論動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法在不確定性投資理論中的應(yīng)用

1、第2期劉成剛等;論動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法在不確定性投資理論中的應(yīng)用147第2】卷第2期山東建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào)Vol. 21 No.22Q06 年 _ 4 月 JOURNAL OF 3<ANDONG UNIVHTY 0F AKCHTTECTUKE AND 亦CINEBRINC Apr妙6文章編號(hào)：1003 - 5990(2006)02 - 0145 - 03論動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法在不確定性投資理論中的應(yīng)用劉成剛I,于春明2,張令石3(1.山東建筑工程學(xué)院商學(xué)院，山東濟(jì)南250101 ；2.山東建筑工程學(xué)院科技處，山東濟(jì)南25O1O1;3.山東大信會(huì)計(jì) 師寧務(wù)所，山東 青島266071)摘要:不確定性條件下的經(jīng)

2、濟(jì)問(wèn)題非常蛋要，采取動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法研究不確定性投資理論的應(yīng)用現(xiàn)實(shí)意義重大。本 文介紹了動(dòng)態(tài)規(guī)劃及其基本方程一貝爾曼方程，然后應(yīng)用貝爾曼方程和處理不確定性問(wèn)題的基本引理一藤 引理，闡釋了一個(gè)苦名的不可逆性投資模型及其現(xiàn)實(shí)應(yīng)用，由此拋磚引玉，推進(jìn)該領(lǐng)域的研究。關(guān)調(diào)：動(dòng)態(tài)規(guī)劃；貝爾曼方程;伊藤引理;不確定性;不可逆性 中圖分類(lèi)號(hào):TW19.2文猷標(biāo)識(shí)碼:AApplication of dynamic programming method in investment theoryunder uncertaintyIJU Cheng-gang1, YU Chun-ming2, ZHANG Idng-shi

3、3(1. School of Business, Shandong UnivenUty of Architecture and Engineering. Jinan 250101» China; 2. Dept, of Science & Technology, Shandong University of Anchitectuir and Engineering, Jinan 250101, Giina; 3.iandong Daxin Certified Public Ac- counUints Co. lid. 9 Qingdao 266071, Giina)Abstr

4、active economic problems under uncertainty are very important, but researches on them are not very popular Dynamic programming theory and stochastic process are very useful for dealing with economic prob lems under uncertainty. In this paper, the dynamic programming method and Bellman equation are i

5、ntroduced > and then Bellman equation and Ito Iemma are used to introduce a famous irreversible investment model.Key words：dynamic program; Bellman equation; Ito lemma; uncertainty: irreversibility第2期劉成剛等;論動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法在不確定性投資理論中的應(yīng)用147第2期劉成剛等;論動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法在不確定性投資理論中的應(yīng)用147收權(quán)日期：2005-09-06作奢簡(jiǎn)介:劉成剛(1973-)刖，山東莒縣人山

6、東建筑工程學(xué)院商學(xué)院講師念士，主要研究方向?yàn)楹暧^經(jīng)擠學(xué).0動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想假設(shè)投資1的沉沒(méi)成本建成一個(gè)工廠,該工廠 在每個(gè)階段永遠(yuǎn)生產(chǎn)一個(gè)虛擬產(chǎn)品，只要該工廠建 成后，生產(chǎn)虛擬產(chǎn)品不需要額外的成本"為利率, 在o階段虛擬產(chǎn)品的價(jià)格為P。,從1階段開(kāi)始產(chǎn)品 價(jià)格為(1 + C)PO的概率為9,為(1 - d)P0的概率 為1-q。其中l(wèi)>c>0表示價(jià)格上升的幅度,l>d >0表示價(jià)格下降的幅度。因此在0階段,投資收 益為銷(xiāo)售額Po x 1減左生產(chǎn)成本0,也就是Poxl- 0= Po；同理,1階段及其以后各階段的預(yù)期投資收 益為g(1 + c)P0 +(1 -

7、9)(1 - d)P0 x 1 -0 = 7(l + c)P0 + (l - 9)(1 - d)P0O 如果投資機(jī)會(huì)僅 僅在0階段存在，那么在各階段投資收益折現(xiàn)到0 期的現(xiàn)值之和為：y _ pq(l + c)Po + (】_ q)(' - d)Pq0 = 0 +(TTTy_ Pol + r + q(c + d) 一 d顯然如果Vo >7,我們就在0階段投資,F0<7, 就不進(jìn)行投資。但是如果未來(lái)投資機(jī)會(huì)仍然存在的話,情況就 不相同。上面的決策方法將不再正確。因?yàn)樵?階 段如果我們不投資，到1階段我們?nèi)杂型顿Y的機(jī)會(huì), 我們可以考慮在0階段尊待在1階段投資這種選 擇。假設(shè)我們?cè)?/p>

8、0階段沒(méi)有進(jìn)行投資，而是選擇等 待，在1階段投資。那么在1階段投資收益貼現(xiàn)到1 階段為止的現(xiàn)值是V, = £石%7 =旦口口 (注意P,是不確定的)。企業(yè)在1階段投資實(shí)現(xiàn)的 凈回報(bào)F, = max Vj -/,0o如果記£0為利用0階 段的可能倍息算出的期望,那么有民幾=qmaxdy - ；,0 +(1-g)max(D歲 *- /,0在0階段,企業(yè)立即投資得到的期望凈現(xiàn)值是 vo-h如果在0階段不投資企業(yè)得到民幾。顯然整個(gè)投資機(jī)會(huì)都是最優(yōu)安排的投資的凈現(xiàn) 值FoumaxW。- /,丄企業(yè)的最優(yōu)決策 就是使這個(gè)凈現(xiàn)值最大化。這個(gè)例尹說(shuō)明了動(dòng)態(tài)規(guī) 劃的基本思想。投資決策就是尋求

9、凈現(xiàn)值最大的決 策,如果當(dāng)期進(jìn)行投資的凈收益Vo - 1大于下期進(jìn) 行投資凈收益的現(xiàn)值占&)£,那么我們選擇立 即投資；反之，如果下期進(jìn)行投資凈收益的現(xiàn)值 丫土E°Fj大于當(dāng)期進(jìn)行投資的凈收益Vo-/.我 們不選擇投資，選擇等待1期再進(jìn)行投資。下面我 們介紹動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程：貝爾曼方程(Belhmn Equation) o1貝爾曼方程我們把企業(yè)當(dāng)前的狀態(tài)用狀態(tài)變壓X表示，控 制變量用U表示。在時(shí)刻I的狀態(tài)變量和控制變 雖影響企業(yè)的即期利潤(rùn)流心我們用F(x,) 表示企業(yè)從這一點(diǎn)開(kāi)始最優(yōu)地作出全部決策的結(jié) 果，即企業(yè)的全部現(xiàn)金流的預(yù)期凈現(xiàn)值。那么達(dá)到 最優(yōu)時(shí)，我們有貝

10、爾曼方程：F(Q = maxk (旺，均)+(珀 J其中。為貼現(xiàn)率。該方程說(shuō)明:一種最優(yōu)決策有下 述性質(zhì)，無(wú)論初始行為怎樣，剩余決策組成一個(gè)以初 始行為的結(jié)果為初始狀態(tài)的最優(yōu)決策。隨著時(shí)間的 進(jìn)行,不會(huì)出現(xiàn)偏離原計(jì)劃的激勵(lì)，最優(yōu)決策的這種 自執(zhí)行特征被稱(chēng)為貝爾曼最優(yōu)性原理。該方程左 邊是時(shí)刻*作出投資行動(dòng)得到的收益;該方程右邊 為投資推遲一個(gè)階段，到下一個(gè)階段投資得到的收 益，其中第一項(xiàng)是時(shí)刻I不投資，到時(shí)刻/ + 1項(xiàng)目 本身產(chǎn)生的利潤(rùn)流,第二項(xiàng)為時(shí)刻t + 1投資得到的收益貼現(xiàn)到時(shí)刻/的現(xiàn)值。如果處于均衡狀態(tài)，企 業(yè)在時(shí)刻I投資和在時(shí)刻I不投資(而在時(shí)刻t + 1 投資)是無(wú)差異的，貝爾曼

11、方程就反映了這一點(diǎn)。因?yàn)橥?，旺“可能是任何可能狀態(tài)，將它們記成 -般形式工*'。則上式變成:F(x) = maxl(x, u) + E F(x') I«1 + p上面毎個(gè)時(shí)段的時(shí)間長(zhǎng)度是1(因?yàn)?=1),現(xiàn)在假設(shè)毎個(gè)階段的時(shí)間長(zhǎng)度是/(即下一 期是t + At,本期是ttx =曲.&),那么在At內(nèi)的利 潤(rùn)將變?yōu)樵?的時(shí)間區(qū)間上的貼現(xiàn)因 子變?yōu)門(mén)7加。上個(gè)貝爾曼方程變?yōu)椋篎(x) = wax 9 u)A< + (1 + ££)“£*，(#) 兩邊同乘叢(1+ "/),得到：(1 +/)/*(%) = mod 兀(,

12、%)&(1 +&/) + EF(x,)l 整理得到：/jAiF(x) = mHxl(x,u)At(l +/)£)+ EF(xf) - F(x)|兩邊同除WAG并令可得到：pF(x) = max|(«,u) +EdF|(1)其中:士EdF為邑仏三；在40時(shí)的 極限I。得出貝爾曼方程這個(gè)最常見(jiàn)的形式后,我們下 面考慮一個(gè)不可逆性投資模型，在對(duì)這個(gè)模型的求 解過(guò)程中，利用這個(gè)貝爾曼方程和動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求 解。2 一個(gè)不可逆性投資模型我們考慮的模型是麥克唐納和西格爾(Mc Donald and Siegel, 1986)的模型。他們二人考慮的 是:在哪一點(diǎn)支付沉沒(méi)成本

13、1以獲得價(jià)值為V的項(xiàng) 目是最優(yōu)的？假定V服從下面的幾何布朗運(yùn)動(dòng)變 化:dV= aVdt + aVdzt其中dz是維納過(guò)程(Wiener Process)的增量。a為的dV/V期望值，。為dV/V的 標(biāo)準(zhǔn)差。如果以F(y)表示投資機(jī)會(huì)的價(jià)值(即投資期 權(quán)的價(jià)值)，在時(shí)刻T投資的回報(bào)為Vr- 7,那么 F( V)=maxE(Vr-/)e-"ro因?yàn)橥顿Y機(jī)會(huì)F(Y)直到投資被實(shí)施的時(shí)刻T 之前不會(huì)產(chǎn)生現(xiàn)金流(因?yàn)檫@段時(shí)間不投資,當(dāng)然沒(méi) 有投資收益)，持有它的唯一回報(bào)是其資本增值。根 據(jù)方程(1)我們得到本模型中的貝爾曼方程為：/>£ = max|0 +I = j£

14、dF|即：pFdt = EdF對(duì) F( V)而言,dF= F( V)dV + yF(V)x (dM,把dV=aVdt + aVdz代入，且利用伊藤引理 (Ito公式)叫E(dz)2 = dt,E(dz) xO,E(dt)2 =0得到：E(dF) = aVr(V)dt +ya2V2r(V)de (2) 把(2)代入pFdt = EdF,并消去dt得到：-J2 V2r(V) + aVP(V) - pF = 0(3)在最優(yōu)點(diǎn)，立即投資和等待是無(wú)差異的，因此我 們有：F( V )= V" -Z(4)這在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中叫價(jià)值匹配(value-matching )條件。 在最優(yōu)點(diǎn),還有立即投資的價(jià)值

15、V- I和等待的價(jià) 值(投資機(jī)會(huì)的價(jià)值)F( V),這兩個(gè)函數(shù)在最優(yōu)點(diǎn)相 切，即：F(V) = 1(5)這在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中叫高階聯(lián)系(high-order contact)或平 滑粘貼(amoth-pasling)條件。我們還有：F = 0(6) 因?yàn)轫?xiàng)目的價(jià)值為0時(shí)不值得我們?nèi)ネ顿Y，投資機(jī) 會(huì)的價(jià)值也為0。由于最優(yōu)解需要滿足方程(6),因此我們可以猜 測(cè)使用這個(gè)形式的解(首先它至少滿足方程(6)：F( V) = AW(7)其中:A為待定常數(shù),0為待定常數(shù)。把(7)代入(3) 得到： 1) + a0 0(8)可以解出：將(7)代入(4)和(5)得到：4V二 V-轉(zhuǎn).一1 二 1解出：其中:p由方程(9)決定。由于/?>1,所以v />io /vpy=o的決 策原則得到的是v這里得到的是v二若I> 1,可見(jiàn)在存在沉沒(méi)成本和投資機(jī)會(huì)可推遲的條件 下(這2條是現(xiàn)實(shí)中大多數(shù)投資具有的特征)，傳統(tǒng) mt決策原則應(yīng)該被修正為mt >診/- / = 右/ >0。因此企業(yè)作投資決策必須萬(wàn)分謹(jǐn)慎，切 不可使用傳統(tǒng)凈現(xiàn)值決策原則。參考文獻(xiàn)：1 DixitAK.KndjckRS.不確定條件下的投資M 朱勇黃立 虎,丁新婭籌譯