高考熱點(diǎn)遞推數(shù)列問題分類解析

1、高考熱點(diǎn)遞推數(shù)列問題分類解析近年來的高考數(shù)學(xué)試題中，常以遞推數(shù)列或與其相關(guān)的問題作為能力型試題，這些問題綜合性強(qiáng)、思維力度大，能力要求高，是同學(xué)們感到棘手的一類疑難問題。本文從思路、方法到一般結(jié)論與模型，進(jìn)行深入淺出的分類解析。1、線性遞推問題此類問題的一般模型是已知(或可求得)線性遞推關(guān)系：an+1=can+d，a1=b(其中b，c，d均為常數(shù)，且c0，1)求通項(xiàng)an。常用下述方法求解：1.1 遞推法即以an+1=can+d作為遞推公式直接進(jìn)行遞推，并歸納得到通項(xiàng)an。an=can-1+d=c(can-2+d)+d=c2an-2+(1+c)d=c2(can-3+d)+(1+c)d=c3an-

2、3+(1+c+c2)d=cn-1a1+(1+c+c2+cn-2)d=cn-1b+d=an=1.2 解方程組法由an+2-an+1=c(an+1-an)得：數(shù)列an+1-an是首項(xiàng)為a2-a1=(c-1)b+d，公比為c的等比數(shù)列，an+1-an=(c-1)b+dcn-1=bcn+(d-b)cn-1，解方程組消去an+1即得到通項(xiàng)公式。1.3 參數(shù)法對(duì)an+1=can+d兩端同時(shí)加上參數(shù)t得：an+1+t=can+d+t=c(an+)，令t=，得t=，數(shù)列an+t是首項(xiàng)為a1+t=b+，公比為c的等比數(shù)列，an+t=(b+)cn-1，將t=代入并移項(xiàng)即得到通項(xiàng)公式。1.4 求和法對(duì)an+1=ca

3、n+d兩端除以cn+1得：，即，+()+=()+=，an=cn=。1.5 歸納法即先由不完全歸納法得到猜想通項(xiàng)公式，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。例1(2000年北京春季高考題)已知函數(shù)f(x)=-2x+2，x，1，設(shè)f(x)的反函數(shù)為y=g(x)，a1=1，a2=g(a1)，an=g(an-1)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并求an。解析：由g(x)=-x+1、a1=1得：a2=g(a1)=， an=g(an-1)=-an-1+1，an+2-an+1=(-)(an+1-an)，an+1-an=(a2-a1)(-)n-1=(-)n，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=

4、(-)n-1+(-)n-2+(-)+1=1-(-)n，an=。說明：上述五種方法，實(shí)際上是給出了將線性遞推數(shù)列，轉(zhuǎn)化為可求通項(xiàng)的數(shù)列的五種轉(zhuǎn)化的辦法，這些轉(zhuǎn)化的思想方法，也常用于解決非線性遞推問題，應(yīng)熟練掌握。1.6 當(dāng)an+2=pan+1+qan時(shí)通項(xiàng)的求法(其中p、q為常數(shù)且pq0)引入?yún)?shù)1、2使an+2-1an+1=2(an+1-1an),即an+2=(1+2)an+1-12an,與原式比較系數(shù)得：1+2p,12=-q,即1、2是方程2=p+q的根，方程稱為特征方程，解之可得1、2及等比數(shù)列an+1-1an，n+1-1an=(a2-1a1)，利用求和法可求通項(xiàng)。例2(2002年春季高考

5、題)已知點(diǎn)的序列An(xn，0)，nN，其中x1=0，x2=a(a0)，A3是線段A1A2的中點(diǎn)，A4是線段A2A3的中點(diǎn)，An是線段An-2An-1的中點(diǎn)，。(I)寫出xn與xn-1、xn-2之間的關(guān)系式(n3)；(II)設(shè)an=xn+1-xn，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(III)求xn。解析：(I)當(dāng)n3時(shí)，xn=；(II)解2=+，得1=1，2=-，an+1=-an，a1=a，an=a(-)n-1(nN)；(III)xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+(x2-x1)+x1=an-1+an-2+a1，xn=a。2、非線性遞推問題下面列舉幾種非線性遞推問題常見類型及其解法。2.1

6、關(guān)于an+1=can+f(n)型數(shù)列通項(xiàng)的求法此類問題常用上面介紹的前5種方法求解。例3(1999年高考試題)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線，當(dāng)nyn+1(n=0，1，2，)時(shí)，該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)b1)，設(shè)數(shù)列xn由f(xn)=n(n=1，2，)定義。求xn的表達(dá)式。解析：記x0=0，依題意有f(xn)-f(xn-1)=bn-1(xn-xn-1)=n-(n-1)=1，xn-xn-1=()n-1xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+(x1-x0)+x0=()n-1+()n-2+()+1=。2.2 關(guān)于=f(n)型數(shù)列通項(xiàng)的求法由=f(n)得：an=

7、·a1=f(n-1)f(n-2)f(1)a1，即an=f(n-1)f(n-2)f(1)a1。例4(2000年高考試題)設(shè)an是正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)a-na+an+1an=0(n=1、2、3)，則它的通項(xiàng)公式是_。解析：由已知等式得=，a1=1，an=··1=。2.3 關(guān)于an+1an=f(n)型數(shù)列通項(xiàng)的求法(其中an0)由已知an+1an=f(n)及an=得：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)an=。2.4 關(guān)于an+1=型數(shù)列通項(xiàng)的求法此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解。例5設(shè)數(shù)列an滿足a1=2，an+1=，求an。解析：對(duì)等式兩端同加參數(shù)t得：n+1+t=

8、+t=(2t+5)，令t=，解之可得t=-1，2，代入an+1+t=(2t+5)，得an+1-1=3，an+1+2=9，相除得=·，即是首項(xiàng)為=公比為的等比數(shù)列，=·31-n，解得an=。3、遞推不等式問題利用遞推證明不等式，常用歸納法、不等式性質(zhì)、基本不等式等；對(duì)于線性遞推不等式可以將線性遞推(等式)的上述方法移植加以運(yùn)用解決問題。例6(2002年高考試題)設(shè)數(shù)列an滿足an+1=a-nan+1，n=1，2，3，當(dāng)a13時(shí)，證明對(duì)所有的n1，有(I)ann+2；(II)。解析：(I)當(dāng)n=1時(shí)，a13=1+2，不等式成立，設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即akk+2，當(dāng)n=k+1時(shí)

9、，ak+1=ak(ak-k)+1(k+2)2+1k+3，即n=k+1時(shí)不等式成立，ann+2；II)由(I)ann+2得，an+1=an(an-n)+12an+1，即an+12an+1，an+1+12(an+1)，···，對(duì)k2有··。+=·(2-)。例7(2002年北京高考試題)數(shù)列xn由下列條件確定：x1=a0，xn+1=(xn+)，nN。(I)證明：對(duì)n2，總有xn；(II)證明：對(duì)n2，總有xnxn+1。證明：(I)對(duì)n2，由x1=a0，易推得xn0，xn=(xn-1+)，即xn；(II)對(duì)n2，由(I)得ax，xn+1=(x

10、n+)(xn+)=xn，即xnxn+1。4、遞推應(yīng)用問題解決遞推應(yīng)用問題的一般步驟是：先依據(jù)題意建立遞推關(guān)系，再利用遞推關(guān)系求出相關(guān)數(shù)列的通項(xiàng)，最后運(yùn)用通項(xiàng)及其性質(zhì)解決待求問題。例8(2002年高考試題)某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么，每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？解析：設(shè)每年新增汽車x萬輛，第n年末汽車保有量為an萬輛，依題意a1=30，an+1=0.94an+x，由an+2=0.94an+1+x，得an+2-an+1=0.94(an+1-an)，an+1-a

11、n=(a2-a1)·0.94n-1=(x-1.8)·0.94n-1，an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+(a2-a1)+a1=(x-1.8)·(0.94n-1+0.94n-2+1)+30=30+(x-1.8)，當(dāng)x1.8時(shí)，數(shù)列an遞增，由an=，解60，得x3.6；當(dāng)x1.8時(shí)，數(shù)列an不增，an+1ana1=3060，綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過3.6萬輛。5、歸納遞推問題解決此類問題的思想方法是由特殊到一般，即先通過不完全歸納，發(fā)現(xiàn)遞推規(guī)律(提出猜想)，再運(yùn)用歸納法進(jìn)行一般證明。例9(2002年天津高考試題)已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a

12、1=0，a2=3，an+1an=(an-1+2)(an-2+2)，n=3，4，5，。(I)求a3；(II)證明an=an-2+2，n=3，4，5，；(III)求an的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn。解：(I)an是非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，在已知等式中分別取n=3、4、5可得：a4a3=10a5a4=5(a3+2)a6a5=(a4+2)(a3+2)由知a3只能取1、2、5、10，由知a3取1、5時(shí)a5不是整數(shù)，由知a3取10時(shí)a6不是整數(shù)，a3=2；(II)當(dāng)n=3時(shí)，a3=2=a1+2，設(shè)n=k時(shí)，ak=ak-2+2，即=1，而當(dāng)n=k+1時(shí)， ak+1ak=(ak-1+2)(ak-2+2)·

13、=1=1，即ak+1=ak-1+2，an=an-2+2。(III)由an-an-2=2，a1=0，a2=3及等差數(shù)列通項(xiàng)公式知：a2k-1=0+(k-1)2=2(k-1)，a2k=3+(k-1)2=2k+1，k=1、2、3，即an=n+(-1)n，Sn=6、利用遞推求極限即在已知(或可求出)遞推式時(shí)，求相關(guān)數(shù)列的極限(極限存在)，一般方法是：先設(shè)出極限值，再對(duì)等式兩端求極限，最后解方程求得極限值。例10(2002年北京高考試題)數(shù)列xn由下列條件確定：x1=a0，xn+1=(xn+)，nN。若數(shù)列xn的極限存在，且大于零，求xn的值。解析：設(shè)xn=A，由x1=a0及已知遞推關(guān)系易知xn0，A0，對(duì)xn+1=(xn+)兩邊取極限得A=(A+)即A2=a，A=，xn=A=。7、利用函數(shù)方程遞推即利用已知函數(shù)方程或其等價(jià)形式作為遞推關(guān)系，建立新的遞推式，利用之求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，并解決相關(guān)問題。例11(2002年北京高考試題)已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意a、bR都滿足f(a·b)=af(b)+bf(a)。若f(2)=2，un=(nN)，求數(shù)列un的前n項(xiàng)和Sn。解：由f(a·b)=af(b)+bf(a)得：f(1)=0，令g(x)=，則有g(shù)(ab)=g(a)+g(b)，g(an)=ng(a)，即f(an)=nan-1f(