建立空間直角坐標(biāo)系,解立體幾何題

1、建立空間直角坐標(biāo)系，解立體幾何高考題立體幾何重點(diǎn)、熱點(diǎn)：求線段的長(zhǎng)度、求點(diǎn)到平面的距離、求直線與平面所成的夾角、求兩異面直線的夾角、求二面角、證明平行關(guān)系和垂直關(guān)系等.常用公式：1、求線段的長(zhǎng)度：ABk4x2y2z2,x2x1 2y2y1 2z2z1 22、求P點(diǎn)到平面 的距離：PN 1PM n| , （N為垂足，M為斜足，n為平面 的法|n|向量）|PM n|3、求直線l與平面 所成的角：|sin | , （ PM l , M 為 的法向|PM| |n|量）| AB CD|4、求兩異面直線AB與CD的夾角：cos|AB| |CD|1nl n215、求二面角的平面角：|cos | 二, （ n

2、1 ,也為二面角的兩個(gè)面的法向量）|n1| |n216、求二面角的平面角：cos 號(hào)，（射影面積法）7、求法向量：找；求：設(shè) a,b為平面 內(nèi)的任意兩個(gè)向量，n （x,y,1）為 的法向量，a n 0則由方程組-，可求得法向量n.b n 0高中新教材9（B）引入了空間向量坐標(biāo)運(yùn)算這一內(nèi)容，使得空間立體幾何的平行、垂直、角、距離等問題避免了傳統(tǒng)方法中進(jìn)行大量繁瑣的定性分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行定量分析，使問題得到了大大的簡(jiǎn)化。而用向量坐標(biāo)運(yùn)算的關(guān)鍵是建立一個(gè)適當(dāng)?shù)目臻g直 角坐標(biāo)系。一、直接建系。當(dāng)圖形中有互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線時(shí)，可以利用這三條直線直接建系。例1. （2002年全國(guó)

3、高考題）如圖，正方形 ABCD ABEF的邊長(zhǎng)都是1,而且平面ABCD、ABEFM相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a。a 五）。（1）求MN勺長(zhǎng)；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，MN勺長(zhǎng)最?。?3)當(dāng)MNR小時(shí)，求面MNAW面MN所成二面角a的大小。解：(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA、BE、BC為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角2,22Ta),N(7a'2 a, 0)2mN =(o , a ,2而|',亭1)2管)22 2(a 2)21(0 a 42)2(2)由(1) | MN |-J(a 壬 1所以，當(dāng)a二二時(shí), 2MN-6.，min 2即M、N分別移動(dòng)到A

4、C、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN勺長(zhǎng)最小，最小值為v,2O2(3)取MN勺中點(diǎn) 所以AP,MNMN勺長(zhǎng)最小時(shí)P,連結(jié) AP、BP,因?yàn)?AM=AN BM=BN BP!MN / APB即為二面角a的平面角。M(L 0, ),N ( , , 0)2222111 一由中點(diǎn)坐標(biāo)公式P(1, 1, 1),又A 1, 0, 0), B 0, 2440, 0)PA=(1, -1, -1), PB=(- 1,2442一: 11PA PBcos / APB=PAPB416314，1163面MNAf面MNBff成二面角a的大小為冗1-arccos 一3例2.(1991年全國(guó)高考題)如圖，已知ABC此邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F

5、分別是AB、AD 的中點(diǎn)，GCL面ABCD且GC=2求點(diǎn)B到平面EFG的距離。解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 由題意 C (0, 0, 0), G (0, 0, 2),C-xyz,E (2, 4, 0), F (4, 2, 0),B (0, 4, 0)GE = (2, 4,-2), GF = (4, 2,-2) , BE = (2, 0, 0)設(shè)平面EFG的法向量為n= (x, y, z),則n，GE ,2x 4y 2z 0得 4x 2y 2z 0 ,n ±GF ,GxF坐標(biāo)系 B-xyz ,由 CM=BN=,aM(a , 0, 1 2令 z=1,得 x=1 , y=1 , 33

6、11即 n = (，_ , 1),33gc在n方向上的射影的長(zhǎng)度為BEBE nBE nBE nn= 2 1111AB?C1M = -1例3. （2000年二省一市高考題）在直三棱柱 ABC- A1B1C1中CA=CB=,1 /BCA=90,棱 A A1=2, M、N分別是 AB、A A 的中點(diǎn)。(1)求 BN 的長(zhǎng)；(2) 求 cos BA,CB1 ; (3)求證：AiB±GM解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 C-xyz,則C(0, 0,0), B(0, 1,0), N/、/、/、/,、11(1, 0,1), A1 (1,0, 2),B1 (0,1, 2), G(0,0, 2), M

7、(- ,2)22X 1+1X 1 +(-2) X0=022A 1B± GM、利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系建系有些圖形雖然沒有互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線，但是圖形中有一定的對(duì)稱關(guān)系（如：正三棱錐、正四棱錐、正六棱錐等），我們可以利用圖形的對(duì)稱性建立空間直角坐標(biāo) 系來解題。(1)求 cos BE,DE ;B的平面角，求/ BED。解：（1）由題意D (-a , -a ,。)，BE= (- 3a ,2h2B (a, a, aE (甘(2)記面 BCV%a ,面 DVCM ,若/ BE/二面角 a -VC-例4. （2001年二省一市高考題）如圖，以底面邊長(zhǎng)為2a的正四棱錐V-ABC面中心O 為

8、坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz,其中Ox/ BC, Oy/ AB, E為VC的中點(diǎn)，高OV為h 。DE =(3acosBE, DE3a2h)2=BE DEbe，de'3a2h24T T2. 22. 25a h 5ah 24 24C 2,2_ 6a h=2210 a h(2) v V (0, 0, h), C (-a , a, 0) - VC = (a , a, - h )又/BE皿二面角a -VC-B的平面角BE ±VC , DE ±VC2 22即 Be - Vc =3a- 22h22=a2h2 _二0, 2a2=h_22代入 cos BE, DE6a h

9、_ 12210 a h 3即 / BED二:-arccos二、利用面面垂直的性質(zhì)建系。但是有兩個(gè)互相垂直的平面，我們可 點(diǎn)的三條直線，建立空間直角坐標(biāo)系。有些圖形沒有互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線, 以利用面面垂直的性質(zhì)定理，作出互相垂直且相交于例5. (2000年全國(guó)高考題)如圖，正三棱柱ABC-ABG的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為V2 a(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出 A、B、A、C的坐標(biāo)；(2)求AC1與側(cè)面AB BA所成的角。解：(1)如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為y軸，以AA所在直線為z軸, 以經(jīng)過原點(diǎn)且與ABBA1垂直的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。由已知得：A (

10、0, 0, 0), B (0, a, 0), A (0, 0,顯 a), C (- a , - , 72 a)22(2)取A1B1的中點(diǎn) M 于是有M (0, - , V2a),連AM、MC有2- 3MC1 = (- -a , 0, 0),且 AB 二(0, a, 0), AA1 = (0, 0, 42 a)由于 MC1 - AB =0, MC1 - AA =0,故 MC平面 AB B1A1。 A C1與AM所成的角就是AC與側(cè)面AB BA所成的角ACi =-旦,2a , 22 a), AM = (0, 22c 2AC11 - AM' =0+a-+2a2 =曳 44AC；|=榨 a2

11、2a3a，AM023a2a = cos AC1, AM9a24= 33a 3 a 22AC1與AM所成的角，即AC與側(cè)面AB BA所成的角為30°。例6. (2002年上海高考題)如圖，三棱柱OAB-OAB,平面OBBOL平面OAB/OOB=60,/AOB=9b 且 OB= O®2, OA=/3。求：(1)二面角O-AB-。的大小；(2)異面直線AiB與A Oi所成角的大小。(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)解：(1)如圖，取OB的中點(diǎn)D,連接OD,則QD±OBv平面OBEOL平面OABOiD)±面 OAB過D作AB的垂線，垂足為E,連結(jié) /DEO為二面角O-AB-O的平面角。由題設(shè)得ODr'3OA . 21sin / OBA=-=OA2 OB2721DE=DBsinZ OBA17v 在 Rt A ODE 中，tan/DE 0=/7/DE O=arctan 77 ,即二面角 O - AB-。的大小為 arctan 4i。(2)以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB所在直線為x、y軸，過點(diǎn)。且與平面AOE®直的直 線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。則 O (0, 0, 0), O (0, 1, <3),A(芯,0, 0), A1 (