不可約多項式ppt課件

1、因式分解與多項式系數(shù)所在數(shù)域有關(guān)因式分解與多項式系數(shù)所在數(shù)域有關(guān)如：如： 422422xxx 2222xxx 在有理數(shù)域上在有理數(shù)域上 2222xxxixi 問題的引入問題的引入在實數(shù)域上在實數(shù)域上在復數(shù)域上在復數(shù)域上設設 ，且，且 ，假設，假設( ) p xP x 1p x ( )p x不能表示成數(shù)域不能表示成數(shù)域 P上兩個次數(shù)比上兩個次數(shù)比 低的多項式的低的多項式的 ( )p x Def.乘積，那么稱乘積，那么稱 為數(shù)域為數(shù)域P上的不可約多項式上的不可約多項式.( )p xRemark 一個多項式能否不可約依賴于系數(shù)域一個多項式能否不可約依賴于系數(shù)域. 一次多項式總是不可約多項式一次多項式

2、總是不可約多項式. 一、不可約多項式一、不可約多項式 多項式多項式 不可約不可約 ( )( ( )1p xp x ( )p x的因式只需非零常數(shù)及其本身的非零常數(shù)倍的因式只需非零常數(shù)及其本身的非零常數(shù)倍. ( )( )( ),( )1.p xf xp xf x 或或 多項式多項式 不可約，對有不可約，對有( ) f xP x( )p x證：設證：設 那么那么 ( ( ),( )( ),p xf xd x ( )( )d x p x或或( )( ),0d xcp xc( )( )d xcp x ( ( ),( )1p xf x ( )( )p xf x( )0d xa即即 或或( )1,d x

3、不可約不可約. ，假設，假設 ( )p x( ), ( ) f xg xP x ( )( ) ( ),p xf x g x那么那么 或或 ( )( )p xf x( )( ).p x g x證：假設證：假設 結(jié)論成立結(jié)論成立 .( )( ),p xf x4Th假設假設 不整除不整除 ，那么，那么 ( ( ),( )1p xf x ( )( )p xf xTh. 5( )( ).p xg x不可約，不可約， ( )p x12( )( )( )( ),sp xfx fxfx那么必有某個使得那么必有某個使得 ( ),if x( )( ).ip xf xCor.( )( ),p xP x 假設假設 ，

4、那么，那么 可可( ( )1f x( )f x獨一地分解成數(shù)域獨一地分解成數(shù)域 P上一些不可約多項式的乘積上一些不可約多項式的乘積. 所謂獨一性是說，假設有兩個分解式所謂獨一性是說，假設有兩個分解式 1212( )( )( )( )( )( )( )stf xp x pxp xq x qxq x 1. Th.那么那么 ，且適當陳列因式的次序后，有，且適當陳列因式的次序后，有 st ( )( )iiip xc q x 其中其中 是一些非零常數(shù)是一些非零常數(shù) (1,2, )ic is 二、因式分解及獨一性定理二、因式分解及獨一性定理證：對證：對 的次數(shù)作數(shù)學歸納的次數(shù)作數(shù)學歸納. ( )f x1(

5、 )1f x 時，結(jié)論成立時，結(jié)論成立下證的情形下證的情形. ( )f xn 設對次數(shù)低于設對次數(shù)低于n的多項式結(jié)論成立的多項式結(jié)論成立2 一次多項式都不可約一次多項式都不可約 假設假設 是不可約多項式是不可約多項式. ( )f x假設假設 不是不可約多項式，那么存在不是不可約多項式，那么存在 ( )f x12( ),( ),fxfx且且 使使 ( ),1,2if xni12( )( )( )f xfx fx 結(jié)論顯然成立結(jié)論顯然成立由歸納假設由歸納假設 皆可分解成不可約多項式的積皆可分解成不可約多項式的積. 12( ),( )fxfx再證獨一性再證獨一性 .12( )( )( )tq x q

6、xq x ( )f x可分解為一些不可約多項式的積可分解為一些不可約多項式的積. ( ),( )1,2, ;1,2, .ijp x qxisjt 都是不可約都是不可約設設 有兩個分解式有兩個分解式( )f x12( )( )( )( )sf xp x pxp x 多項式多項式.對對 作歸納法作歸納法 s假設假設 那么必有那么必有 1,s 1,st 11( )( )( )f xp xq x假設不可約多項式個數(shù)為假設不可約多項式個數(shù)為 時獨一性已證時獨一性已證. 1s 由由()112( )( )( )( )tp x q x qxq x無妨設無妨設 那么那么 1( )( ),jqxq x 11( )

7、( )p x q x1111( )( ),0q xc p xc 1( )( ).jp x qx使得使得 ( ),jqx (1)兩邊消去兩邊消去1( ),q x1212( )( )( )( )stpxpxcqxq x 由歸納假設有由歸納假設有 11,st 即得即得.st ( )f x總可表成總可表成 1212( )( )( )( )srrrsf xcpx pxpx ( ) ,( )1,f xP xf x 對對其中為其中為 的首項系數(shù)，的首項系數(shù)， 為互不一樣的，為互不一樣的，c( )f x( )ip x 首項系數(shù)為首項系數(shù)為1的不可約多項式，的不可約多項式，.irZ 的規(guī)范分解式的規(guī)范分解式.稱

8、之為稱之為( )f x2. 規(guī)范分解式：規(guī)范分解式：Remark 假設知兩個多項式假設知兩個多項式 的規(guī)范分解式的規(guī)范分解式, ,( ),( )f xg x ( ),( ) .f xg x那么可直接寫出那么可直接寫出就是那些同時在就是那些同時在 的規(guī)范的規(guī)范( ),( )f xg x ( ),( )f xg x分解式中出現(xiàn)的不可約多項式方冪的乘積，所帶分解式中出現(xiàn)的不可約多項式方冪的乘積，所帶方冪指數(shù)等于它在中所帶的方冪指數(shù)方冪指數(shù)等于它在中所帶的方冪指數(shù)( ),( )f xg x中較小的一個中較小的一個( )( ),1,2,iif x g xrlis E. g. 假設的規(guī)范分解式分別為假設的規(guī)范分解式分別為( ),( )f xg x1212( )( )( )( ),0srrrsif xapx pxpxr1212( )( )( )( ),0slllsig xbpx pxpxl 那么有那么有 1212( ), ( )( )( )( ),ssf x g xpx pxpx min,1,2,iiir lis 1212( ), ( )( )( )( ),suuusf x g xpx pxpx max,1,2,iiiur lis 雖然因式分解定理在實際有其根本重要性，雖然因式分解定理在實際有其根本重要性，但并未給出一