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1、推廣推廣一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用 第一節(jié)一、平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集 n維空間維空間二、二、 n元函數(shù)元函數(shù) 三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù) 第八章第八章 的的映映射射mnRR )(0oPPU 00PP一、平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集 n n維空間維空間1. 1. 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集點(diǎn)集點(diǎn)集 , ),(0PPU 稱為點(diǎn)稱為點(diǎn) P0 的的鄰鄰域域.坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P P 的點(diǎn)的集合,的點(diǎn)的集合, ),(),(0
2、yxPU 說明:若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑說明:若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成也可寫成. )(0PU點(diǎn)點(diǎn) P0 的去心的去心鄰域記為鄰域記為 0PP 2020)()(yyxx在平面上在平面上, ,稱為平面點(diǎn)集,記作稱為平面點(diǎn)集,記作 . ,PyxyxE具有性質(zhì)(1) 鄰域鄰域設(shè)有點(diǎn)集設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn)及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn)若存在點(diǎn) P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn)若存在點(diǎn) P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E = , 若點(diǎn)若點(diǎn) P P 的任一鄰域的任一鄰域 U(P) U(P) 中既有屬于中既有屬于 E E的點(diǎn),也的點(diǎn),也有有E則稱則稱 P 為為 E 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn), 例如例如 ;則
3、稱則稱 P 為為 E 的外點(diǎn),例如的外點(diǎn),例如 ; 則稱則稱 P 為為 E 的邊界點(diǎn),例如的邊界點(diǎn),例如 .不屬于不屬于E的點(diǎn)的點(diǎn) ,顯然顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的的邊界點(diǎn)可能屬于邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于也可能不屬于 E . PP3P(2) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)1P2P3P12(3) 聚點(diǎn)聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的正數(shù)若對(duì)任意給定的正數(shù) ,點(diǎn)點(diǎn)P 的去心的去心),(PUE鄰域鄰域內(nèi)總有內(nèi)總有E 中的點(diǎn)中的點(diǎn) , 則稱則稱 P 是是 E 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于也可以不屬于
4、E. 聚點(diǎn)可以為聚點(diǎn)可以為 E 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn) 或或E的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)注注1 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn);內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn);2 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn), 也可能不是聚點(diǎn);也可能不是聚點(diǎn);但但 的點(diǎn)屬于的點(diǎn)屬于 E , 的點(diǎn)不屬于的點(diǎn)不屬于 E. 2E3E則點(diǎn)集則點(diǎn)集 31,221 yxyxE中的點(diǎn)都是中的點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn);的內(nèi)點(diǎn);點(diǎn)集點(diǎn)集 1,222 yxyxE中的點(diǎn)都是中的點(diǎn)都是E的聚點(diǎn),的聚點(diǎn),3),( 223 yxyxE和和E例如例如: 設(shè)點(diǎn)集設(shè)點(diǎn)集 ,31,22 yxyxExyoD(4)開區(qū)域及閉區(qū)域開區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 E E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),則稱的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),則稱 E E 為開集;為
5、開集; 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 E E E, E, 則稱則稱 E E 為閉集;為閉集; 若點(diǎn)集若點(diǎn)集E E中任意兩點(diǎn)中任意兩點(diǎn) 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域. .E的折線相連的折線相連, 連通的開集稱為開區(qū)域連通的開集稱為開區(qū)域 , ,簡(jiǎn)稱區(qū)域簡(jiǎn)稱區(qū)域 ; ; E E 的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為 E E 的邊界的邊界, , 記作記作 E ;E ;如,如,是閉集、連通集、閉區(qū)域是閉集、連通集、閉區(qū)域. 31,224 yxyxE都可用一完全屬于都可用一完全屬于則稱則稱 E 是連通集是連通集 ;是開集、連通集、是區(qū)域;是開集、連通集、是區(qū)域; 31,223 yxy
6、xE例如,在平面上例如,在平面上 0),( yxyx 41),(22 yxyx 0),( yxyx 41),(22 yxyx開區(qū)域開區(qū)域閉區(qū)域閉區(qū)域xyo21xyoxyoxyo21 整個(gè)平面整個(gè)平面 點(diǎn)集點(diǎn)集 1),( xyx是開集,是開集, 是最大的開域是最大的開域 , , 也是最大的閉域;也是最大的閉域;但非區(qū)域但非區(qū)域 .11oxy 對(duì)點(diǎn)集對(duì)點(diǎn)集E , 若存在正數(shù)若存在正數(shù) K , 使對(duì)一切點(diǎn)使對(duì)一切點(diǎn) P E, P與原點(diǎn)與原點(diǎn) O的距離的距離 OP K ,則稱則稱 E 為有界點(diǎn)集;為有界點(diǎn)集; 否則,稱為無(wú)界點(diǎn)集否則,稱為無(wú)界點(diǎn)集 .2. n 維空間維空間n 元有序數(shù)組元有序數(shù)組),(
7、21nxxx),(21nxxx的全體所構(gòu)成的的全體所構(gòu)成的,Rn 中的每一個(gè)元素中的每一個(gè)元素kx數(shù)數(shù)稱為該點(diǎn)或該稱為該點(diǎn)或該n維維集合集合,記作記作即即RRRR n nkxxxxkn,2,1,R),(21 一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)n維向量維向量, 當(dāng)所有坐標(biāo)當(dāng)所有坐標(biāo)時(shí)時(shí),0 kx稱該點(diǎn)為稱該點(diǎn)為 nR中的坐標(biāo)原點(diǎn)中的坐標(biāo)原點(diǎn),記作記作0 . 或或n維零向量維零向量,向量的第向量的第 k 個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo) .nR稱為稱為 中的中的nR),(21nyyyy 與與),(R21nnxxxx 中中的的向向量量對(duì)對(duì)于于以及實(shí)數(shù)以及實(shí)數(shù), 規(guī)定規(guī)定, ),(2211nnyxyxyxyx , ),(21nxx
8、xx 稱引入了上述線性運(yùn)算的集合稱引入了上述線性運(yùn)算的集合為為nR.)(空間空間實(shí)實(shí)維維n的距離記作的距離記作2222211)()()(),(nnyxyxyxyxP ),(21nyyyy 與與點(diǎn)點(diǎn)),(R21nnxxxx 中中的的點(diǎn)點(diǎn)規(guī)定為規(guī)定為 ,),(yxyxP 或或),(R21nnxxxx 中中的的點(diǎn)點(diǎn)與零元與零元 0 的距離為的距離為22221nxxxx .,3, 2, 1xxn通常記作通常記作時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0R axaxn滿滿足足與與定定元元中中的的變變?cè)羧? ax 記記作作并稱并稱x為向量為向量x的模的模., yxRn與與中的向量中的向量于是,對(duì)于于是,對(duì)于 yx2222211)(
9、)()(nnyxyxyx ),(yxP 則稱則稱顯然顯然,ax .,2211nnaxaxax它們的差為它們的差為的的極極限限,為為變變?cè)?xa中點(diǎn)中點(diǎn) a 的的 鄰域鄰域?yàn)闉?),(,R),(axPxxaUnnR二、二、 n元函數(shù)元函數(shù)1. n元函數(shù)元函數(shù)的映射的映射mnRR 引例引例: 圓柱體的體積圓柱體的體積,2hrV 0, 0),( hrhrhr 定量理想氣體的壓強(qiáng)定量理想氣體的壓強(qiáng),(為常數(shù))為常數(shù))RVTRp 0, 0),(TTVTV 三角形面積的海倫公式三角形面積的海倫公式)2(cbap cba cbacbacba , 0, 0, 0),( )()(cpbpappS 定義定義8.
10、1 設(shè)非空點(diǎn)集設(shè)非空點(diǎn)集,RnD ,RR:nDf映射映射R:Df稱為定義在稱為定義在 D 上的上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作記作點(diǎn)集點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域稱為函數(shù)的定義域 ; 數(shù)集數(shù)集 DxxfDf )()(稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域 . .),()(21Dxxxxfxfyn 或或稱為稱為nxxx,21的子集的子集1R n ),(),(2121nnxxxfyyxxx fnDxxx ),(21的的稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(21nxxxf自變量,自變量,.圖形圖形特別地特別地 , 當(dāng)當(dāng) n = 2 時(shí)時(shí), 有二元函數(shù)有二元函數(shù)2R),(),( Dyxyxfz當(dāng)當(dāng) n = 3 時(shí)時(shí), 有三元函數(shù)
11、有三元函數(shù)),(zyxfu 二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的定義域一般地一般地, 二元函數(shù)二元函數(shù)的圖形為空間曲面的圖形為空間曲面 .z = f (x, y), (x, y) D3R),( Dzyx是平面點(diǎn)集是平面點(diǎn)集., )sin(yxz 2R),( yx例如例如, 二元函數(shù)二元函數(shù)221yxz 定義域?yàn)槎x域?yàn)?),(22 yxyxD圓域圓域圖形為中心在原點(diǎn)圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面的上半球面.又如又如, ,e)(22yxz ,e22yxxyz 三元函數(shù)三元函數(shù) 的定義域是三維空間的點(diǎn)集的定義域是三維空間的點(diǎn)集.)arcsin(222zyxu 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?1),(222 zyxzyx圖
12、形為圖形為4R空間中的超曲面空間中的超曲面.單位閉球單位閉球如如, 三元函數(shù)三元函數(shù) 設(shè)非空點(diǎn)集設(shè)非空點(diǎn)集,RnD 映射映射mDfR:稱為定義稱為定義在在 D 上的上的 一個(gè)一個(gè)n 元向量值函數(shù)元向量值函數(shù) , 記作記作,:mnRRDf),(),(2121nmxxxfyyy 或或當(dāng)當(dāng)m=1 時(shí)時(shí),就是定義就是定義8.1中的中的n 元函數(shù)元函數(shù) , 當(dāng)當(dāng)n=1 時(shí)時(shí),就是就是第七章講的一元向量值函數(shù)第七章講的一元向量值函數(shù) . 定義定義8.2向量值函數(shù)的幾何或物理意義舉例向量值函數(shù)的幾何或物理意義舉例 ),(),(:21tvvtuuRR平面曲線的方程或平面平面曲線的方程或平面質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)的軌跡
13、質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)的軌跡. . 的的映映射射mnRR.2 ),(),(),(:31twwtvvtuuRR空間曲線的方程或空間空間曲線的方程或空間質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)的軌跡質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)的軌跡. . ),(),(:22yxvvyxuuRR平面向量場(chǎng)或平面到平面向量場(chǎng)或平面到平面的坐標(biāo)變換平面的坐標(biāo)變換. . ),(),(),(:32yxwwyxvvyxuuRR曲面的方程或一族空曲面的方程或一族空間曲線間曲線( (當(dāng)固定當(dāng)固定x x或或y). y). 三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限1. 定義定義8.3 設(shè)設(shè) 二二 元函數(shù)元函數(shù),R, )()(2 DPyx,fPf,DPUyxP),(),(0 , Ayx
14、fAPf ),(-)(則稱則稱 A 為函數(shù)為函數(shù),或或APfPP )(lim0.),(lim00Ayxfyyxx 或或P0(x0, y0) 是是 D 的聚的聚點(diǎn)點(diǎn) ,若存在常數(shù)若存在常數(shù) A ,對(duì)于一切對(duì)于一切記作記作,時(shí)的極限時(shí)的極限當(dāng)當(dāng)0)(PPPfAyxfyxyx ),(lim)0,0(),(總有總有使得使得 0, 0 ,注注 3 關(guān)于二元函數(shù)的極限概念,可相應(yīng)地推廣到關(guān)于二元函數(shù)的極限概念,可相應(yīng)地推廣到n元元 函數(shù)函數(shù) u = f (P), PD Rn上去上去; 1 在二元函數(shù)極限定義中,在二元函數(shù)極限定義中,P P0 是指在是指在 平面上位于平面上位于D內(nèi)以任意方式趨于內(nèi)以任意方式
15、趨于P0 ;P0yxO2 二元函數(shù)的極限又稱為二重極限二元函數(shù)的極限又稱為二重極限;Oxx0Axfxx )(lim0對(duì)比:一元函數(shù)極限對(duì)比:一元函數(shù)極限4 二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似2. 求二重極限的常用方法求二重極限的常用方法(1) 利用定義利用定義求證求證: 證證. 01sin)(lim222200 yxyxyx0),( yxf22221sinyxyx 22yx 例例122221sin)(),(yxyxyxf , 0 故故取取 01sin)(2222yxyx要使要使 220yx只只要要01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 2
16、2yx 當(dāng)當(dāng) 時(shí),時(shí), 22)0()0(0yx原結(jié)論成立原結(jié)論成立 01sin)(2222yxyx?則則, 例例2用變量代換用變量代換 化二重極限為一元函數(shù)的極限化二重極限為一元函數(shù)的極限.11lim00 yxyxyx求求解解,11),( yxyxyxf1, 0),( yxyxyxD11lim00 yxyxyxyxt 令令11lim0 ttt)11(lim0 tt. 2 xy1 yx0 yxO求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuu
17、sinlim0, 1 yxu2 例例3(3) 利用夾逼準(zhǔn)則,重要極限利用夾逼準(zhǔn)則,重要極限222yxyx 2220yxyx x21 , 000 yx0lim22200 yxyxyx由由夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則,可可知知22200)sin(limyxyxyx 從從而而)0(22 yx2222200)sin(limyxyxyxyxyx 01 .0 利用極坐標(biāo)變換,將二重極限化成利用極坐標(biāo)變換,將二重極限化成 時(shí)的極限時(shí)的極限)(0任任意意變變化化 解解.)(lim2200yxxxyyx 求極限求極限)0(,sin,cos22 yxyx 令令 cos)cos(sinlim)(0 任任意意 cos)cos(s
18、inlim)(0 任任意意例例42200)(limyxxxyyx 2cos)cos(sin0lim0 . 0 P0趨向于趨向于),(000yxP ,假設(shè),假設(shè)與與 k 有關(guān),則可斷言有關(guān),則可斷言: 二重極限二重極限.),(lim00不不存存在在yxfyyxx3. 確定極限不存在的方法:確定極限不存在的方法:的的值值)(lim)(0PfDLPPP 令令),(yxP沿直線沿直線)(:00 xxkyyL (1)xyO )(lim)1(0PfDLPPP)(lim)2(0PfDLPPP .),(lim00不不存存在在則則yxfyyxx找兩條特殊路徑找兩條特殊路徑L1,L2,假設(shè),假設(shè)(2)P0yxOL
19、1L2例例5 證明下列極限不存在:證明下列極限不存在:(1);lim00yxyxyx ;lim)2(2200yxxyyx .lim)3(26300yxyxyx 證證 (1)yxyxyxf ),(),(yxyxD 定定義義域域x yOy = x),(lim00yxfyx xyoy=x100lim0 xxx),(lim00yxfxy 100lim0 yyyyxyxyxf ),(),(lim),(lim0000yxfyxfxyyx .lim00不不存存在在yxyxyx )0 ,(lim0 xfx ), 0(lim0yfy (2)2200limyxxyyx 分析分析22),(yxxyyxf 000li
20、m),(lim22000 xxyxfxyx000lim),(lim22000 yyyxfyxy 存在?存在?能否說能否說2200limyxxyyx 不能!不能!xyO證證2200limyxxykxyx 220)(limkxxkxxx 21kk 其值隨其值隨 k 的不同而變化,的不同而變化,.lim2200不不存存在在yxxyyx 26300lim)3(yxyxyx 分析分析263),(yxyxyxf ),(lim00yxfkxyx 2420limkxkxx . 0 存存在在?能能否否說說26300limyxyxyx 不能!不能!xyO2630)(limkxxkxxx 證證取取,3kxy 263
21、003limyxyxkxyx 626330limxkxkxxx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化,的不同而變化,故該極限不存在故該極限不存在263),(yxyxyxf 例例6是否存在?是否存在?極限極限問:?jiǎn)枺簓xxyyx 00lim分析分析yxxyyxf ),()1(lim),(lim000 kkxxkxxyxfxkxyxkkxx 1lim0. 0 存在?存在?能否說能否說yxxyyx 00lim不能!不能!xyOy = - x證證取取xxyxyx 22,即即yxxyxxyx 002lim220)(limxxxxx 1)1(lim0 xx000limlim000 xxyxxyxyxyx
22、xyyxf ),(.lim00不不存存在在極極限限yxxyyx 問:?jiǎn)枺合铝型茖?dǎo)是否正確?下列推導(dǎo)是否正確?)43(sincossincoslimlim000yxxyyx sincossincoslim0 0 答:不正確答:不正確.錯(cuò)誤原因:錯(cuò)誤原因:,對(duì)于確定的對(duì)于確定的0)sin,cos(lim0 f0),(lim00 yxfyx時(shí)時(shí)只只有有當(dāng)當(dāng)任任意意變變化化0)sin,cos(lim)(0 f0),(lim00 yxfyx事實(shí)上,事實(shí)上,時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng)xxy 2 coscossin22 2coscossin 即即 coscossin22 )sin,cos(lim)coscossin(02
23、f sincossincoslim)coscossin(02 此值與此值與有關(guān),有關(guān), 原極限不存在原極限不存在. sincos)coscos(coscoscossinlim220 1)1cos(lim0 0)sin,cos(lim)0(0 f四、四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義8.4),()(yxfPf 定義在定義在 D 上上,),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx ),(),(000yxPyxf在在點(diǎn)點(diǎn)如果函數(shù)在如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù)上各點(diǎn)處都連續(xù), ,00DPDP 的聚點(diǎn),且的聚點(diǎn),且為為假設(shè)假設(shè)),(000yxP則稱則稱的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn) .則
24、稱函數(shù)則稱函數(shù)連續(xù)連續(xù).處連續(xù)處連續(xù).記作記作).(),(DCyxf 定義定義8.5),(yxf定義在定義在 D 上上,),(yxf的聚點(diǎn),的聚點(diǎn),為為DP0假設(shè)假設(shè)為函數(shù)為函數(shù)),(),(000yxPyxf在在點(diǎn)點(diǎn)函數(shù)函數(shù)處不連續(xù),處不連續(xù),設(shè)二設(shè)二 元函數(shù)元函數(shù)則稱此函數(shù)在則稱此函數(shù)在 D 上上設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)例如例如, 函數(shù)函數(shù) 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在在 (0 , 0)點(diǎn)極限不存在點(diǎn)極限不存在(例例5(2), 又如又如, 函數(shù)函數(shù)11),(22 yxyxf上間斷上間斷.122 yx 故故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn)為其間斷點(diǎn).在圓周在圓周結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).例例7 證明證明 ),(yxf)0 , 0(),(,22 yxyxyx)0 , 0(),(,0 yx在全平面連續(xù)在全平面連續(xù).證證,)0 , 0(),(處處在在 yx),(yxf為初等函數(shù)為初等函數(shù) , 故連續(xù)故連續(xù).又又220yxyx 222yxyx 222221yxyx 2200limyxyxyx 0)0 , 0(f 故函數(shù)在全平面連續(xù)故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準(zhǔn)則得由夾逼準(zhǔn)則得 ),(lim00yx
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