2.1偏導數(shù)(1)ppt課件

1、第二節(jié)一、一、 偏導數(shù)概念及其計算偏導數(shù)概念及其計算二二 、高階偏導數(shù)、高階偏導數(shù) 偏 導 數(shù) 第九章 一、一、 偏導數(shù)定義及其計算法偏導數(shù)定義及其計算法引例引例:研究弦在點 x0 處的振動速度與加速度 ,就是),(txu0 xoxu中的 x 固定于求一階導數(shù)與二階導數(shù).),(txux0 處,),(0txu),(0txu關(guān)于 t 的將振幅定義定義1.),(yxfz 在點), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz對在點),(),(00的偏導數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);),(00yxxfxx00 x則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù))(0 xf)()(00 xfx

2、xfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. )y,x(fx00 xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:0),(dd0yyyxfy同樣可定義對 y 的偏導數(shù) lim0y),(00yxfy若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點 ( x , y ) 處對 x,xzxfxz則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù), 也簡稱為偏導數(shù)偏導數(shù) ,)y, x(f, )y, x(fyy) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y或 y 偏導數(shù)存在 ,yzyfyz)y, x(f, )y, x(fxx),(zyxf

3、x例如例如, 三元函數(shù)三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點在點 (x , y , z) 處對處對 x 的的偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏導數(shù)定義為(請自己寫出)二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點 M0 處的切線對 x 軸的斜率.在點M0 處的切線斜率.是曲線yxz0 xyToxT0y0M對 y 軸的函數(shù)在某點各偏導數(shù)都存

4、在,顯然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在該點不一定連續(xù).例例1 . 求求223yyxxz解法解法1:1:xz(1,2)zx解法解法2:2:) 2, 1(xz在點(1 , 2) 處的偏導數(shù).) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz例例2. 設(shè)設(shè)，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:zx1lnxzzyxxy例例3. 求求222zyxr的偏導

5、數(shù) . 解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry偏導數(shù)記號是一個例例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:1pTTVVpTRVp證證:,VTRp ,pTRV ,RVpT pVTVTp說明說明:(R 為常數(shù)) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子與分母的商 !此例表明,整體記號,二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是z

6、= f ( x , y ) 的二階偏導數(shù) . 按求導順序不同, 有下列四個二階偏導22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx數(shù):類似可以定義更高階的偏導數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的三階偏導數(shù)的三階偏導數(shù)為為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1偏導數(shù)為11nnxzyxe22例例5. 求函數(shù)求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處此處,22xyzyxz但這一結(jié)

7、論并不總成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二階偏導數(shù)及 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx例例6. 證明函數(shù)證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對稱性 ,

8、有,3152322ryryu222222uuuxyzu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0,),()()(00連續(xù)都在點和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx那么定理定理.例如例如, 對三元函數(shù)對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明說明:本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導數(shù)可以選擇方便的求導順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzx

9、yyzx因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù) ,當三階混合偏導數(shù)在點 (x , y , z) 連續(xù)時, 有而初等(證明略) 證證: :令令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx那么),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00連續(xù)都在點和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx那么)()(00 xxx定理定理.令),(),(),(0000yxxf

10、yyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同樣)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy0102(,)x yfxx yy在點)(00yx ，連續(xù),得0y內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 偏導數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義; 記號; 幾何意義 函數(shù)在一點偏導數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù) 混合偏導數(shù)連續(xù)與求偏導順序無關(guān)2. 偏導數(shù)的計算方法 求一點處偏導數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導數(shù)的方法逐次求導法(與求導順序無關(guān)時, 應選擇方便的求導順序)思考與練習思考與練習解答提示: P130 題 5，時當022 yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy,022 yx當0)0 ,(dd)0 , 0(xxfxfx0), 0(dd)0 , 0(yyfyfy00P130 題 5 2223)(2yxyx222222)()(yxyxx即 xy0 時,作業(yè)作業(yè)P69 14）,（6）,（8）； 3；4 ； 6 （3）； 7；8； 92）,)(xuuf備用題備用題 設(shè), )(ufz