第三節(jié) 誤差的估算

1、第三節(jié) 誤差的估算由于物理量的數(shù)值的獲得途徑有直接測量和間接測量兩種，無論直接測量，還是間測量都有誤差，誤差的計算也分兩種情況。廣義地講，兩種情況的處理都屬于誤差計算。然而，間接測量是由直測量決定的，以直接測量為基礎的，間接測量的誤差是由直接測量通過給定的函數(shù)關系確定的。因此，狹義地講，常把直接測量的誤差計算稱為誤差計算，而將間接測量的誤差計算叫誤差傳遞。此外，由于嚴格意義上的誤差是無法計算的，因而只能通過各種方法進行近似計算，故將誤差計算稱為誤差的估算，而且可有多種方法進行估算。下面就介紹幾種常用的誤差估算方法。一、直接測量的誤差估算1算術平均誤差在測量列Xi中，各次測量的誤差的絕對值的算術

2、平均值叫算術平均誤差。記為DX。按定義 DX=1nnni=1nXi-X 或 DX=DXi=1i其中n為測量次數(shù)，DXi=Xi-X。2.絕對誤差誤差的絕對值叫絕對誤差。狹義的絕對誤差，如上面的DXi，DX。而廣義的絕對誤差還有后面要討論的Sx，sx，s，Q等。3.相對誤差絕對誤差與平均值的百分比叫相對誤差，又叫百分誤差。記為Er。其估算方法為 DXX Er=100% 廣義地講，后面要討論的4.標準偏差 SxX、sX等都可叫相對誤差。按定義，標準誤差是測量列中各次誤差的方均根，記為sx。當n時 sx=1n(Xii=1n-a) 2需要注意的是，上式是在測量次數(shù)很多時，測量列按正態(tài)分布時所得到的結果。

3、實際上，由于真值無法獲得，而測量次數(shù)也只能是有限的。因此，標準誤差sx只能通過偏差進行估算。由統(tǒng)計理論可推導出，對有限次測量的標準偏差Sx的計算公式為：Sx=1n-1(Xi=1ni-X)2即最后是用Sx代替sx。通常所說的標準誤差，實際上就是Sx。5.算術平均值的標準偏差算術平均值的標準偏差與測量列標準偏差的關系為 Sx=1nSx二、間接測量的誤差計算（誤差的傳遞） 上面所討論的誤差計算方法是對直接測量而言的，在此基礎上我們可以進一步討論間接測量的誤差計算問題。我們知道，間接測量是由直測量通過一定的函數(shù)關系決定相應的間接測量的誤差，它們之間的這種關系叫誤差的傳遞，相應的計算公式叫誤差傳遞公式。

4、下面我們首先討論誤差傳遞公式的一般形式，然后再將其運用于一些具體情況。1.誤差傳遞公式的一般形式設間接測量量f與彼此獨立的直接測量量x、y、z(只取3個)間的函數(shù)關系為 f=f(x,y,z)測量結果用平均值和絕對誤差表示為 x=xDxy=yDyz=zDz和 f=fDf其中,f=fx,y,z。將f(x,y,z)在x,y,z點按泰勒級數(shù)展開有ffff(x,y,z)=fx,y,zx-x+y-y+z-zyzx)()()()()() +(高階小量)將此結果與前面假定關系式f=fDf比較，忽略高階小量，并考慮到誤差傳遞中通過組合可能產(chǎn)生的最大值，取間接測量的絕對誤差為 Df=相對誤差為Dff=lnfxDx

5、+lnfyDy+lnfzDzfxDx+fyDy+fzDz根據(jù)標準差的定義，由上述展開式，在考慮到x,y,z是彼此獨立的情況，可得標準差的傳遞公式的絕對形式為s=fxs22xff+ys22yf+zs22z相對形式為sff=lnfxsfx22xlnfs+ylnfx22ylnfs+z22z其中fx、lnfx分別為、在x,y,z點處的值。()為了較好地使用標準誤差的傳遞公式，需要說明的是：(1)如果f由x,y,z按加(減)關系確定時，常用標準誤差傳遞的絕對形式計算。 (2)如果f由x,y,z按乘(除)關系確定時，常用誤差傳遞的相對形式計算。 (3)如果x,y,z彼此不獨立，還需計算相關系數(shù)(協(xié)方差)。例如：若f=xy，當x=y（僅數(shù)值相等）時的誤差傳遞，與取x=y（x與y完全相關）后f=x的誤差2傳遞是不一樣的。因為，當f=xy時有 sysf， =x+fxy再取x=y時，化為s22sff=2sxx。而當f=x2時sff=2sxx。可見，前者在取x=y時，僅為數(shù)值上相等，而它們?nèi)允潜诵┆?/p>