概率統(tǒng)計和隨機過程§41隨機變量函數(shù)分布ppt課件

1、4.1 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布問題：知隨機變量問題：知隨機變量 X 的概率特性的概率特性 分布分布 函數(shù)函數(shù) 或密度函數(shù)分布律或密度函數(shù)分布律Y = g ( X )求 隨機因變量Y 的概率特性方法：將與方法：將與 Y 有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成 X 的事件的事件第四章第四章 隨機變量的函數(shù)的分布隨機變量的函數(shù)的分布1設(shè)隨機變量 X 的分布律為, 2 , 1,)(kpxXPkk由知函數(shù) g ( x) 可求出隨機變量 Y 的一切能夠取值，那么 Y 的概率分布為, 2 , 1,)()(ipyYPikyxgki離散型隨機變量函數(shù)的分布離散型隨機變量函數(shù)的分布2例例1 知知 X 的概

2、率分布為的概率分布為X pk-1 0 1 221418181求 Y 1= 2X 1 與 Y 2= X 2 的分布律解解Y 1pi-3 -1 1 3214181813Y 2pi1 0 1 421418181Y 2pi0 1 42183814例例2 知知 X 的概率分布為的概率分布為, 2 , 1 , 0,)2(kpqkXPk其中 p + q = 1, 0 p 0 時，)(11)(byafayfXY13當a 0 時，)(1)(byaXPyFY)(11byaFX)(11)(byafayfXY故)(1|1)(byafayfXY14例如，設(shè) X N ( ,2) , Y = a X +b, 那么)(1|1

3、)(byafayfXY2222)(|21 aabyeayY N ( a +b, a22 )特別地 ，假設(shè) X N ( , 2) , ) 1 , 0( NXY那么15例例4 X E (2), Y = 3X + 2 ,求求)(yfY解解)2(31|3|1)(yfyfXY其他, 0032,231322yey其他, 02,323)2(2yey16例例5 知知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求求 f Y (y)解法一解法一 從分布函數(shù)出發(fā)從分布函數(shù)出發(fā))()(yYPyFYy)()(2yXPyFYyyy當y 0 時，)(yXyP)()(yFyFXX17)(yFY0, 0y0),()(yyFy

4、FXX故)(yfY0,0y0,)()(21yyfyfyXX)(yfY0,0y21/21,02yeyy18解法二解法二 從密度函數(shù)出發(fā)從密度函數(shù)出發(fā)yyy1x11)(xx2x22)( xx0)(yyYyP)()(222111xxXxPxXxxP2211)()()()(xxfxxfyyfXXY即當 y 0 時yyy2xy1921)()()(21xxXxxXYdxdyxfdxdyxfyf21)()(21xxXxxXdxdyxfdxdyxf()()()()XXxyxyXXxyxyfyfydydydxdxdxdxfyfydydy 202)(2)(2221|2|121|2|1yyeyey221yey故0,

5、210, 0)(2yeyyyfyY21普通地yx1x2x3y = g(x)xnxxnXxxXxxXYdxdyxfdxdyxfdxdyxfyf)()()()(2121 xn22特別地，假設(shè)g(x)為單調(diào)函數(shù)，那么1111()( )()XYXxxxxfxdxfyfxdydydx y = g(x)xyx1其中x1= g 1(y)=h(y)23 ( )( , )( )()yg xa bxh yYg X在在區(qū)區(qū)間間上上嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)，其其反反函函數(shù)數(shù)有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)，則則是是一一個個連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量，其其概概率率為為( ( )|( )| ( , )( )0 f h yh yyc dy其

6、其它它定理定理1121212 ( ),( ),( ),( ),( )()yg xIIhyhyhyhyYg X在在區(qū)區(qū)間間不不相相互互 重重疊疊的的區(qū)區(qū)間間上上嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)，其其反反函函數(shù)數(shù)為為而而且且，均均為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，則則是是一一個個連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量，其其概概率率為為1122* ( )| ( )| ( )|( )|( ) 0 f h yh yf h yh yyyI其其它它定理定理225例例6 設(shè)設(shè)xxxfX,)1 (1)(231XY求f Y (y)x31xyyx=(1 - y)3解解3)1(3)1 ()(yxXYdxdyyfyf3)1(3)1 (yxXdydxyfyy

7、y,)1 (1)1 (36226例例7 設(shè)設(shè) X 的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為其他, 00,2)(2xxxfXXYsin求的概率密度函數(shù)解解故當 y 0 或 y 1 時yf Y (y) = 0 x)0(sinxxy100.511.522.530.20.40.60.81y由圖可知, Y 的取值范圍為(0,1)27yarcsiny - arcsiny1x)0(sinxxy00.511.522.530.20.40.60.81當0 y 1 時222)arcsin(2arcsin211)(yyyyfY212y故其他, 010,12)(2yyyfY28留意：延續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布函數(shù)留意：延續(xù)型隨

8、機變量的函數(shù)的分布函數(shù) 不一定是延續(xù)函數(shù)不一定是延續(xù)函數(shù)例如：例如：X U (0,2)其他,020,21)(xxfX1100, 1, 0)(xxxxxg令 Y = g ( X )xy11, 110,2, 0, 0)(yyyyyFYFY (y)不是延續(xù)函數(shù)294.2 二維隨機變量函數(shù)的分布二維隨機變量函數(shù)的分布問題：知二維隨機變量( X ,Y )的概率特性 g(x,y)為知的二元函數(shù)，Z = g( X ,Y )求：Z 的概率特性方法：轉(zhuǎn)化為( X ,Y )的事件 30當( X ,Y )為離散型隨機變量時，Z 也為離散型，),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(

9、),()(, 2 , 1k離散型二維隨機變量的函數(shù)離散型二維隨機變量的函數(shù)31例例1 設(shè)二維離散型隨機變量設(shè)二維離散型隨機變量( X,Y )的概率分布為的概率分布為X Y pij -1 1 2-1 04161418112181求XYXYYXYX,的概率分布32解解 根據(jù)根據(jù)( X,Y )的結(jié)合概率分布可得如下表格：的結(jié)合概率分布可得如下表格：P 4141618181121 X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0)(2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0

10、-1 0 -1/2 033故得PX + Y-2 -1 0 1 241414161121PX - Y-1 0 1 2 3414141818134PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY /X-1 -1/2 0 1418124116135q 設(shè) X B(n1,p), Y B(n2,p), 且 X ,Y 相互獨立，q 那么 X + Y B(n1+n2, p)關(guān)于離散型隨機變量的兩個重要結(jié)論：q 設(shè) X P (1), Y P (2), 且 X ,Y 相互獨立，q 那么 X + Y P(1+ 2) 36X B(n1, p), Y B(n2, p), 那么Z = X + Y 的能夠取值為 0,

11、1,2, , n1+ n2, ),()(0kiikYiXPkZP設(shè)n1 n2 , 當k n1時，, )()(0kiikYPiXPkiiknikikniniinppCppC02211)1 ()1 (knnkknnppC2121)1 (關(guān)于二項分布的和的分布的闡明：37knnkiikninCCC21210其中當 n1 k n2 時10),()(niikYiXPkZP112120(1)(1)nnink iiik ik inniC ppCpp knnkknnppC2121)1 (112210(1)nnnkjkjknnjkijC Cpp （令令）38當 n2 k n1+ n2 時12),()(nnkiikYiXPkZP112122(1)(1)nnink iiik ik inni k nC ppCpp 122212122()0()(1)nnkjk nnjnnkknnjjiknCCpp 令令39故 X + Y B ( n1