由一道數(shù)學(xué)競賽題而引發(fā)的思考

1、由一道數(shù)學(xué)競賽題而引發(fā)的思考安徽省寧國水泥廠 吳忠群原題：如圖1所示，AOB是單位圓的四分之一，半圓O1的圓心在OA上且與弧AB內(nèi)切于點A，半圓O2的圓心在OB上且與弧AB內(nèi)切于點B，半圓O1和半圓O2相外切，設(shè)兩半圓的半徑之和為x，面積之和為y。1試建立以x為自變量的函數(shù)y的解析式；2求函數(shù)y的最小值。（2000年山西省太原市數(shù)學(xué)競賽試題）解：1設(shè)兩圓的半徑分別為R、r，由題設(shè)可知x = R + r，而y =（R2 + r2）/2 （1） 在圖1中，顯然有（R + r）2 =（1R）2 +（1r）2x2 = 22x + R2 + r2，結(jié)合（1）得：y =（x2 + 2x 2）/22將y =

2、（x2 + 2x 2）/2變形為y =（x+1）2 3/2 （2）下面我們來探討R + r（即x）的取值范圍：（i）如圖2所示，當(dāng)R最大（即Rmax=0.5）時，r則最小，此時由勾股定理可得：（0.5 + r）2 =（10.5）2 +（1r）2r=1/3 ， 即rmin=1/3，那么這時所得x=0.5+1/3 =5/6而當(dāng)r最大（即rmax=0.5）時，R則最小，Rmin=1/3，這和上面所得x的值是一樣的，即此時x=5/6；（ii）R=r時，此時由勾股定理可得：（2R）2 =2（1R）2 R=那么這時所得x=2（）因為5/6大于0.83，而2（）小于0.829，所以5/6比2（）要大，于是，

3、我們初步判斷當(dāng)x=2（）時，函數(shù)y取得最小值，那么將x=2（）代入解析式（2）就可以得到函數(shù)y的最小值ymin=（）接下來，我們來證明x的最小值是2（）：我們已經(jīng)知道x2 = 22x + R2 + r2，再結(jié)合r = x R 可得：R2xRxR+1=0，對于這個關(guān)于R的二次方程，顯然有0，即x2 +4x40 （x+2）2 8 x（因為x為非負(fù)數(shù)），即x的最小值是2（）。當(dāng)然，我們也可以運用比較法來迅速地判斷出“x”：首先，我們把上面的“R2xRxR+1=0”變形為x=（R2 +1）/（R+1）（）而（R2 +1）/（R+1）（）=R2 2（）R+3/（R+1） =R2 2（）R+（）2/（R+

4、1） =R（）2/（R+1）我們也可以將上述變形作如下處理：（R2 +1）/（R+1）（）=（R2 +2R+12R+2）/（R+1） =（R+1）2 2（R+1）+2/（R+1） =（R+1） 2/（R+1）=R（）2/（R+1）考慮到（R+1）0可以知道：R（）2/（R+1）0，再結(jié)合（）可知x（）0，即xx解罷本題，不禁引發(fā)了我們的以下思考：第一， 如何僅運用直尺（無刻度）和圓規(guī)正確地作出圖1？第二， 對于本題，函數(shù)y是否存在最大值？若存在，則如何求得該最大值？若不存在請說明理由。 針對第一問，筆者給出這樣的作圖方法：如圖3所示，先以O(shè)為圓心作出四分之一單位圓OAB，在OB上取適當(dāng) 因為由

5、（i）可知1/3r1/2的點O2，以O(shè)2為圓心畫O2，過O2作OB的垂線交O2于點K，連結(jié)AK交O2于點M，則直線O2M與OA的交點就是O1的圓心O1，最后以O(shè)1為圓心、以A O1（或MO1）長為半徑畫半圓O1即可。簡單說明：不難知道O2MK是以O(shè)2為頂點的等腰三角形，而O2MKO1MA，所以我們就知道O1MA是以O(shè)1為頂點的等腰三角形，那么所作出的圖形是滿足題意的。針對第二問，我們的回答是肯定的。其實，我們從上述解答2中已經(jīng)知道x1=5/6及x2=2（）是R在兩種特殊情況下所取得的x的值，并且又很容易判斷出5/6大于2（），而當(dāng)x=2（）時，函數(shù)y取得了最小值，那么我們有理由相信當(dāng)x=5/6時，函數(shù)y取得最大值。簡證如下：同樣，我們把上面的“R2xRxR+1=0”變形為x=（R2 +1）/（R+1）（）因為由（i）可知1/3R1/2，所以有（2R1）（3R1）0 6R25R+10 6+6R2 55R0 6（R2 +1）5（R+1）0 （R2 +1）/（R+1）5/6，結(jié)合（）可得：x5/6，所以當(dāng)x=5/6時，函數(shù)y取得最大值，于是將x=5/6代入解析式（2）就可以得到函數(shù)y的最大值ymax=13/72。另外，關(guān)于x5/6，我們?nèi)匀豢梢赃\用比較法來迅速地給出證明：因為（R2 +1）/（R+1）5/6 =（6R2 5 R +1）/6（R+1）=（2R