巧用簡諧運(yùn)動中的對稱性解題

1、巧用簡諧運(yùn)動中的對稱性解題陶成龍做簡諧運(yùn)動的物體其運(yùn)動具有對稱性，因此描述簡諧運(yùn)動的一些物理量也具有對稱性，若能靈活運(yùn)用這一點(diǎn)來解決簡諧運(yùn)動問題，常能收到出奇制勝的效果。下面舉例說明，以供同學(xué)們參考。1. 巧用時間的對稱性例1. 如圖1所示，一質(zhì)點(diǎn)在平衡位置O點(diǎn)兩側(cè)做簡諧運(yùn)動，在它從平衡位置O出發(fā)向最大位移A處運(yùn)動過程中經(jīng)0.15s第一次通過M點(diǎn)，再經(jīng)0.1s第2次通過M點(diǎn)。則此后還要經(jīng)多長時間第3次通過M點(diǎn)，該質(zhì)點(diǎn)振動的頻率為多大？圖1解析：由于質(zhì)點(diǎn)從MA和從AM的時間是對稱的，結(jié)合題設(shè)條件可知MA所需時間為0.05s，所以質(zhì)點(diǎn)從平衡位置OA的時間為，又因為，所以質(zhì)點(diǎn)的振動周期為T0.8s，

2、頻率。根據(jù)時間的對稱性可知MO與OM所需時間相等為0.15s，所以質(zhì)點(diǎn)第3次通過M點(diǎn)所需時間為2. 巧用加速度的對稱性例2. 如圖2所示，小球從豎直立在地面上的輕彈簧的正上方某處自由下落，接觸彈簧后將彈簧壓縮，全過程中彈簧為彈性形變。試比較彈簧壓縮到最大時的加速度a和重力加速度g的大小。圖2解析：小球和彈簧接觸后做簡諧運(yùn)動，如圖2所示，點(diǎn)B為彈簧為原長時端點(diǎn)的位置。小球的重力與彈簧的彈力的大小相等的位置O為平衡位置。點(diǎn)A為彈簧被壓縮至最低點(diǎn)的位置（也就是小球做簡諧振動的最大位移處），點(diǎn)A”為與A對稱的位移（也是最大位移處）。由對稱性可知，小球在點(diǎn)A和點(diǎn)A”的加速度的大小相等，設(shè)為a，小球在點(diǎn)B

3、的加速度為g，由圖點(diǎn)B在點(diǎn)A”和點(diǎn)O之間，所以。例3. 如圖3所示，質(zhì)量為m的物體放在質(zhì)量為M的平臺上，隨平臺在豎直方向上做簡諧運(yùn)動，振幅為A，運(yùn)動到最高點(diǎn)時，物體m對平臺的壓力恰好為零，當(dāng)m運(yùn)動到最低點(diǎn)時，求m的加速度。圖3解析：我們?nèi)菀鬃C明，物體m在豎直平面內(nèi)做簡諧運(yùn)動，由小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時對M的壓力為零，即知道物體m在運(yùn)動到最高點(diǎn)時的加速度為g，由簡諧運(yùn)動的對稱性知道，物體m運(yùn)動到最低點(diǎn)時的加速度和最高點(diǎn)的加速度大小相等，方向相反，故小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時的加速度大小為g，方向豎直向上。例4. 如圖4所示，輕彈簧（勁度系數(shù)為k）的下端固定在地面上，其上端和一質(zhì)量為M的木板B相連接，在木板B上

4、又放有一個質(zhì)量為m的物塊P。當(dāng)系統(tǒng)上下振動時，欲使P、B始終不分離，則輕彈簧的最大壓縮量為多大？圖4解析：從簡諧運(yùn)動的角度看，木板B和物塊P的總重力與彈簧彈力的合力充當(dāng)回復(fù)力，即；從簡單連接體的角度看，系統(tǒng)受到的合外力產(chǎn)生了系統(tǒng)的加速度a，即，由以上兩式可解為。當(dāng)P和B在平衡位置下方時，系統(tǒng)處于超重狀態(tài)，P不可能和B分離，因此P和B分離的位置一定在上方最大位移處，且P和B一起運(yùn)動的最大加速度。由加速度的對稱性可知彈簧壓縮時最大加速度也為，所以輕彈簧的最大壓縮量應(yīng)滿足關(guān)系式，即得。3. 巧用速度的對稱性例5. 如圖5所示是一水平彈簧振子在5s內(nèi)的振動圖象。從圖象中分析，在給定的時間內(nèi)，以0.5s

5、為起點(diǎn)的哪段時間內(nèi)，彈力所做的功為零。圖54. 巧用回復(fù)力的對稱性例6. 如圖6所示，在質(zhì)量為M的無下底的木箱頂部用一輕彈簧懸掛質(zhì)量均為的A、B兩物塊，箱子放在水平地面上，平衡后剪斷A、B間細(xì)線，此后A將做簡諧運(yùn)動。當(dāng)A運(yùn)動到最高點(diǎn)時，木箱對地面的壓力為（）圖6A. Mg B. C. D. 解析：剪斷細(xì)線后的瞬間，彈簧對A的彈力為，所以A受到向上的合外力（回復(fù)力）為mg。當(dāng)A運(yùn)動到上方最大位移處時，由于簡諧運(yùn)動的回復(fù)力的對稱性，A將受到豎直向下的合外力（回復(fù)力），其大小仍為mg，也就是說，此時彈簧中沒有彈力，所以木箱對地面的壓力為Mg。選項A正確。例7. 如圖7所示，質(zhì)量為m的木塊放在彈簧上端

6、，在豎直方向上做簡諧運(yùn)動，當(dāng)振幅為A時，物體對彈簧的壓力的最大值是物體重力的1.5倍，則物體對彈簧的最小壓力是_；欲使物體在彈簧振動中不離開彈簧，其振幅不能超過_。圖7分析與解答：物體對彈簧壓力最大應(yīng)是物體振動到最低點(diǎn)時，最小應(yīng)是物體振動到最高點(diǎn)時。對物體進(jìn)行受力分析，在最低點(diǎn)受兩個力：重力和彈簧彈力，根據(jù)題中信息可知這兩個力的合力大小為0.5mg，方向向上，充當(dāng)回復(fù)力。根據(jù)力大小的對稱性可知，物體振動到最高點(diǎn)時，回復(fù)力大小也應(yīng)為0.5mg，方向向下，則物體在最高點(diǎn)所受彈簧的彈力應(yīng)為0.5mg，方向向上，根據(jù)牛頓第三定律物體對彈簧的最小壓力為0.5mg；物體脫離彈簧時應(yīng)是彈簧恢復(fù)到自由伸長時，

7、根據(jù)彈力F可知，在原來的基礎(chǔ)上彈簧再伸長一個振幅A就可恢復(fù)到原長，所以欲使物體不離開彈簧，其振幅不能超過2A。例8. 如圖8，用質(zhì)量不計的彈簧把質(zhì)量為3m的木板A與質(zhì)量為m的木板B連接組成如圖所示的裝置，B板置于水平地面上，現(xiàn)用一豎直向下的力F向下壓木板A，撤消F后，B板恰好被提離地面，由此可知力F的大小是（）圖8A. 7mg B. 4mgC. 3mg D. 2mg解析：沒撤去力F時，物體A靜止，所受合力為零，把力F撤去，物體A受合力大小為F，方向向上，開始向上振動，所以最大回復(fù)力為F，根據(jù)力大小的對稱性，A振動到最高點(diǎn)時，回復(fù)力大小也為F，對物體A在最高點(diǎn)進(jìn)行受力分析：重力3mg和彈簧的彈力

8、F”，合力為F。即；再對物體B進(jìn)行受力分析，B恰好被提離地面可得：，所以力F的大小為4mg。選項B正確。5. 巧用能量的對稱性例9. 如圖91，原長為30cm的輕彈簧豎立于地面，下端固定于地面，質(zhì)量為m0.1kg的物體放到彈簧頂部，物體靜止，平衡時彈簧長為26cm。如果物體從距地面130cm處自由下落到彈簧上，當(dāng)物體壓縮彈簧到距地面22cm時（不計空氣阻力，取g10m/s2）有：圖9-1 圖9-2A. 物體的動能為1J；B. 物塊的重力勢能為1.08JC. 彈簧的彈性勢能為0.08JD. 物塊的動能與重力勢能之和為2.16J解析：由題設(shè)條件畫出示意圖92，物體距地面26cm時的位置O即為物體做簡諧運(yùn)動的平衡位置。根據(jù)動能的對稱性可知，物體距地面22cm時A”位置的動能