不等式的綜合應(yīng)用

1、本2012屆高考數(shù)學(xué)難點不等式的綜合應(yīng)用不等式是繼函數(shù)與方程之后的又一重點內(nèi)容之一，作為解決問題的工具，與其他知識綜合運用的特點比較突出.不等式的應(yīng)用大致可分為兩類：一類是建立不等式求參數(shù)的取值范圍或解決一些實際應(yīng)用問題；另一類是建立函數(shù)關(guān)系，利用均值不等式求最值問題、本難點提供相關(guān)的思想方法，使考生能夠運用不等式的性質(zhì)、定理和方法解決函數(shù)、方程、實際應(yīng)用等方面的問題.難點磁場()設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)x=0的兩個根x1、x2滿足0x1x2.(1)當x0，x1時，證明xf(x)x1；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，證明：x0.案例探究例1用一

2、塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設(shè)容器高為h米，蓋子邊長為a米，(1)求a關(guān)于h的解析式；(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當h為何值時，V最大？求出V的最大值(求解本題時，不計容器厚度)命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，棱錐表面積和體積的計算及用均值定論求函數(shù)的最值.知識依托：本題求得體積V的關(guān)系式后，應(yīng)用均值定理可求得最值.錯解分析：在求得a的函數(shù)關(guān)系式時易漏h0.技巧與方法：本題在求最值時應(yīng)用均值定理.解：設(shè)h是正四棱錐的斜高，由題設(shè)可得： 消去由 (h0)得：所以V，當且僅當h=即h=1時取等號故當h=1米時，V有最大值，V的最大值為立方米.例

3、2已知a，b，c是實數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當1x1時|f(x)|1.(1)證明：|c|1；(2)證明：當1 x1時，|g(x)|2；(3)設(shè)a0，有1x1時， g(x)的最大值為2，求f(x).命題意圖：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、含有絕對值不等式的性質(zhì)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.屬級題目.知識依托：二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性是藥引，而絕對值不等式的性質(zhì)靈活運用是本題的靈魂.錯解分析：本題綜合性較強，其解答的關(guān)鍵是對函數(shù)f(x)的單調(diào)性的深刻理解，以及對條件“1x1時|f(x)|1”的運用；絕對值不等式的性質(zhì)使用不當，會使解題過程空洞

4、，缺乏嚴密，從而使題目陷于僵局.技巧與方法：本題(2)問有三種證法，證法一利用g(x)的單調(diào)性；證法二利用絕對值不等式：|a|b|a±b|a|+|b|；而證法三則是整體處理g(x)與f(x)的關(guān)系.(1)證明：由條件當=1x1時，|f(x)|1，取x=0得：|c|=|f(0)|1，即|c|1.(2)證法一：依題設(shè)|f(0)|1而f(0)=c，所以|c|1.當a0時，g(x)=ax+b在1，1上是增函數(shù)，于是g(1)g(x)g(1)，(1x1).|f(x)|1，(1x1)，|c|1，g(1)=a+b=f(1)c|f(1)|+|c|=2，g(1)=a+b=f(1)+c(|f(2)|+|c

5、|)2，因此得|g(x)|2 (1x1)；當a0時，g(x)=ax+b在1，1上是減函數(shù)，于是g(1)g(x)g(1)，(1x1)，|f(x)|1 (1x1)，|c|1|g(x)|=|f(1)c|f(1)|+|c|2.綜合以上結(jié)果，當1x1時，都有|g(x)|2.證法二：|f(x)|1(1x1)|f(1)|1，|f(1)|1，|f(0)|1，f(x)=ax2+bx+c，|ab+c|1，|a+b+c|1，|c|1，因此，根據(jù)絕對值不等式性質(zhì)得：|ab|=|(ab+c)c|ab+c|+|c|2，|a+b|=|(a+b+c)c|a+b+c|+|c|2，g(x)=ax+b，|g(±1)|=|

6、±a+b|=|a±b|2，函數(shù)g(x)=ax+b的圖象是一條直線，因此|g(x)|在1，1上的最大值只能在區(qū)間的端點x=1或x=1處取得，于是由|g(±1)|2得|g(x)|2，(1x1.當1x1時，有01，10，|f(x)|1，(1x1)，|f |1，|f()|1；因此當1x1時，|g(x)|f |+|f()|2.(3)解：因為a0，g(x)在1，1上是增函數(shù)，當x=1時取得最大值2，即g(1)=a+b=f(1)f(0)=2.1f(0)=f(1)212=1，c=f(0)=1.因為當1x1時，f(x)1，即f(x)f(0)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，直線x=0為f(x)

7、的圖象的對稱軸，由此得0 ，即b=0.由得a=2，所以f(x)=2x21.錦囊妙計1.應(yīng)用不等式知識可以解決函數(shù)、方程等方面的問題，在解決這些問題時，關(guān)鍵是把非不等式問題轉(zhuǎn)化為不等式問題，在化歸與轉(zhuǎn)化中，要注意等價性.2.對于應(yīng)用題要通過閱讀，理解所給定的材料，尋找量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系，抽象出事物系統(tǒng)的主要特征與關(guān)系，建立起能反映其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而建立起數(shù)學(xué)模型，然后利用不等式的知識求出題中的問題.殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題1.()定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間0，+)的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)ab0，給出下列不等式，其中正確不等式的序號是( )f(b)f(a

8、)g(a)g(b) f(b)f(a)g(a)g(b) f(a)f(b)g(b)g(a) f(a)f(b)g(b)g(a)A.B.C.D.二、填空題2.()下列四個命題中：a+b2 sin2x+4 設(shè)x，y都是正數(shù)，若=1，則x+y的最小值是12 若|x2|，|y2|，則|xy|2，其中所有真命題的序號是_.3.()某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與車庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與到車站的距離成正比，如果在距車站10公里處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站_公里處.三、解答題4.()已知二次函數(shù) f(x)=ax2+

9、bx+1(a，bR，a0)，設(shè)方程f(x)=x的兩實數(shù)根為x1，x2.(1)如果x12x24，設(shè)函數(shù)f(x)的對稱軸為x=x0，求證x01；(2)如果|x1|2，|x2x1|=2，求b的取值范圍.5.()某種商品原來定價每件p元，每月將賣出n件，假若定價上漲x成(這里x成即，0x10.每月賣出數(shù)量將減少y成，而售貨金額變成原來的 z倍.(1)設(shè)y=ax，其中a是滿足a1的常數(shù)，用a來表示當售貨金額最大時的x的值；(2)若y=x，求使售貨金額比原來有所增加的x的取值范圍.6.()設(shè)函數(shù)f(x)定義在R上，對任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且當x0時，0f(x)1.(1)

10、求證：f(0)=1，且當x0時，f(x)1；(2)求證：f(x)在R上單調(diào)遞減；(3)設(shè)集合A= (x，y)|f(x2)·f(y2)f(1)，集合B=(x，y)|f(axg+2)=1，aR，若AB=，求a的取值范圍.7.()已知函數(shù)f(x)= (b0)的值域是1，3，(1)求b、c的值；(2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x)，當x1，1時的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)若tR，求證：lgF(|t|t+|)lg.科普美文數(shù)學(xué)中的不等式關(guān)系數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，恩格斯在自然辯證法一書中指出，數(shù)學(xué)是辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式，數(shù)學(xué)中蘊含著極為豐富的辯證唯物主義因素，等與不等關(guān)系正

11、是該點的生動體現(xiàn)，它們是對立統(tǒng)一的，又是相互聯(lián)系、相互影響的；等與不等關(guān)系是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的關(guān)系.等的關(guān)系體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美和統(tǒng)一美，不等關(guān)系則如同仙苑奇葩呈現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的奇異美.不等關(guān)系起源于實數(shù)的性質(zhì)，產(chǎn)生了實數(shù)的大小關(guān)系，簡單不等式，不等式的基本性質(zhì)，如果把簡單不等式中的實數(shù)抽象為用各種數(shù)學(xué)符號集成的數(shù)學(xué)式，不等式發(fā)展為一個人丁興旺的大家族，由簡到繁，形式各異.如果賦予不等式中變量以特定的值、特定的關(guān)系，又產(chǎn)生了重要不等式、均值不等式等.不等式是永恒的嗎？顯然不是，由此又產(chǎn)生了解不等式與證明不等式兩個極為重要的問題.解不等式即尋求不等式成立時變量應(yīng)滿足的范圍或條件，不同類型的不等式又有不

12、同的解法；不等式證明則是推理性問題或探索性問題.推理性即在特定條件下，闡述論證過程，揭示內(nèi)在規(guī)律，基本方法有比較法、綜合法、分析法；探索性問題大多是與自然數(shù)n有關(guān)的證明問題，常采用觀察歸納猜想證明的思路，以數(shù)學(xué)歸納法完成證明.另外，不等式的證明方法還有換元法、放縮法、反證法、構(gòu)造法等.數(shù)學(xué)科學(xué)是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是在于各個部分之間的聯(lián)系.不等式的知識滲透在數(shù)學(xué)中的各個分支，相互之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，因此不等式又可作為一個工具來解決數(shù)學(xué)中的其他問題，諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問

13、題無一不與不等式有著密切的聯(lián)系.許多問題最終歸結(jié)為不等式的求解或證明；不等式還可以解決現(xiàn)實世界中反映出來的數(shù)學(xué)問題.不等式中常見的基本思想方法有等價轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程.總之，不等式的應(yīng)用體現(xiàn)了一定的綜合性，靈活多樣性.等與不等形影不離，存在著概念上的親緣關(guān)系，是中學(xué)數(shù)學(xué)中最廣泛、最普遍的關(guān)系.數(shù)學(xué)的基本特點是應(yīng)用的廣泛性、理論的抽象性和邏輯的嚴謹性，而不等關(guān)系是深刻而生動的體現(xiàn).不等雖沒有等的溫柔，沒有等的和諧，沒有等的恰到好處，沒有等的天衣無縫，但它如山之挺拔，峰之雋秀，海之寬闊，天之高遠，怎能不讓人心曠神怡，魂牽夢繞呢？參考答案難點磁場解：(1)令F(x)=f(x)x，因

14、為x1，x2是方程f(x)x=0的根，所以F(x)=a(xx1)(xx2).當x(0，x1)時，由于x1x2，得(xx1)(xx2)0，又a0，得F(x)=a(xx1)(xx2)0，即xf(x)x1f(x)=x1x+F(x)=x1x+a(x1x)(xx2)=(x1x)1+a(xx2)0xx1x2，x1x0，1+a(xx2)=1+axax21ax20x1f(x)0，由此得f(x)x1.(2)依題意：x0=，因為x1、x2是方程f(x)x=0的兩根，即x1，x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根.x1+x2=x0=，因為ax21，x0殲滅難點訓(xùn)練一、1.解析：由題意f(a)=g(a)0，f(b)

15、=g(b)0，且f(a)f(b)，g(a)g(b)f(b)f(a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b)而g(a)g(b)=g(a)g(b)g(a)+g(b)g(a)g(b)=2g(b)0，f(b)f(a)g(a)g(b)同理可證：f(a)f(b)g(b)g(a)答案：A二、2.解析：不滿足均值不等式的使用條件“正、定、等”.式：|xy|=|(x2)(y2)|(x2)(y2)|x2|+|y2|+=2.答案：3.解析：由已知y1=；y2=0.8x(x為倉庫與車站距離)費用之和y=y1+y2=0.8x+ 2=8當且僅當0.8x=即x=5時“=”成立答案：5公里處三、4.證明：(1)設(shè)g(x)=f

16、(x)x=ax2+(b1)x+1，且x0.x12x24，(x12)(x22)0，即x1x22(x1+x2)4，(2)解：由方程g(x)=ax2+(b1)x+1=0可知x1·x2=0，所以x1，x2同號1°若0x12，則x2x1=2，x2=x1+22，g(2)0，即4a+2b10又(x2x1)2=2a+1= (a0)代入式得，232b解得b2°若 2x10，則x2=2+x12g(2)0，即4a2b+30又2a+1=，代入式得22b1解得b.綜上，當0x12時，b，當2x10時，b.5.解：(1)由題意知某商品定價上漲x成時，上漲后的定價、每月賣出數(shù)量、每月售貨金額分

17、別是：p(1+)元、n(1)元、npz元，因而，在y=ax的條件下，z=ax2+100+.由于a1，則010.要使售貨金額最大，即使z值最大，此時x=.(2)由z= (10+x)(10x)1，解得0x5.6.(1)證明：令m0，n=0得：f(m)=f(m)·f(0).f(m)0，f(0)=1取m=m，n=m，(m0)，得f(0)=f(m)f(m)f(m)=，m0，m0，0f(m)1，f(m)1(2)證明：任取x1，x2R，則f(x1)f(x2)=f(x1)f(x2x1)+x1=f(x1)f(x2x1)·f(x1)=f(x1)1f(x2x1)，f(x1)0，1f(x2x1)0，f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).(3)由，由題意此不等式組無解，數(shù)形結(jié)合得：1，解得a23a，7.(1