2.1-多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(1)ppt課件

1、多元復(fù)合函數(shù)的微分法多元復(fù)合函數(shù)的微分法第四節(jié)第四節(jié)一、多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一、多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定理定理處處均均可可導(dǎo)導(dǎo)，在在點(diǎn)點(diǎn)，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxyxvvyxuu 處處有有連連續(xù)續(xù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在相相應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)又又函函數(shù)數(shù)),(),(vuvufz ，、vzuz 處處在在點(diǎn)點(diǎn)則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxyxvyxufz 可導(dǎo)，可導(dǎo)，且有且有，xvvzxuuzxz 定理說(shuō)明：多元復(fù)合函數(shù)關(guān)于某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)定理說(shuō)明：多元復(fù)合函數(shù)關(guān)于某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)uvxzy此定理可推廣其它此定理可推廣其它各種多元復(fù)合函數(shù)各種多元復(fù)合函數(shù)等于它對(duì)每個(gè)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)及該中

2、間變量對(duì)這個(gè)等于它對(duì)每個(gè)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)及該中間變量對(duì)這個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)的乘積之和自變量的偏導(dǎo)數(shù)的乘積之和.yvvzyuuzyz ，例如，已知例如，已知),(wvufz zwvuyx 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxwyxvyxufz ，xwwzxvvzxuuzxz .ywwzyvvzyuuzyz ，又又),(yxuu ，),(yxvv ，),(yxww ，又又對(duì)對(duì)函函數(shù)數(shù)),(wvufz uvwtz.dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz 稱為全導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù)這里的這里的dtdz有有，)()()(twwtvvtuu ),(),(vuwwwvufz ，而，而如果

3、如果uvwz 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(,vuwvufz ，uwwfufuz .vwwfvfvz 把復(fù)合函數(shù)把復(fù)合函數(shù)),(,vuwvufz 中中的的v看作看作常常量量而對(duì)而對(duì)u的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 把把),(wvufz 中中的的v及及w看作常量看作常量而對(duì)而對(duì)u的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似，而而如如果果)()(, ),(uwwuvvwvufz 則則.dudwwzdudvvfufdudz 解解dxdyyfxfdxdz .cos212xyx 或或直直接接求求.sin12dxdzxyyxz，求，求，又，又設(shè)設(shè)例例 .cos212xyx xyxdxdz)()(2

4、 .)(222yuxuyxzyxuz 及及，求求，又又設(shè)設(shè)例例解解xzzfxfxu .2)ln()()(1xyxyxyxzzz 同理同理.2)ln()()(1yyxyxyxzyuzz .,),(32yxuyuxuexzzyxfuy 、求求，又又設(shè)設(shè)例例解解 xu 1f，3fey，同理同理32fxefyuy ),(),(),(321zyxffzyxffzyxffzyx ，注注意意 312fefyxuyyxuy 1312fxefy . )(33323fxefefeyyy 有有連連續(xù)續(xù)的的，其其中中設(shè)設(shè)例例fxyzzyxfw),(4 .2zxw 二階偏導(dǎo)數(shù)，求二階偏導(dǎo)數(shù)，求解解令令，zyxu ；xy

5、zv xwxvvfxuuf ，21fzyf zxw2)(21fyzfz 1211fyxf zfzyfy 22)(222121211fyxfzyfyfyxf .)(22221211fyfzyxfzxyf ，及及，求求，設(shè)設(shè)例例yxzyzxzeyxfzxy 222),(5解解xyexfyxxfxz 2221)(，212fyefxxy ，212fxefyxy )2(212fyefxyyxzxy )2(21211fxefyxxy 2fexy 2fxyexy )2(2221fxefyyexyxy 2222122211)1()(24fexyfxyefeyxfxyxyxyxy )2004(具具有有連連續(xù)續(xù)二

6、二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)其其中中 fxyeyfyxyfyz 2221)(且滿足且滿足具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，設(shè)設(shè)例例),(6vuf)2003(.2222ygxg 求求解解 xgxvvfxuuf ，vfyufxyg )(22vfxufyxxg 故故)(222vufxufyy vf ，又又)(21,),(1222222yxxyfyxgvfuf ，vfxufy 同理同理)(222vfxuvfyx 且滿足且滿足具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，設(shè)設(shè)例例),(6vuf)2003(.2222ygxg 求求解解)(22222vufxufyyxg vf ，又又)(21,),(1222222yx

7、xyfyxgvfuf 同理同理)(222vfxuvfyx ，vfvfxvufxyufy 22222222，vfvfyvufxyufxyg 2222222222222222yxygxg 足足具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且滿滿設(shè)設(shè)例例),(7vuf)2004(.其其通通解解的的一一階階微微分分方方程程，并并求求解解),(22xxfeyx 所滿足的所滿足的，求，求),(),(),(2xxfeyuvvufvufxvu xxexxxfe222),(2 ，xexy222 故所求一階方程為故所求一階方程為，xexyy222 方程的通解為方程的通解為)(2222Cdxeexeydxxdx )(22Cdxx

8、ex )31(32Cxex ),(),(2xxfxxfevux 二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分1. 全微分的四則運(yùn)算法則全微分的四則運(yùn)算法則，dvduvud )(，udvvduuvd )(.)(2vudvvduvud 2. 全微分的復(fù)合運(yùn)算法則全微分的復(fù)合運(yùn)算法則均均可可微微，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxvvyxuuvufz 也也可可微微，且且有有，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(yxvyxufz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuzdxxvvzxuuz)()( )()(dyyvdxxvvzdyyudxxuuz .dvvzduuz 全微分形式的不變性全微分形式的不

9、變性量量，是是中中間間變變量量，還還是是自自變變，無(wú)無(wú)論論vu函數(shù)的全微分形式不變函數(shù)的全微分形式不變解解 2sinreddz )2sin(2sin rder )2sin2(sin2sin drrder )2cos22(sin2sin drrder 從而從而 ， 2sin2sinrerz 2sin2cos2rerz ，求求，設(shè)設(shè)例例 zrzdzezr2sin8求求，設(shè)設(shè)例例duxxyyxfu)sin,(922 解解)sin,(22xyxyxfddu xdfxydfyxdfsin)()(32221 dxfxxdyydxfydyxdxf321cos)()22( .)2()cos2(12321dyfyfxdxfxfyfx 且有且有 ，321cos2fxfyfxxu 122fyfxyu 210ln3xzuv uvxydzy 例例設(shè)設(shè)， 求求解解)ln(2vuddz vduvdulnln22 dvvuvduu2ln2 )3(ln22yxdvuyxdvu )3(ln222dydxvuyxdyydxvu .ln23ln2222dyvuyvxudxvuyvu 從而從而 ，vuyvuxz23ln2 .ln222vuyvxuyz .)(1122yuxuyxzyxuz 及及求求，又，又設(shè)設(shè)例例解解zyxddu)( dzyxyxyxdyxzzz)ln()()()(1 )()ln