大綱編號S070101ZJ001

1、大綱編號：S070101ZJ001代數(shù)學(xué)Algebra 課程編號：S070101ZJ001          課程屬性：專業(yè)基礎(chǔ)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：代數(shù)學(xué)I-II（主要是Galois理論、范疇、模論和環(huán)論、有限群的表示理論），有代數(shù)拓?fù)涞闹R更好但不是必須的。教學(xué)目的、要求：本課程是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)碩士生的基礎(chǔ)課程代數(shù)之三，目的是為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方向的研究生及其它需要代數(shù)較多的專業(yè)提供同調(diào)代數(shù)方面的初步知識。其它方向的學(xué)生也可通過此課程獲得現(xiàn)代同調(diào)代數(shù)方面的訓(xùn)練、常識或

2、修養(yǎng)。主要內(nèi)容：第一章 加性與abelian范疇、復(fù)形與同調(diào)、同調(diào)長正和列、同倫等。 約8課時（二周）。第二章 Grothendieck's導(dǎo)函子理論和譜序列， Ext與Tor，Koszul復(fù)形及Hilbert's Syzygy定理， 群的上同調(diào)， *李代數(shù)的同調(diào)和上同調(diào)。 約20課時（六周）。 第三章 導(dǎo)范疇和三角范疇及其例子等。 約8課時（二周）。參考文獻(xiàn)：1.S.I. Gelfand, Y.I. Manin: Methods of Homological Algebra2.C. Weibel, An introduction to Homological Algebra3

3、.H. Cartan, S. Eilenberg: Homological Algebra 撰 寫 人：田野（數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院）撰寫日期：2009年6月大綱編號：S070101ZJ002代數(shù)學(xué)Algebra 課程編號：S070101ZJ002          課程屬性：專業(yè)基礎(chǔ)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：代數(shù)學(xué)I-III（主要是Galois理論、范疇、模論和環(huán)論、有限群的表示理論、同調(diào)代數(shù)）。教學(xué)目的、要求：本課程是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)碩士生的基礎(chǔ)課程代數(shù)之四，目的是為

4、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方向的研究生及其它需要代數(shù)較多的專業(yè)提供交換代數(shù)方面的初步知識。其它方向的學(xué)生也可通過此課程獲得現(xiàn)代交換代數(shù)方面的訓(xùn)練、常識或修養(yǎng)。主要內(nèi)容：素理想、素譜及Krull維數(shù)， 交換環(huán)的鏈條件及模論（尤其是Noetherian條件和 模的平坦性）。 環(huán)與模的局部化方法， Associated素理想及準(zhǔn)素分解， I-adic拓?fù)浜屯陚浠?Hilbert零點(diǎn)定理， 正則序列及正則環(huán)等。參考文獻(xiàn)：1.M. Atiyah, I. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra2.H. Matsumura: Commutative Algebra 撰

5、寫 人：田野（數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院）撰寫日期：2009年6月大綱編號：S070101ZJ003微分幾何Differential Geometry課程編號：S070101ZJ003     課程屬性：專業(yè)基礎(chǔ)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程： 高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、曲線和曲面論、點(diǎn)集拓?fù)?，微分幾何I。教學(xué)目的、要求： 本課程為數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)專業(yè)博士、碩士研究生的專業(yè)基礎(chǔ)課，同時也可作為理論物理等相關(guān)專業(yè)研究生的選修課。近代微分幾何的范圍很廣，本課程是微分幾何I的提高，主要介紹黎曼流形上的算子理論、測地線，復(fù)流形及復(fù)幾何初步。

6、通過本課程的學(xué)習(xí)，希望學(xué)生能掌握近代微分幾何的基本概念和基本技巧，對微分幾何的近代發(fā)展有所了解，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和從事專業(yè)研究打下基礎(chǔ)。主要內(nèi)容：第一章 黎曼流形上的幾何算子Hodge星算子；Laplace-Beltrami算子；Hodge定理及其應(yīng)用。第二章 測地線及其應(yīng)用弧長二階變分；Jacobi場；共軛點(diǎn)；指標(biāo)引理；Hessian比較定理；Laplacian比較定理；體積比較定理。第三章 復(fù)流形及復(fù)幾何初步復(fù)流形的概念；殆復(fù)流形；Hermite和Kaehler度量；Ricci形式；全純截面曲率；結(jié)構(gòu)方程；陳類；Kaehler子流形。教材：白正國等，黎曼幾何初步，高等教育出版社，北京，

7、1992。參考文獻(xiàn)：1. J. 柯歇爾，鄒異明，辛幾何引論，科學(xué)出版社，北京，1999。2. ONeil B., Semi-Riemannian geometry : with applications to relativity, New York : Academic Press, 1983.3. S. Kobayashi and K. Nomizu, Foudations of differential geometry, VOL I, II, Interscience publishers, 1969.4. 陳省身、陳維桓著，微分幾何講義，北京大學(xué)出版社，北京，1983。 撰 寫 人：

8、焦曉祥（研究生院數(shù)學(xué)學(xué)院） 撰寫時間：2009年6月大綱編號：S070101ZJ004黎曼曲面Riemann Surfaces課程編號：S070101ZJ004       課程屬性：專業(yè)基礎(chǔ)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：黎曼曲面教學(xué)目的、要求： 本課程為數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)專業(yè)博士、碩士研究生的專業(yè)基礎(chǔ)課。黎曼曲面是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多重要領(lǐng)域如復(fù)幾何、李群、代數(shù)數(shù)論、調(diào)和分析和拓?fù)鋵W(xué)的交叉點(diǎn)。該課程分為黎曼曲面（I）和黎曼曲面（II）。黎（I）主要介紹黎曼曲面的基本概念，如：全純，亞純映射，分歧覆

9、蓋，層以及Riemann-Roch定理初步等。黎（II）主要講授有關(guān)黎曼面的一些深刻定理，如：Serre對偶定理，Abel定理，單值化定理等。通過黎曼曲面（II）的學(xué)習(xí)，希望學(xué)生較好地把握黎曼曲面的思想，方法并能應(yīng)用到相關(guān)領(lǐng)域中。主要內(nèi)容：第一章 緊Riemann面Serre對偶定理， Riemann-Hurwitz公式，緊Riemann面上的全純向量場；給定主部的亞純函數(shù)和亞純1-形式的存在性；調(diào)和微分形式的分解；Abel定理，相交數(shù)；周期矩陣，Jacobi簇與Picard群，Jacobi反演定理；緊Riemann面的拓?fù)淙瞧史帧?第二章 非緊Riemann面Riemann面上的調(diào)和函數(shù)與

10、Dirichlet邊值問題；Riemann面的可數(shù)拓?fù)浠鶈栴}；Weyl引理；Mittag-Leffler定理和Weierstrass定理；Riemann映照定理；Klein群和Fuchs群初步；線叢和向量叢。參考文獻(xiàn)：1.Otto Forster，Lectures on Riemann Surfaces, GTM 81，Springe-Verlag 1981。2.H.M.Farkas，I.Kra，Riemann Surfaces，GTM Vol.71，Springe-Verlag,1980。3.L.V.Ahlfors，L.Sario,，Riemann Surfaces，Princeton,19

11、60。 撰 寫 人：吳英毅（研究生院數(shù)學(xué)學(xué)院） 撰寫時間：2009年6月大綱編號：S070100ZJ005李群李代數(shù)及其表示Lie Group, Lie Algebras and The Representations課程編號：S070100ZJ005        課程屬性：專業(yè)基礎(chǔ)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：李群基礎(chǔ)教學(xué)目的、要求： 本課程為數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)專業(yè)博士、碩士研究生的專業(yè)基礎(chǔ)課, 也可以作為理論物理專業(yè)的研究生的選修課。李群與李代數(shù)是核心數(shù)學(xué)的一個重要分支，在數(shù)

12、學(xué)的許多方向以及物理學(xué)、化學(xué)等其他學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。本課程著重于實(shí)李群和復(fù)李群，復(fù)半單李代數(shù)結(jié)構(gòu)。為學(xué)生們進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。主要內(nèi)容：第一章 基本概念實(shí)李群和復(fù)李群；李代數(shù)；李子代數(shù)；理想；商代數(shù)；單李代數(shù)；Killing型。 第二章 復(fù)半單李代數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)半單李代數(shù)；Cartan子代數(shù)：Cartan分解；共軛性定理。第三章 復(fù)半單李代數(shù)的分類根系；素根系；Dykin圖；分類定理。第四章 緊致實(shí)形式Weyl基；Chevalley基；半對合；實(shí)形式；緊致實(shí)形式；緊致李群。參考文獻(xiàn)：1. 萬哲先，李代數(shù)，科學(xué)出版社，北京，1964。2. B.C. Hall: Lie Groups, Lie

13、Algebras, and Representations, GTM 222. Springer (2003)。3. 孟道驥，復(fù)半單李代數(shù)引論，天元研究生數(shù)學(xué)叢書，北京大學(xué)出版社，1998。 撰 寫 人：肖良（研究生院數(shù)學(xué)學(xué)院） 撰寫時間：2009年6月大綱編號：S070101ZJ006代數(shù)拓?fù)銩lgebraic Topology課程編號：S070101ZJ006     課程屬性：專業(yè)基礎(chǔ)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：同調(diào)論，交換代數(shù)，微分流形，李群教學(xué)目的、要求： 本課程為數(shù)學(xué)學(xué)科代數(shù)拓?fù)鋵W(xué), 微分幾何, 幾何

14、分析專業(yè)博士、碩士研究生的專業(yè)基礎(chǔ)課。同時也可作為物理學(xué)、力學(xué)等專業(yè)研究生的選修課。代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的目的是提供研究拓?fù)鋯栴}的代數(shù)方法，包括各種代數(shù)不變量的構(gòu)造與計算方法。本課程將介紹的代數(shù)拓?fù)洳蛔兞渴峭{(diào)群與上同調(diào)群（環(huán)），核心內(nèi)容為它們的定義與計算方法。希望通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能掌握它們的定義與基本性質(zhì)，對代數(shù)拓?fù)浣鉀Q問題的方法有初步了解，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)與從事各種專業(yè)研究打下基礎(chǔ)。主要內(nèi)容：第一章: 向量叢及基本概念向量叢; 直和構(gòu)造; 張量積; 子叢和補(bǔ)叢; 誘導(dǎo)叢;向量叢的定向性第二章: Thom同構(gòu)定理及應(yīng)用Thom同構(gòu)定理向量叢的Euler類與Gysin正合列流形中的相交理論第三

15、章: 示性類理論Leray-Hirsch定理復(fù)向量叢的Chern示性類實(shí)向量叢的Stiefel-Whitney示性類; Pontrjagin示性類;第四章: 應(yīng)用浸入及嵌入; 7維球面上的微分結(jié)構(gòu); 配邊理論教材： J. Milnor, Characteristic classes;D. Husemoller, Fibre bundles參考文獻(xiàn)：蘇競存, 流形拓?fù)鋵W(xué)。撰 寫 人：段海豹（數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院）撰寫時間：2009年6月大綱編號：S070101ZJ007微分拓?fù)銬ifferentiable Topology課程編號：S070101ZJ007    &

16、#160; 課程屬性：專業(yè)基礎(chǔ)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：多元微積分， 點(diǎn)集拓?fù)浣虒W(xué)目的、要求： 本課程為數(shù)學(xué)學(xué)科幾何分析, 微分幾何,代數(shù)拓?fù)浞较虻牟┦?、碩士研究生的專業(yè)基礎(chǔ)課。同時也可作為物理學(xué)、力學(xué)等專業(yè)研究生的選修課。主要內(nèi)容：第一章:微分流形和微分映射微分流形及切叢；微分映射及其切映射浸入及嵌入(immersion and embedding)；光滑纖維叢(submersion)帶邊流形第二章: Sard定理和橫截性(Transversality)定理隱函數(shù)定理Sard定理橫截性(Transversality)定理子流形的法叢及管狀

17、鄰域.第三章: 流形整體拓?fù)鋵W(xué)代數(shù)學(xué)基本定理和Brouwer不動點(diǎn)定理流形上的向量場及Euler數(shù)(Poincare-Hopf 定理)子流形的相交數(shù)映射度教材： J. Milnor, 從微分觀點(diǎn)看拓?fù)? 熊金城譯撰 寫 人：段海豹（數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院） 撰寫時間：2009年6月大綱編號：S070101ZJ008復(fù)分析Complex Analysis課程編號：S070101ZJ008      課程屬性：專業(yè)基礎(chǔ)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：復(fù)變函數(shù)論，基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué), 微分流形教學(xué)目的、要求：本課程為數(shù)學(xué)學(xué)

18、科各專業(yè)博士、碩士研究生的基礎(chǔ)課，同時也可作為理論物理專業(yè)研究生的選修課。多復(fù)分析和復(fù)流形是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域之一, 與數(shù)論, 代數(shù)幾何, 微分幾何等數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域以及理論物理有緊密聯(lián)系。通過本課程的學(xué)習(xí)，希望學(xué)生能掌握多復(fù)分析和復(fù)流形的基本概念和基本思想，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和從事專業(yè)研究打下基礎(chǔ)。主要內(nèi)容：第一章 多復(fù)分析基礎(chǔ)復(fù)可微函數(shù), 復(fù)解析函數(shù),Cauchy積分公式及其應(yīng)用, 全純函數(shù)的各種等價定義, Hartogs 定理, Riemann 可去奇點(diǎn)定理, Cauchy-Riemann 方程。第二章 復(fù)流形復(fù)流形的定義與例子, 復(fù)流形的全純映射, 隱函數(shù)定, 復(fù)子流形, 復(fù)流形的切叢與

19、微分形式, dbar 算子, Dolbeault上同調(diào),復(fù)流形上的積分。第三章 層與上同調(diào)Cousin 問題和層的起源, 層與層的上同調(diào), De Rham-Weil定理, Dolbeault 定理。第四章 Kahler流形的幾何Hermitian 度量, Kahler 條件, Kahler流形的定義和例子, Kahler恒等式, Kahler 流形的Hodge理論, Serre對偶定理, Lefshetz定理。第五章 全純向量叢的幾何全純向量從的定義和基本運(yùn)算, 全純向量叢上的度量, 聯(lián)絡(luò)和曲率, Ricci曲率, 陳類, Hirzebruch-Riemann-Roch定理。第六章 全純線叢與

20、Kodaira理論全純線叢的陳類, 線叢與除子, 正線叢, Kodaira 消滅定理, Kodaira嵌入定理。第七章 復(fù)流形形變理論簡介復(fù)流形的解析族, 無窮小形變, Kodaira-Spencer 映射, 存在性與障礙, 完備性, 代數(shù)曲線的形變。參考文獻(xiàn)：1Shiing-shen Chern, Complex manifolds without potential theory, second edition, Springer, 19952.J. Morrow, K. Kodaira, Complex manifolds. Holt, Rinehart and Winston, New

21、 York, 19713, D.Huybrechts, Complex geometry: an introduction, Springer, 20054P. A. Griffiths, J. Harris: Principle of algebraic geometry, John Wiley & Sons, New York 19785. K. Fritzsche and H. Grauert, From holomorphic functions to complex manifolds, GTM 213, 20026. K. Kodaira, Complex manifold

22、s and deformation of complex structures. Springer, 1986 撰 寫 人：鄧富聲（中國科學(xué)院大學(xué)） 撰寫時間：2012年12月大綱編號：S070101ZJ0010泛函分析Functional Analysis課程編號：S070101ZJ0010     課程屬性：專業(yè)基礎(chǔ)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：泛函分析I教學(xué)目的、要求：在泛函分析I的基礎(chǔ)上，使學(xué)生進(jìn)一步了解近代泛函分析的基本內(nèi)容及概念，為下一步的學(xué)習(xí)研究打下基礎(chǔ)。主要內(nèi)容：第一章 Hilbert空間及其上算子

23、內(nèi)積，弱拓?fù)?，線性算子，Hilbert空間的張量積第二章 Banach代數(shù)算子的譜，交換Banach代數(shù)，全純函數(shù)演算第三章 C*代數(shù)交換C*代數(shù)，正線性泛函，態(tài)及表示（GNS 表示）第四章 von Neumann 代數(shù)強(qiáng)算子拓?fù)?，弱算子拓?fù)洌薪缢阕拥淖V理論，譜分解定理，極分解定理，交換von Neumann代數(shù)教材：J.B.Conway, A Course in Functional Analysis, GTM96, Springer-Verlag, 1985. 撰 寫 人：葛力明（數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院）撰寫時間：2009年12月大綱編號：S070101ZJ0011動力系統(tǒng)Dynamica

24、l Systems 課程編號：S070101ZJ0011    課程屬性：專業(yè)基礎(chǔ)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：點(diǎn)集拓?fù)洌瑢?shí)分析，泛函分析，微分流形教學(xué)目的、要求：本課程為數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)研究生的專業(yè)基礎(chǔ)課，也可供其他有關(guān)專業(yè)的研究生選修。本課程主要介紹動力系統(tǒng)的基本概念、主要問題、基本方法和結(jié)果，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究打下基礎(chǔ)。主要內(nèi)容：動力系統(tǒng)就最廣泛的意義來說是研究系統(tǒng)演化規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科，其理論的發(fā)展和完善主要以經(jīng)典力學(xué)，特別是天體力學(xué)為背景。19世紀(jì)末龐加萊創(chuàng)立微分方程定性理論，或稱微分方程的幾何理論，其精神是不通

25、過微分方程的顯式解而直接研究解的幾何和拓?fù)湫再|(zhì)。20世紀(jì)早期伯克霍夫關(guān)于拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的公理化式的工作為這一學(xué)科建立了大范圍的理論框架，從而使動力系統(tǒng)的內(nèi)涵更為廣泛而豐富。當(dāng)代動力系統(tǒng)大致包括拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)、遍歷論、微分動力系統(tǒng)、哈密爾頓系統(tǒng)、復(fù)動力系統(tǒng)、隨機(jī)動力系統(tǒng)等若干方向。本課程主要介紹動力系統(tǒng)理論最基本的部分，包括拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)、遍歷論、微分動力系統(tǒng)的基本概念、方法和結(jié)果。第一章：動力系統(tǒng)的起源和含義。包括介紹動力系統(tǒng)學(xué)科的歷史發(fā)展，給出動力系統(tǒng)的定義。通過幾個重要的例子，說明動力系統(tǒng)領(lǐng)域所關(guān)注的主要問題。第二章：拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)。介紹極限集、回復(fù)性質(zhì)、拓?fù)涔曹椇鸵蜃印⑼負(fù)鋫鬟f和拓?fù)浠旌?、極小集

26、、拓?fù)潇?。第三章：測度動力系統(tǒng)（遍歷論）。介紹龐加萊回復(fù)定理、不變測度、遍歷測度、伯克霍夫遍歷定理、唯一遍歷定理、測度熵。第四章：微分動力系統(tǒng)。介紹結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、雙曲不動點(diǎn)、雙曲集、穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形、哈特曼格羅伯曼定理、穩(wěn)定流形定理。參考文獻(xiàn)：1. A. Katok and B. Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Cambridge Univ. Press, 1995. 2. V.V. Nemytskii and V.V. Stepanov, Qualitative Theory of D

27、ifferential Equations, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1960. 3. Michael Brin and Garrett Stuck, Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, 2002.4. Peter Walters, An Introduction to Ergodic Theory, Springer Verlag, New York, 1982. 5.V.I.Arnold, Geometrical Methods in

28、 the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer Verlag, 1988. 撰 寫 人：孟鋼（研究生院數(shù)學(xué)學(xué)院） 撰寫時間：2011年7月大綱編號：S070101ZJ0012偏微分方程概論IIIntroduction to Partial Differential Equations課程編號：S070101ZJ0012    課程屬性：專業(yè)基礎(chǔ)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：數(shù)學(xué)物理方程、泛函分析初步、偏微分方程概論教學(xué)目的、要求：本課程為偏微分方程及相關(guān)學(xué)科領(lǐng)

29、域的碩士生的學(xué)科基礎(chǔ)課。本課程的主要內(nèi)容為雙曲型偏微分方程和拋物型偏微分方程Cauchy問題和初邊值問題的基本理論，重點(diǎn)介紹Galerkin方法和算子半群方法。通過對本課程的學(xué)習(xí)，希望學(xué)生掌握偏微分方程的基本理論，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)與研究偏微分方程理論打下良好的基礎(chǔ)。主要內(nèi)容：第一章 雙曲型方程l 雙曲型方程的能量不等式及其應(yīng)用，l Cauchy問題解的存在性，l 初邊值問題解的存在唯一性（Galekin方法），l 對稱雙曲組。第二章 拋物型方程與算子半群方法l 拋物型方程的定解問題及其能量不等式，l 求解初邊值問題的Galekin方法，l 算子半群方法及其應(yīng)用以及極值原理。參考文獻(xiàn)：1. 陳恕行，

30、現(xiàn)代偏微分方程導(dǎo)論，科學(xué)出版社，2005. （主要教材）2. L. C. Evans，Partial Differential Equations, AMS,2002.3R. A. Adams，Sobolev Spaces, New York: Academic Press 1975. (中譯本：葉其孝等譯.北京，人民教育出版社，1981) 撰 寫 人： 韓丕功 吳剛 撰寫時間：2011年7月大綱編號：S070101ZJ013范疇論: 函子語言簡介Category Theory: Introduction to the functorial language課程編號：S070101ZJ013

31、         課程屬性：專業(yè)基礎(chǔ)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：高等代數(shù) 教學(xué)目的、要求：本課程為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代解析幾何, 代數(shù)幾何打下關(guān)鍵基礎(chǔ), 是數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)博士、碩士研究生的專業(yè)基礎(chǔ)課。主要內(nèi)容：第一章 范疇論中的概念 (Kategorien)第二章 Yoneda引理和可表函子(Yoneda Lemma und repräsentable Funktoren)第三章 極限和上極限(Limiten und Colimiten)第四章Adjoint

32、functors (Adjungierte Funktoren)第五章 Representable functors II第六章 Representable morphisms (repräsentable Morphismen)第七章 Sheaf Theory (Garbentheorie)第八章 Ringed spaces (Geringte Räume)第九章 A Descente Lemma of Grothendieck (Ein Descente Lemma von Grothendieck)參考文獻(xiàn)：1. Grothendieck, A. Él

33、33;ments de Géométrie Algébrique. I，2004. 撰 寫 人：Knut Knorr（Regensburg University）撰寫日期：2012年4月大綱編號：S070101ZY01代數(shù)K理論Algebraic K-Theory課程編號：S070101ZY001     課程屬性：專業(yè)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：抽象代數(shù)，交換代數(shù)，同調(diào)代數(shù)， 代數(shù)拓樸教學(xué)目的、要求： 本課程為數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)專業(yè)博士、碩士研究生的專業(yè)課，同時也可作為其它相關(guān)學(xué)科研究生

34、的選修課， 要求選學(xué)者具備“抽象代數(shù)”，“交換代數(shù)與同調(diào)代數(shù)”，“代數(shù)拓樸”等有關(guān)專業(yè)的基礎(chǔ)知識。本課程采用Rosenberg 的“Algebraic K-Theory and Its Applications”教材為基本內(nèi)容來講解代數(shù)K-理論的基本理論以及相關(guān)的應(yīng)用, 同時以鼓勵學(xué)生完成各類習(xí)題，力求使學(xué)生能領(lǐng)會1959年由Grothendieck所開創(chuàng)的以及許多數(shù)學(xué)大師共同發(fā)展起來的現(xiàn)代代數(shù)K-理論的語言，方法，和思想以及基本結(jié)果。主要內(nèi)容：第一章 環(huán)的K0群的定義，一些特殊環(huán)的K0群，相對K0群，K0群的切割，及其K0群應(yīng)用。第二章 環(huán)的K1群的定義，一些特殊環(huán)的K1群， 相對K1群及其

35、應(yīng)用。第三章 范疇的K0群，K1群，負(fù)K-理論。代數(shù)K-理論基本定理。第四章 群同調(diào)，環(huán)的K2群的定義，及其K2群的應(yīng)用。第五章 高階K群的定義，基本性質(zhì)及其應(yīng)用。教材： Jonathen Rosenberg，Algebraic K-Theory and Its Applications， Springer, GTM147, 1994 參考文獻(xiàn)：1. Jonathen Rosenberg，Algebraic K-Theory and Its Applications， Springer, GTM147, 1994 2. Milnor, Introduction to Algebraic K-T

36、heory, Annals of Mathematics Studies, Vol 72, Princeton University Press, 1971撰 寫 人：唐國平（研究生院數(shù)學(xué)學(xué)院） 撰寫時間：2009年6月大綱編號：S070101ZY002非線性泛函分析Nonlinear Functional Analysis課程編號：S070101ZY002     課程屬性：專業(yè)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：微積分，點(diǎn)集拓?fù)?，線性泛函分析教學(xué)目的、要求：本課程為數(shù)學(xué)各專業(yè)博士、碩士研究生的專業(yè)課，也可作為自然科學(xué)

37、其它專業(yè)的選修課。數(shù)學(xué)內(nèi)部以及自然科學(xué)提出許多非線性問題，本課程正是介紹求解非線性方程的一些方法，包括拓?fù)涠壤碚?，變分方法。在這個課程中，可以獲得非線性分析最基本的思想、概念、方法，為今后獨(dú)立解決各種非線性問題打下基礎(chǔ)。主要內(nèi)容：第一章 非線性泛函分析的基礎(chǔ)知識非線性映射的F-導(dǎo)數(shù)和G-導(dǎo)數(shù)；中值定理；隱函數(shù)定理。第二章 有窮維空間的拓?fù)涠菳rouwer度的定義和性質(zhì)；Brouwer不動點(diǎn)定理。第三章 無窮維空間的拓?fù)涠热B續(xù)映射；Leray-Schauder度；Schauder不動點(diǎn)定理。第四章 變分理論非線性泛函的極值理論；Nehari 流形；偽梯度流；形變定理；Mountain pass

38、 定理；Linking 定理；Ekeland 變分原理；指標(biāo)理論。教材：Klaus Deimling，Nonlinear Functional Analysis，Springer-Verlag, Berlin，Heidelberg，New York-Tokyo, 1985.參考文獻(xiàn)：1. 張恭慶，臨界點(diǎn)理論及應(yīng)用，科學(xué)出版社，北京，1986。2. Michel Willem, Minimax Theorems, Birkhauser Verlag, Boston, Basel, Berlin, 1996. 撰 寫 人： 孫義靜（研究生院數(shù)學(xué)學(xué)院） 撰寫時間：2010年6月大綱編號：S07010

39、1ZY003拋物型偏微分方程Second order parabolic equations課程編號：S070101ZY003        課程屬性：專業(yè)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：偏微分方程基礎(chǔ)課，實(shí)變函數(shù)論，泛函分析教學(xué)目的、要求：本課程適合基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計算數(shù)學(xué)各專業(yè)的研究生作為專業(yè)課。主要介紹Campanato空間在二階偏微分方程中的應(yīng)用。首先引進(jìn)拋物距離的Campanato 空間并以它為工具建立拋物方程的Schauder 理論，Lp理論，然后與De Giorgi-Nash-M

40、oser 估計結(jié)合證明拋物方程解得正則性定理。對于非散度型的一般方程介紹Krylov-Safonov估計并用它討論完全非線性方程。主要內(nèi)容：第一章 Campanato 空間第一章 Sobolev空間第二章 弱解的存在唯一性第三章 Shauder 理論第四章 Lp理論第五章 DeGiorgi-Nash-Moser 估計第六章 Krylov-Safonov 估計第七章 散度型擬線性方程第八章 完全非線性方程教材：陳亞浙 二階拋物型偏微分方程，北京大學(xué)出版社，2003。參考文獻(xiàn)：1GaryM。 Lieberman， Second Order Parabolic Differential Equati

41、ons， World Scientific Publishing， 1996。撰 寫 人：張平（數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院） 撰寫時間：2009年7月大綱編號：S070101ZY004橢圓型偏微分方程Elliptic Partial Differential Equations課程編號：S070101ZY004        課程屬性：專業(yè)課      學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：數(shù)學(xué)物理方程、泛函分析初步，偏微分方程概論教學(xué)目的、要求：本課程為偏微分方程、數(shù)值分析理論、分布參數(shù)控制及與此有關(guān)的學(xué)科領(lǐng)

42、域的碩士生或博士生的專業(yè)課。本課程的主要內(nèi)容為二階橢圓型方程的基本理論，比較詳細(xì)的介紹二階橢圓型方程Dirichlet邊值問題的先驗(yàn)估計方法，弱解的存在性和正則性理論。通過對本課程的學(xué)習(xí)，希望學(xué)生能掌握二階橢圓型方程偏微分方程的基本概念、方法和技巧，為進(jìn)一步研究偏微分方程、數(shù)值分析、分布參數(shù)控制及與此有關(guān)的學(xué)科打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ), 并為完成這些領(lǐng)域的學(xué)位論文提供理論支持。主要內(nèi)容：第一章 L2理論Lax-Milgram定理，橢圓型方程弱解的存在性, 弱解的極值原理。第二章 Schauder理論Holder空間，Schauder內(nèi)估計，Schauder全局估計，古典解的極值原理，Dirichlet邊

43、值問題的可解性。第三章 Lp理論Maecinkiewicz內(nèi)插定理，位勢方程的估計，W2,p內(nèi)估計, W2,p全局估計，Garding不等式，邊值問題的W2,p解的存在性。第四章 De Giogi-Nash估計弱解的局部性質(zhì)，內(nèi)部Holder連續(xù)性，全局Holder連續(xù)性。第五章 散度型擬線性方程弱解的有界性，有界弱解的Holder模，梯度估計。參考文獻(xiàn)：1. 陳亞浙，吳蘭成 二階橢圓型方程與橢圓型方程組，科學(xué)出版社，2006. 2. D.Gilbarg and N.Trudinger，Elliptic Partial Differential Equations of Second Orde

44、r, Springer，1997.撰 寫 人：曹道民（數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院） 撰寫日期：2009年6月大綱編號：S070101ZY005雙曲型偏微分方程Partial Differential Equations of Hyperbolic Type課程編號：S070101ZY005          課程屬性：專業(yè)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：數(shù)學(xué)物理方程、泛函分析初步，偏微分方程概論教學(xué)目的、要求：本課程為偏微分方程、數(shù)值分析理論、空氣動力學(xué)及與此有關(guān)的學(xué)科領(lǐng)域

45、的碩士生或博士生的專業(yè)課。本課程的主要內(nèi)容為一階擬線性雙曲型偏微分方程的基礎(chǔ)理論，比較詳細(xì)地介紹了一階擬線性雙曲型偏微分方程光滑解的局部存在性和解的爆破、激波理論、弱解的整體存在性和唯一性理論，補(bǔ)償列緊理論。通過對本課程的學(xué)習(xí)，希望學(xué)生能掌握一階擬線性雙曲型偏微分方程的基本概念、方法和技巧，為進(jìn)一步研究偏微分方程、數(shù)值分析及與此有關(guān)的學(xué)科打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ), 并為完成這些領(lǐng)域的學(xué)位論文提供理論支持。主要內(nèi)容：第一章 光滑解光滑解局部存在性，解的爆破第二章 分片光滑解激波，稀疏波，R-H條件，熵條件，熵解第三章 單個方程的激波理論Burgers方程，熵解的存在性，熵解的唯一性第四章 方程組的BV熵解

46、的存在性Riemann問題，Glimm格式第五章 補(bǔ)償列緊理論不變區(qū)域理論，參數(shù)側(cè)度參考文獻(xiàn)：1. 應(yīng)隆安，滕振寰 雙曲型守恒律方程及其差分方法，科學(xué)出版社，1991. 2. L. C. Evans，Partial Differential Equations, AMS,2002.3. Joel Smoller, Shock waves and reaction-diffusion equations, second edition, 1999撰 寫 人：黃飛敏（數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院） 撰寫日期：2009年6月大綱編號：S070101ZY006擬共形映射及其應(yīng)用Quasi-conformal

47、Mappings and Its Applications課程編號：S070101ZY006      課程屬性：專業(yè)課     學(xué)時學(xué)分：40/2預(yù)修課程：復(fù)變函數(shù)論，基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)教學(xué)目的、要求： 本課程為數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)博士、碩士研究生的專業(yè)基礎(chǔ)課，同時也可作為理論物理專業(yè)研究生的選修課。通過本課程的學(xué)習(xí)，希望學(xué)生能掌握近代復(fù)分析的基本概念和基本思想，對近代復(fù)分析的發(fā)展有所了解，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和從事專業(yè)研究打下基礎(chǔ)。主要內(nèi)容：第一章 黎曼曲面定義與例子，覆蓋曲面，基本群，覆蓋變換群。第二章 單值化定理格林函數(shù)

48、，調(diào)和測度與最大值原理，開黎曼曲面的分類，單值化定理的證明。第三章 Riemann-Roch定理De Rahm上同調(diào)群，全純微分，半純微分的雙線性關(guān)系，除子與Riemann-Roch定理，Riemann-Roch定理的證明，Weierstrass空隙定理，Abel定理及其推論第四章 擬共形映射幾何定義，可微擬共形映射，K-擬共形映射的緊性，廣義導(dǎo)數(shù)，擬共形映射的分析性質(zhì)，存在性定理及其推論，偏差定理，第五章 擬共形映射的邊界值問題擬圓周與擬共形反射，擬對稱與Beurling-Ahlfors擴(kuò)張，Douady-Earle擴(kuò)張。第六章 極值擬共形映射主要不等式，極值擬共形映射的充分必要條件，Tei

49、chmuller映射第七章 Teichmuller空間萬有Teichmuller空間，Bers嵌入, 全純運(yùn)動。參考文獻(xiàn)： 1. Lars V. Ahlfors, Lectures on quasiconformal mappings, 1966/1987/2006 (3 Editions).2. Olli Lehto, Univalent Functions and Teichmuller Spaces, Springer-Verlag, 19873. John Hubbard, Teichmuller Theory and Applications to Geometry, Topolog

50、y, and Dynamics, vol. 1, Teichmuller Theory, Matrix Editions, 2006.4. 李忠，擬共形映射及其在黎曼曲面論中的應(yīng)用，科學(xué)出版社，1988。5. 李忠，復(fù)分析導(dǎo)引（北京大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)系列叢書），北京大學(xué)出版社，2004。撰 寫 人：崔貴珍（數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院） 撰寫時間：2009年5月大綱編號：S070101TL001代數(shù)學(xué)選讀Seminar on Algebra課程編號：S070101TL001          課程屬性：討論課 

51、0;   學(xué)時學(xué)分：20/1預(yù)修課程：代數(shù)教學(xué)目的、要求：本課程是碩士和博士研究生的一門討論課，主要面向基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，也可供其它相關(guān)專業(yè)的學(xué)生選學(xué)。課程以論文研讀和課堂討論交流為主，主要研讀和討論代數(shù)學(xué)及其相關(guān)領(lǐng)域有代表性的論文。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解代數(shù)學(xué)研究的前沿專題，掌握代數(shù)學(xué)研究的基本方法和技巧，為學(xué)生從事相關(guān)選題的理論研究和應(yīng)用研究奠定基礎(chǔ)。主要內(nèi)容：根據(jù)本學(xué)科的最新發(fā)展，開課時設(shè)置相關(guān)研讀和討論的內(nèi)容。撰 寫 人：唐國平（研究生院數(shù)學(xué)學(xué)院） 撰寫日期：2010年6月大綱編號：S070101TL002微分幾何選讀Seminar on Different

52、ial Geometry課程編號：S070101TL002          課程屬性：討論課     學(xué)時學(xué)分：20/1預(yù)修課程：微分幾何教學(xué)目的、要求：本課程是碩士和博士研究生的一門討論課，主要面向基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，也可供其它相關(guān)專業(yè)的學(xué)生選學(xué)。課程以論文研讀和課堂討論交流為主，主要研讀和討論微分幾何及其相關(guān)領(lǐng)域有代表性的論文。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解微分幾何研究的前沿專題，掌握微分幾何研究的基本方法和技巧，為學(xué)生從事相關(guān)選題的理論研究和應(yīng)用研究奠定基礎(chǔ)。主要內(nèi)容：

53、根據(jù)本學(xué)科的最新發(fā)展，開課時設(shè)置相關(guān)研讀和討論的內(nèi)容。撰 寫 人：焦曉祥（研究生院數(shù)學(xué)學(xué)院） 撰寫日期：2010年6月大綱編號：S070101TL003微分流形選讀Seminar on Differentiable Manifolds課程編號：S070101TL003          課程屬性：討論課     學(xué)時學(xué)分：20/1預(yù)修課程：微分流形教學(xué)目的、要求：本課程是碩士和博士研究生的一門討論課，主要面向基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，也可供其它相關(guān)專業(yè)的學(xué)生選學(xué)。課程以論文研讀和課

54、堂討論交流為主，主要研讀和討論微分流形及其相關(guān)領(lǐng)域有代表性的論文。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解微分流形研究的前沿專題，掌握微分流形研究的基本方法和技巧，為學(xué)生從事相關(guān)選題的理論研究和應(yīng)用研究奠定基礎(chǔ)。主要內(nèi)容：根據(jù)本學(xué)科的最新發(fā)展，開課時設(shè)置相關(guān)研讀和討論的內(nèi)容。撰 寫 人：彭家貴（研究生院數(shù)學(xué)學(xué)院） 撰寫日期：2010年6月大綱編號：S070101TL004李群和李代數(shù)選讀Seminar on Lie Group, Lie Algebras課程編號：S070101TL004          課程屬性：討論課&#

55、160;    學(xué)時學(xué)分：20/1預(yù)修課程：李群教學(xué)目的、要求：本課程是碩士和博士研究生的一門討論課，主要面向基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，也可供其它相關(guān)專業(yè)的學(xué)生選學(xué)。課程以論文研讀和課堂討論交流為主，主要研讀和討論李群和李代數(shù)及其相關(guān)領(lǐng)域有代表性的論文。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解李群和李代數(shù)研究的前沿專題，掌握李群和李代數(shù)研究的基本方法和技巧，為學(xué)生從事相關(guān)選題的理論研究和應(yīng)用研究奠定基礎(chǔ)。主要內(nèi)容：根據(jù)本學(xué)科的最新發(fā)展，開課時設(shè)置相關(guān)研讀和討論的內(nèi)容。撰 寫 人：肖良（研究生院數(shù)學(xué)學(xué)院） 撰寫日期：2010年6月大綱編號：S070101TL005黎曼曲面選讀Semi

56、nar on Riemann Surfaces課程編號：S070101TL005          課程屬性：討論課     學(xué)時學(xué)分：20/1預(yù)修課程：黎曼曲面教學(xué)目的、要求：本課程是碩士和博士研究生的一門討論課，主要面向基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，也可供其它相關(guān)專業(yè)的學(xué)生選學(xué)。課程以論文研讀和課堂討論交流為主，主要研讀和討論黎曼曲面及其相關(guān)領(lǐng)域有代表性的論文。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解黎曼曲面研究的前沿專題，掌握黎曼曲面研究的基本方法和技巧，為學(xué)生從事相關(guān)選題的理論研究和應(yīng)用研究奠定基礎(chǔ)