利用零點分段法解含多絕對值不等式

1、利用零點分段法解含多絕對值不等式對于含有兩個或兩個以上絕對值不等式的求解問題，不少同學(xué)感到無從下手，下面介紹一種通法零點分段討論法一、步驟通常分三步：找到使多個絕對值等于零的點分區(qū)間討論，去掉絕對值而解不等式一般地n個零點把數(shù)軸分為n1 段進(jìn)行討論將分段求得解集，再求它們的并集二、例題選講例1 求不等式|x2|x1|3的解集分析：據(jù)絕對值為零時x的取值把實數(shù)分成三個區(qū)間，再分別討論而去掉絕對值從而轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式解： |x2|，|x1|故可把全體實數(shù)x分為三個部分：x2，2x1，x1所以原不等式等價于下面三個不等式組：() ，或() ，或() 不等式組()的解集是x|x2，不等式組()

2、的解集是，不等式組()的解集是x|x1綜上可知原不等式的解集是x|x2或x1例2 解不等式|x1|2x|3x解：由于實數(shù)1，2將數(shù)軸分成(，1，(1，2，(2，)三部分，故分三個區(qū)間來討論 當(dāng)x1時，原不等式可化為(x1)(x2)x3，即x0故不等式的解集是x|x0 當(dāng)1x2時，原不等式可化為(x1)(x2)x3，即x2故不等式的解集是 當(dāng)x2時，原不等式可化為(x1)(x2)x3，即x6故不等式的解集是x|x6綜上可知，原不等式的解集是x|x0或x6例3 已知關(guān)于x的不等式|x5|x3|a的解集是非空集合，求a的取值范圍解： x5時，|x5|0；x3時，|x3|0當(dāng)x3時，原不等式可化為x5

3、x3a，即a82x，由x3，所以2x6，故a2當(dāng)3x5時，原不等式可化為x5x3a，即a2當(dāng)x5時，原不等式可化為x5x3a，即a2x81082，故a2綜上知a2無理不等式與絕對值不等式考試目標(biāo) 主詞填空1.含有絕對值的不等式|f(x)|<a(a>0),去掉絕對值后，保留其等價性的不等式是a<f(x)<a.|f(x)|>a(a>0),去掉絕對值后，保留其等價性的不等式是f(x)>a或f(x)<a.|f(x)|>|g(x)| f2(x)>g2(x).2.無理不等式對于無理不等式的求解，通常是轉(zhuǎn)化為有理不等式(或有理不等式組)求解.其基本

4、類型有兩類: .3.含有多個絕對值符號的不等式，通常是“分段討論”，去掉絕對值符號.4.某些無理不等式和絕對值不等式，可用“換元法”或圖像法求解.5.三角不等式|a|b|a±b|a|+|b|,此不等式可推廣如下：|a1+a2+a3+an|a1|+|a2|+|a3|+|an|當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2,a3,an符號相同時取等號. 題型示例 點津歸納【例1】 解無理不等式.(1)>2;(2) >2x4;(3) <2x+1.【解前點津】 (1)因2>0,故原不等式可化為不等式組:.(2)因右邊2x符號不定，故須分兩種情況討論,(3)與(2)類似，也須討論.【規(guī)范解答】 (

5、1)化原不等式為:.(2)化原不等式為:.(3)化原不等式為兩個不等式組: .【解后歸納】 將無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式組，基本思路是分類討論，要注意解集的交、并運算.對于那些復(fù)雜的無理不等式，一般情況下讀者不要去研究它，避免消耗太多精力.【例2】 解下列含有絕對值的不等式：(1)|x24|x+2;(2)|x+1|>|2x1|;(3)|x1|+|2x+1|<4.【解前點津】 (1)可直接去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為(x+2)x24(x+2);(2)兩邊平方，去掉絕對值符號;(3)當(dāng)x=1,時,有x1=0及2x+1=0,故可分段討論，去掉絕對值符號.【規(guī)范解答】 (1)原不等式可化為:(x

6、+2)x24x+2.故原不等式的解集為1,32.(2)化原不等式為|x+1|2>|2x1|2 (2x1)2(x+1)2<0.(2x1+x+1)·(2x1x1)<03x·(x2)<00<x<2.(3)令x1=0得x=1,令2x+1=0得x=.當(dāng)x時,原不等式可化為:(x1)(2x+1)<4.當(dāng)x時,原不等式可化為:(x1)+(2x+1)<4.由<x1.當(dāng)x(1,+)時,原不等式可化為:(x1)+(2x+1)<4,故由.綜上所述知:為原不等式解集.【解后歸納】 解含有兩個或兩個以上絕對值的不等式，一般方法是分段討論得出

7、原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段?分幾段?這只須算出“分點”即可，即“絕對值”為0時的變量取值，n個不同的分點，將數(shù)軸分割成了(n+1)段.【例3】 若不等式的解集是(4,m),求a,m的值.【解前點津】 在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)y=(x0)及y=ax+(x0)的圖像.若y=的圖像位于y=ax+圖像的上方，則與之對應(yīng)的x的取值范圍就是不等式的解.【規(guī)范解答】 設(shè)y1=,它的圖像是半條拋物線;y2=ax+(x0),它的圖像是經(jīng)過點(0, ),斜率為a的一條射線.不等式的解即當(dāng)y1=的圖像在y2=ax+(x0)的圖像上方時相應(yīng)的x的取值范圍，因為不等式解集為(4,m),故方程有一個解為4

8、,將x=4代入得:.再求方程的另一個解，得:x=36,即m=36.【解后歸納】 用圖像法解不等式，須在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖像，且圖像必須在“公共定義域內(nèi)”，要確定那一部分的圖像對應(yīng)于不等式的解集.【例4】 解不等式|log2x|+|log2(2x)|1.【解前點津】 從x的可取值范圍入手，易知0<x<2,當(dāng)x分別在及(1,2)上取值時，可同時去掉兩個絕對值符號.【規(guī)范解答】 x>0且2x>0故0<x<2時不等式才有意義.當(dāng)x時,因log2x0,log2(2x)0,故此時原不等式為:log2x+log2(2x)1log2log22.當(dāng)x(1,2)時,因

9、為log2x>0,log2(2x)<0,故此時原不等式為:log2xlog2(2x)1log2log22 .故原不等式的解集為.【解后歸納】 本題利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，去掉了絕對值符號，從而轉(zhuǎn)化為分式不等式組.5.2.3無理不等式的解法一、引入：1、無理不等式的類型：、二、典型例題：例1、解不等式例2、解不等式例3、解不等式例4、解不等式例5、 解不等式例6、解不等式三、小結(jié)：四、反饋練習(xí)：解下列不等式1 2 3 4 5 第6課 無理不等式與絕對值不等式習(xí)題解答1.C 對a=3進(jìn)行檢驗，考慮不等式的幾何意義.2.C 利用x>0,化簡另一個不等式.3.D 由0<<10

10、<x3<13<x<4. 4.B 由4x20且x+1>0且4x2<(x+1)2<x2.5.B 分別畫出:y=,與y=2x+a的圖像，看圖作答. 6.B |xa|<,|ya|<|xy|=|(xa)(ya)|xa|+|ya|<+=2,當(dāng)|xy|<2時,不能推出|xa|<且|ya|<.7.A 若0<a<b<c,且lga<lgb<lgc,又因為|lga|>|lgc|>|lgb|>0,ac1(a+c)=ac+1ac=(c1)·(a1)<0,ac+1<a+c.8

11、.B 因x>0,當(dāng)log2x<0時,不等式成立,此時0<x<1;當(dāng)log2x0時,|2x+log2x|=2x+|log2x|.9.B ,當(dāng)0<x2時,不等式成立,另由 .10.由(|x|1)·(|x|3)<01<|x|<3x(3,1)(1,3).11.由x0知,x20,( 2)·(+1)0020x4.12.考察y=,y=x+a的圖像,即直線y=x+a在半圓x2+y2=1(y0)上方a(,+).13.(1)化原不等式為:1<x3或x>3x>1.(2)化原不等式為:.14.原不等式等價于:或,解之:x<7或<x5或x>5,故原不等式解集為:(,7)(,+).15.由a(ax)0xa.(1)當(dāng)x>時,a2x<0,不等式成立,故<xa;(2)當(dāng)x時,a2x0,平方得a(ax)>