數(shù)2R),(),( Dyxyxfz當(dāng)當(dāng) n = 3 時時, 有三元函數(shù)

11、有三元函數(shù)),(zyxfu 二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的定義域一般地一般地, 二元函數(shù)二元函數(shù)的圖形為空間曲面的圖形為空間曲面 .z = f (x, y), (x, y) D3R),( Dzyx是平面點集是平面點集., )sin(yxz 2R),( yx例如例如, 二元函數(shù)二元函數(shù)221yxz 定義域為定義域為1),(22 yxyxD圓域圓域圖形為中心在原點圖形為中心在原點的上半球面的上半球面.又如又如, ,e)(22yxz ,e22yxxyz 三元函數(shù)三元函數(shù) 的定義域是三維空間的點集的定義域是三維空間的點集.)arcsin(222zyxu 的定義域為的定義域為 1),(222 zyxzyx圖

12、形為圖形為4R空間中的超曲面空間中的超曲面.單位閉球單位閉球如如, 三元函數(shù)三元函數(shù) 設(shè)非空點集設(shè)非空點集,RnD 映射映射mDfR:稱為定義稱為定義在在 D 上的上的 一個一個n 元向量值函數(shù)元向量值函數(shù) , 記作記作,:mnRRDf),(),(2121nmxxxfyyy 或或當(dāng)當(dāng)m=1 時時,就是定義就是定義8.1中的中的n 元函數(shù)元函數(shù) , 當(dāng)當(dāng)n=1 時時,就是就是第七章講的一元向量值函數(shù)第七章講的一元向量值函數(shù) . 定義定義8.2向量值函數(shù)的幾何或物理意義舉例向量值函數(shù)的幾何或物理意義舉例 ),(),(:21tvvtuuRR平面曲線的方程或平面平面曲線的方程或平面質(zhì)點隨時間運動的軌跡

13、質(zhì)點隨時間運動的軌跡. . 的的映映射射mnRR.2 ),(),(),(:31twwtvvtuuRR空間曲線的方程或空間空間曲線的方程或空間質(zhì)點隨時間運動的軌跡質(zhì)點隨時間運動的軌跡. . ),(),(:22yxvvyxuuRR平面向量場或平面到平面向量場或平面到平面的坐標(biāo)變換平面的坐標(biāo)變換. . ),(),(),(:32yxwwyxvvyxuuRR曲面的方程或一族空曲面的方程或一族空間曲線間曲線( (當(dāng)固定當(dāng)固定x x或或y). y). 三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限1. 定義定義8.3 設(shè)設(shè) 二二 元函數(shù)元函數(shù),R, )()(2 DPyx,fPf，DPUyxP),(),(0 , Ayx

14、fAPf ),(-)(則稱則稱 A 為函數(shù)為函數(shù)，或或APfPP )(lim0.),(lim00Ayxfyyxx 或或P0(x0, y0) 是是 D 的聚的聚點點 ,若存在常數(shù)若存在常數(shù) A ,對于一切對于一切記作記作，時的極限時的極限當(dāng)當(dāng)0)(PPPfAyxfyxyx ),(lim)0,0(),(總有總有使得使得 0, 0 ,注注 3 關(guān)于二元函數(shù)的極限概念，可相應(yīng)地推廣到關(guān)于二元函數(shù)的極限概念，可相應(yīng)地推廣到n元元 函數(shù)函數(shù) u = f (P), PD Rn上去上去; 1 在二元函數(shù)極限定義中，在二元函數(shù)極限定義中，P P0 是指在是指在 平面上位于平面上位于D內(nèi)以任意方式趨于內(nèi)以任意方式

15、趨于P0 ；P0yxO2 二元函數(shù)的極限又稱為二重極限二元函數(shù)的極限又稱為二重極限;Oxx0Axfxx )(lim0對比：一元函數(shù)極限對比：一元函數(shù)極限4 二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似2. 求二重極限的常用方法求二重極限的常用方法(1) 利用定義利用定義求證求證: 證證. 01sin)(lim222200 yxyxyx0),( yxf22221sinyxyx 22yx 例例122221sin)(),(yxyxyxf , 0 故故取取 01sin)(2222yxyx要使要使 220yx只只要要01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 2

16、2yx 當(dāng)當(dāng) 時，時， 22)0()0(0yx原結(jié)論成立原結(jié)論成立 01sin)(2222yxyx?則則, 例例2用變量代換用變量代換 化二重極限為一元函數(shù)的極限化二重極限為一元函數(shù)的極限.11lim00 yxyxyx求求解解,11),( yxyxyxf1, 0),( yxyxyxD11lim00 yxyxyxyxt 令令11lim0 ttt)11(lim0 tt. 2 xy1 yx0 yxO求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuu

17、sinlim0, 1 yxu2 例例3(3) 利用夾逼準(zhǔn)則，重要極限利用夾逼準(zhǔn)則，重要極限222yxyx 2220yxyx x21 , 000 yx0lim22200 yxyxyx由由夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則，可可知知22200)sin(limyxyxyx 從從而而)0(22 yx2222200)sin(limyxyxyxyxyx 01 .0 利用極坐標(biāo)變換，將二重極限化成利用極坐標(biāo)變換，將二重極限化成 時的極限時的極限)(0任任意意變變化化 解解.)(lim2200yxxxyyx 求極限求極限)0(,sin,cos22 yxyx 令令 cos)cos(sinlim)(0 任任意意 cos)cos(s

18、inlim)(0 任任意意例例42200)(limyxxxyyx 2cos)cos(sin0lim0 . 0 P0趨向于趨向于),(000yxP ，假設(shè)，假設(shè)與與 k 有關(guān)，則可斷言有關(guān)，則可斷言: 二重極限二重極限.),(lim00不不存存在在yxfyyxx3. 確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：的的值值)(lim)(0PfDLPPP 令令),(yxP沿直線沿直線)(:00 xxkyyL (1)xyO )(lim)1(0PfDLPPP)(lim)2(0PfDLPPP .),(lim00不不存存在在則則yxfyyxx找兩條特殊路徑找兩條特殊路徑L1，L2，假設(shè)，假設(shè)(2)P0yxOL

19、1L2例例5 證明下列極限不存在：證明下列極限不存在：(1);lim00yxyxyx ;lim)2(2200yxxyyx .lim)3(26300yxyxyx 證證 (1)yxyxyxf ),(),(yxyxD 定定義義域域x yOy = x),(lim00yxfyx xyoy=x100lim0 xxx),(lim00yxfxy 100lim0 yyyyxyxyxf ),(),(lim),(lim0000yxfyxfxyyx .lim00不不存存在在yxyxyx )0 ,(lim0 xfx ), 0(lim0yfy (2)2200limyxxyyx 分析分析22),(yxxyyxf 000li

20、m),(lim22000 xxyxfxyx000lim),(lim22000 yyyxfyxy 存在？存在？能否說能否說2200limyxxyyx 不能！不能！xyO證證2200limyxxykxyx 220)(limkxxkxxx 21kk 其值隨其值隨 k 的不同而變化，的不同而變化，.lim2200不不存存在在yxxyyx 26300lim)3(yxyxyx 分析分析263),(yxyxyxf ),(lim00yxfkxyx 2420limkxkxx . 0 存存在在？能能否否說說26300limyxyxyx 不能！不能！xyO2630)(limkxxkxxx 證證取取,3kxy 263

21、003limyxyxkxyx 626330limxkxkxxx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故該極限不存在故該極限不存在263),(yxyxyxf 例例6是否存在？是否存在？極限極限問：問：yxxyyx 00lim分析分析yxxyyxf ),()1(lim),(lim000 kkxxkxxyxfxkxyxkkxx 1lim0. 0 存在？存在？能否說能否說yxxyyx 00lim不能！不能！xyOy = - x證證取取xxyxyx 22,即即yxxyxxyx 002lim220)(limxxxxx 1)1(lim0 xx000limlim000 xxyxxyxyxyx

22、xyyxf ),(.lim00不不存存在在極極限限yxxyyx 問：問：下列推導(dǎo)是否正確？下列推導(dǎo)是否正確？)43(sincossincoslimlim000yxxyyx sincossincoslim0 0 答：不正確答：不正確.錯誤原因：錯誤原因：，對于確定的對于確定的0)sin,cos(lim0 f0),(lim00 yxfyx時時只只有有當(dāng)當(dāng)任任意意變變化化0)sin,cos(lim)(0 f0),(lim00 yxfyx事實上，事實上，時時，當(dāng)當(dāng)xxy 2 coscossin22 2coscossin 即即 coscossin22 )sin,cos(lim)coscossin(02

23、f sincossincoslim)coscossin(02 此值與此值與有關(guān)，有關(guān)， 原極限不存在原極限不存在. sincos)coscos(coscoscossinlim220 1)1cos(lim0 0)sin,cos(lim)0(0 f四、四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義8.4),()(yxfPf 定義在定義在 D 上上,),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx ),(),(000yxPyxf在在點點如果函數(shù)在如果函數(shù)在 D 上各點處都連續(xù)上各點處都連續(xù), ,00DPDP 的聚點，且的聚點，且為為假設(shè)假設(shè)),(000yxP則稱則稱的間斷點的間斷點 .則

24、稱函數(shù)則稱函數(shù)連續(xù)連續(xù).處連續(xù)處連續(xù).記作記作).(),(DCyxf 定義定義8.5),(yxf定義在定義在 D 上上,),(yxf的聚點，的聚點，為為DP0假設(shè)假設(shè)為函數(shù)為函數(shù)),(),(000yxPyxf在在點點函數(shù)函數(shù)處不連續(xù)，處不連續(xù)，設(shè)二設(shè)二 元函數(shù)元函數(shù)則稱此函數(shù)在則稱此函數(shù)在 D 上上設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)例如例如, 函數(shù)函數(shù) 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在在 (0 , 0)點極限不存在點極限不存在(例例5(2), 又如又如, 函數(shù)函數(shù)11),(22 yxyxf上間斷上間斷.122 yx 故故 ( 0, 0 )為其間斷點為其間斷點.在圓周在圓周結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).例例7 證明證明 ),(yxf)0 , 0(),(,22 yxyxyx)0 , 0(),(,0 yx在全平面連續(xù)在全平面連續(xù).證證,)0 , 0(),(處處在在 yx),(yxf為初等函數(shù)為初等函數(shù) , 故連續(xù)故連續(xù).又又220yxyx 222yxyx 222221yxyx 2200limyxyxyx 0)0 , 0(f 故函數(shù)在全平面連續(xù)故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準(zhǔn)則得由夾逼準(zhǔn)則得 ),(lim00yx