A全等三角形之手拉手模型、倍長中線截長補短法.doc

1、手拉手模型要點一：手拉手模型 特點：由兩個等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點為公共頂點結(jié)論:(ABD AEC0A平分/ BOC變形:BC(2)/a +/ BOC=180例1.如圖在直線(1) ABEABC的同一側(cè)作兩個等邊三角形DBCABD與 BCE，連結(jié)AE與CD ,證明(2) AE DC(3) AE與DC之間的夾角為60 AGBDFB EGBCFBBH平分 AHC(7) GF / AC/hG.F變式精練1:如圖兩個等邊三角形 ABD與 BCE ,連結(jié)AE與證明(2)(1) ABE DBC AE DCAE與DC之間的夾角為60AE與DC的交點設為H , BH平分 AHC變式精練2:如圖

2、兩個等邊三角形ABD與 BCE，連結(jié)AE與CD，(1) ABE DBC證明(2)?>(3)AE與DC之間的夾角為60(4)AE與DC的交點設為H , BH平分 AHCIfAE DC例2：如圖，兩個正方形 ABCD與DEFG ,連結(jié)AG,CE ,二者相交于點H問：（2）（3）（4）yf G（1） ADGCDE是否成立?AG是否與CE相等？AG與CE之間的夾角為多少度？HD是否平分 AHE ？問：（2）（3）（4）例3：如圖兩個等腰直角三角形 ADC與EDG，連結(jié)AG,CE ,二者相交于點H（1） ADGCDE是否成立?AG是否與CE相等？AG與CE之間的夾角為多少度？HD是否平分 AHE

3、？Ji例4：兩個等腰三角形 ABD與 BCE，其中AB BD , CB EB, ABD CBE,連結(jié)AE與CD，問：(2)(3)(4)(1) ABEDBC是否成立?AE是否與CD相等？AE與CD之間的夾角為多少度？HB是否平分 AHC ？如圖，點A. B. C在同一條直線上，分別以AB BC為邊在直線AC的同側(cè)作等邊三角形 ABD BCE.例5：連接AE DC AE與DC所在直線相交于F,連接FB.判斷線段FB FE與FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié) 論?！揪?】如圖，三角形 ABC和三角形CDE都是等邊三角形，點 A,E,D,同在一條直線上，且角 EBD=62，求 角AEB的度數(shù)倍長與中點有

4、關(guān)的線段倍長中線類?考點說明：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長度 的線段，從而達到將條件進行轉(zhuǎn)化的目的：將題中已知和未知條件集中在一對三角形中、構(gòu)造全等三角形、 平移線段。1常用輔助線添加方法一一倍長中線【方法精講AD方式1 :延長AD到E,使 DE=AD 連接BE方式2 :間接倍長CEC延長MD到N,使 DN=MP 連接CD作CF丄AD于F,作BE1AD的延長線于連接BE【例11已知:ABC中，AM是中線.求證:AM 1(AB AC).【練11在 ABC中,AB 5 , AC 9，貝U BC邊上的中線 AD的長的取值范圍是什么?【練21如圖所示，

5、在 ABC的AB邊上取兩點E、F，使AE BF ,連接CE、CF，求證：AC BC EC FC .【練3】如圖，在等腰三角形 ABC中，AB=AC D是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上的一點，且 BD=CF連結(jié)DF交BC于E求證：DE=EF倍長中線、截長補短）【例2】 如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，延長BE交AC于F , AF EF , 求證：AC【練1】如圖，已知在F，求證：ABC中，AD是BC邊上的中線， E是AD上一點，且BE AC，延長BE交AC于AF EF【練2】如圖，在 ABC中，AB>AC E為BC邊的中點，AD為/ BAC的平分線，過 E作AD

6、的平行線，交 AB 于F,交CA的延長線于 G.求證：BF=CG.【練于點交ABB3】如圖，在 ABC中，AD交BC于點D，點E是BC中點，EF II AD交CA的延長線于點 F , G，若BG CF，求證：AD為 ABC的角平分線.【練4】如圖所示，已知 ABC中，AD平分 BAC , E、F分別在BD、AD 上. DE CD , EF 求證：EF II AB【例BE3】已知AM為 ABC的中線，AMB , AMC的平分線分別交 AB于E、交AC于F .求證:CF EF .B【練BEDFE 90 若 AD 3 ,1】在Rt ABC中，F(xiàn)是斜邊AB的中點，D、E分別在邊CA、CB上，滿足4，則

7、線段DE的長度為.【練MD ND .該三角形是銳角三角D2】如圖， ABC中，AB=2AC AD平分BC且AD丄AC,則/ BAC=【練3】在 ABC中，點D為BC的中點，點M、N分別為AB、AC上的點，且 (1)若 A 90，以線段BM、MN、CN為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能, 形、直角三角形或鈍角三角形？(2)如果 BM 2 CN2 DM 2 DN2，求證 AD2 - AB2 AC2 .4【例4】如圖，等腰直角 ABC與等腰直角 BDE , P為CE中點，連接PA、PD 探究PA、PD的關(guān)系.(證角相等方法)連接 PA交EF于點Q .探究AP與EF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系【練1】如圖，兩個正方

8、形 ABDE和ACGF，點P為BC的中點, .（證角相等方法）【練2】如圖，在 ABC中，CD AB ,BAD BDA，G2AE延長AB到D，使BD AB，E為AB的中點，連接CE、CD，【例5】如圖所示，在 ABC中，AB AC， 求證CD 2 EC .C【練1】已知 ABC中，AB AC， BD為AB的延長線，且 BD AB，CE為 ABC的AB邊上的中線. 求證：CD 2CE【練2】如圖，CB、CD分別是鈍角 AEC和銳角 ABC中線,且AC=AB/ ACB= ABC.求證CE=2CD.【例16】如圖，兩個正方形 ABDE和ACGF，點P為BC的中點，連接PA交EF于點Q.探究AP與EF

9、的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.（倍長中線與手拉手模型綜合應用）G【練1】已知：如圖，正方形 ABCD和正方形EBGF，點M是線段DF的中點.試說明線段 ME與MC數(shù)量關(guān)系和關(guān)系.如圖，若將上題中正方形EBGF繞點B順時針旋轉(zhuǎn) 度數(shù)（90 ），其他條件不變，上述結(jié)論還正確嗎？若正確，請你證明；若不正確，請說明理由（把長邊截成兩個短 進而得到角相等，;有具體角的度數(shù)說明要求角的度數(shù),【例10】如圖所示,ABC 中,C 900, B450 , AD平分 BAC 交 BC 于 Do求證：AB=AC+CD【練1】如圖所示，在ABC 中,B 600 ,ABC的角平分線ADCE相交于點Q求證:AE+CD=AC【練2

10、】已知ABC中，A 60,BD、CE分別平分 ABC和 ACB ,BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.BD、CE交于點全等之截長補短： 人教八年級上冊課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在 許多問題里都有著廣泛的應用 .而“截長補短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法 邊或把兩個短邊放到一起；出現(xiàn)角平分線進行翻折全等）【練2】如圖，在四邊形 ABCD中,AD / BC AE平分/ BAD交DC于點E,連接BE,且AEX BE,求證：AB=AD+BC.【練3】已知：如圖，在 ABC中，/ A=90° , AB=AC BD是/ ABC的平分線。求證： BC=AB+

11、AD.【練4】點M N在等邊三角形ABC的 AB邊上運動，BD=DC / BDC=120 , / MDN=60 ,求證MN=MB+NCC【例用）11】已知如圖所示，在ABC中,AD是角平分線,且AC=AB+BD試說明/ B=2/ C （不只是邊，倍角也適【練21】如圖，在 ABC中,/ BACAB= AC, BD丄 AC交 AC于點 D.求證：/ DBC【例12】如圖所示，已知 12 , P為BN上一點，且PDBC 于 D, AB+BC=2BD 求證：BAPBCP 1800。【練1】如圖，在四邊形ABCD中, BO BA, AD = CD BD平分ABC ,求證： A1800C【例13】如圖所

12、示，在RtABC 中，AB=AC BAC 90°,ABDCBD , CE垂直于BD的延長線于E。求證：BD=2CEB【練1】已知：如圖示，在ABC的平分線.求證： CD=2ADRt ABC中，/ A=90°,/ ABC=N C, BD是/C【練2】如圖所示，在 ABC中， ABC 90°，AD為 BAC的平分線，C =30°，BE AD于E點,求證：AC-AB=2BE【練3】正方形ABCD,E是BC上一點，AE EF,交/ DCH的平分線于點 F,求證AE=EF【練4】已知在 ABC中, AB=AC D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于 F, 且

13、 DF=EF求證：BD=CEE【例14】如圖所示，已知 AB/CD , ABC, BCD的平分線恰好交于 AD上一點E,求證：BC=AB+COD【練1】如圖，已知AD/ BC / PAB的平分線與/ CBA的平分線相交于 E,CE的連線交AP于 D.求證：AD+BC=AB2】如圖，在正方形 ABCD中, F是CD的中點，E是BC邊上的一【練點，且 AF平分/ DAE 求證：AE=EC+CD【練3】在 ABC中，AD是BC邊上的高，/ B=2/ C.求證：CD=AB+BD£【練4】如圖所示,在三角形 ABC中,/ ACB=90 ,AC=BC,D為三角形 ABC外一點,且AD= BD,D

14、EI AC交AC的延長線于點E.試探求ED AE和BC之間有何數(shù)量關(guān)系【練5】在四邊形 ABCD中, AB/ DC究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系,D【例15】如圖在 ABC中，AB>AC,/ 1 = / 2, P為 AD上任意一點，求證： AB-AC> PB-PC12【練1】已知AM為 ABC的中線, 求證：BE CF EF .AMB , AMC的平分線分別交AB于E、交AC于F .如圖，E是 AOB的平分線上一點,EC OA , ED OB ,垂足為C D。求證：（1）OC=OD （ 2）DF=CF構(gòu)造等邊三角形E為BC邊的中點，/ BAE=Z EAE AF與DC的延長線相

15、交于點 F。試探 并證明你的結(jié)論1、如圖，已知 ABC中,AB=AC,D是CB延長線上一點，/ ADB=60 , E是AD上一點，且有DE=DB. 求證：AE=BE+BC.c2、在等腰 ABC中，AB AC，頂角 A 20，在邊AB上取點D，使AD BC，求 BDC .練習1、如圖，在 ABC中，/ ACB=90 ,BE平分/ ABC,DEIAB于D,如果 AC=3cm那么AE+DE等于A、2 cmB、3cmC4cmD5cm練習 2、在 ABC和 A'BC 中,AB=A'B',AC=AC, 點 D,D'分別是 BC,BC 的中點，且 AD=A'D'

16、;,證明:ABC ABC .（倍長中線）CC'2=/ 1 + / C練習4、如圖（1），已知 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC AE是過A的一條直線，且B、C在A E的異側(cè),練習3、如圖，在 ABC中，BE是/ ABC的角平分線，AD丄BE,垂足為 D,求證：/BDL AE于 D, CEL AE于 E（1 ）試說明：BD=DE+CJE（2）若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖（2） 直接寫出結(jié)果；（3）若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖（3） 直接寫出結(jié)果，不需說明理由.位置時（位置時（BDK CE，其余條件不變，問BD> CE，其余條件不變，問BD與DE CE的關(guān)系如何？請BD與DE CE

17、的關(guān)系如何？請如圖所示，在 Rt ABC中，AB= AC / BAC= 90 證：DE= BD- CE （思路：截長補短法），有過A的任一條直線ANBD丄 AN于 D, CEL AN于 E,求,且/ ABD=60 ,BD+DC=AB求證：/ ACD=60 .（截長補短）1、如圖，等腰直角 ABC與等腰直角 BDE , P為CE中點，連接PA、PD .探究PA、PD的關(guān)系.（輔助線的連法都一樣）2、已知：如圖，正方形 ABCD和正方形EBGF，點M是線段DF的中點.試說明線段ME與MC數(shù)量關(guān)系和關(guān)系.（輔助線的連法都一樣）如圖，若將上題中正方形EBGF繞點B順時針旋轉(zhuǎn) 度數(shù)（90），其他條件不變

18、，上述結(jié)論還正確嗎？若正確，請你證明；若不正確，請說明理由3、已知AM為 ABC的中線， AMB , AMC的平分線分別交 AB于E、交 求證：BE CF EF .（輔助線的連法都一樣）C【閱讀理解】已知：如圖1,等腰直角三角形 ABC中，/ B=90°, AD是角平分線，交 BC邊于點D.求證：AC=AB+BD證明：如圖1,在AC上截取 AE=AB連接DE則由已知條件易知： Rt ADBRt ADE(AAS) / AED/ B=90°，DE=dB又 V/ C=45°,.A DEC是等腰直角三角形. DE=EC AC=AE+EC=AB+bD【解決問題】已知，如圖2,等腰直角三角形 ABC中,/ B=90°，AD是/ BAC的平分線，交BC邊于點D, DE1 AC垂足為E,若AB=2則三角形DEC的周長為【數(shù)學思