2019年電磁場與電磁波試題

1、1如圖所示，有一線密度的無限大電流薄片置于平面上，周 圍媒質(zhì)為空氣。試求場中各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：根據(jù)安培環(huán)路定律,由川'在面電流兩側(cè)作一對稱的環(huán)路。則上二乳寸2rr(-即2.已知同軸電纜的內(nèi)外半徑分別為二和丄，其間媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為且電纜 長度二兀忽略端部效應(yīng)，求電纜單位長度的外自感。解：設(shè)電纜帶有電流則3.在附圖所示媒質(zhì)中，有一載流為的長直導(dǎo)線，導(dǎo)線到媒質(zhì)分界面的距離為; 試求載流導(dǎo)線單位長度受到的作用力解：鏡像電流如+9島5鏡像電流在導(dǎo)線處產(chǎn)生的出值為2眶2h單位長度導(dǎo)線受到的作用力=D一 m x.h+a A+lA-T?嚴(yán)二肝=-1衛(wèi)笛一力的方向使導(dǎo)線遠(yuǎn)離媒質(zhì)的交界面D .minX

2、b b+h+4. 圖示空氣中有兩根半徑均為a,其軸線間距離為d丄4的平行長直 圓柱導(dǎo)體，設(shè)它們單位長度上所帶的電荷量分別為+?和.，若忽略端部的 邊緣效應(yīng)，試求(1)圓柱導(dǎo)體外任意點(diǎn)p的電場強(qiáng)度甘的電位*的表達(dá)式；w h ?-h ?以y軸為電位參考點(diǎn)，則5. 圖示球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑叭 L，夕卜導(dǎo)體內(nèi)徑：、：工，其間充有 兩種電介質(zhì)I與T,它們的分界面的半徑為二-二I。已知I與T的相對6. 電常數(shù)分別為_.1 - -_ o求此球形電容器的電容。解£2 = 一 茸(3于6) '4爲(wèi)甲/二管古+膽df5 102 1 16? 1OZ 1 1f;)(；)4磚 3 14飯馬63+ 4

3、仇9xlQu22 -xlCTnF9I=JS= UY1S 25x 1 O'14 A蚊+如時(shí)，求(1)電介質(zhì)中的電流；兩電介質(zhì)分界面上積累的電荷；電容器消耗的功率。解：(1):.? = = 25xl0-u W R分布（B線）07.有兩平行放置的線圈,解：上；線上、下對稱。6. 一平板電容器有兩層介質(zhì)，極板面積為', 一層電介質(zhì)厚度'- - 1 , 電導(dǎo)率=-二J ?。?，相對介電常數(shù)'，另一層電介質(zhì)厚度匸】'一電導(dǎo)率'一二'0相對介電常數(shù)丄：，當(dāng)電容器加有電壓.I.0 = 8.85x10 C/rz丁¥_4+a升丁F必S解：（1）當(dāng)電介

4、質(zhì)插入到平行板電容器內(nèi)a/2處，則其電容可看成兩個(gè)電容器的并聯(lián)1.已知真空中二均勻平面波的電場強(qiáng)度分別為:求合成波電場強(qiáng)度的瞬時(shí)表示式及極化方式。EX3d$(3-解:2一血靜電能量 “ 2C 2fer-l)T+d叫d '(%-1) 'Ex - Ocos(0ct+ 燉)一耶q sirffT+燉)血g2吒(s -l)x+aYL*JC = + G 二 專(歹+ 3-討合成波為右旋圓極化波。ai= 一2時(shí),8.圖示一平行板空氣電容器，其兩極板均為邊長為a的正方形，板間距離為d.兩板分別帶有電荷量I J與 卜，現(xiàn)將厚度為d、相對介電常數(shù)為i,邊3長為a的正方形電介質(zhì)插入平行板電容器內(nèi)至二

5、處，試問該電介質(zhì)要受多大的電場力？方向如何?其方向?yàn)閍/2增加的方向，且垂直于介質(zhì)端面。9.長直導(dǎo)線中載有電流，其近旁有一矩形線框,°尺寸與相互位置如圖所示。設(shè)時(shí)，線框與直導(dǎo)=7e線共面一時(shí)，線框以均勻角速度繞平行于直導(dǎo)線的對稱軸旋轉(zhuǎn)，求線框中的感應(yīng)電動勢。解：長直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度傀 Isb<h*（驢+/-（詔遇血）2參考方向一 0時(shí)為順時(shí)針方向。10.無源的真空中，已知時(shí)變電磁場磁場強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量為:時(shí)刻穿過線框的磁通二也迅魚即a人2r rHezQ. 2os&5jzy）siii6xl09 A/d試求 b的值；（2）電場強(qiáng)度瞬時(shí)矢量犬門，和復(fù)矢量（即相量）* r解

6、：（1）+ aJcosVt感應(yīng)電動勢SxlO8）2radsd e- df故得9 rd.cos(6x 10? t一 5肩斥“+竹3弁肚皿（15切sir6兄xl£-5育亦）V /in 應(yīng)二會9寤匚迫5勾九訕后-供3畀屈8£5砒）亡亦口e11.證明任一沿七傳播的線極化波可分解為兩個(gè)振幅相等，旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波的疊加。證明：設(shè)線極化波£rll 片3*2 耳 2Srl二覽0）+場0）其中:壬：和L分別是振幅為二的右旋和左旋圓極化波12. 圖示由兩個(gè)半徑分別為I和I的同心導(dǎo)體球殼組成的球形電容器，在球 殼間以半徑：匕為分界面的內(nèi)、外填有兩種不同的介質(zhì)，其介電常數(shù)分別為-：

7、-、/ 和二，試證明此球形電容器的電容 為證明：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體殼外表面所帶的電荷量為Q則R2 <r<R 面積中心，_!P ,- 4,:.1= 281.25-45+81兩導(dǎo)體球殼間的電壓為：J 二 a/28L25?+452+8P = 296.121 A /ip(3)>的平均值2空 2/64)13.已知丁= Q0#碼-2/內(nèi)+2*陀)A/in2 求穿過面積: - < -在5方向的總電流(2) 在上述面積中心處電流密度的模；(3) 在上述面上，的平均值。解：/= j J ds= J/ d_pdz<* = f左=J；5" C.21 - 18a)dy= X12-6(3!

8、- 2s)= 399 AI _ 399£.2 3.8)(32)一IT商羽5 A/d314. 兩個(gè)互相平行的矩形線圈處在同一平面內(nèi)，尺寸如圖所示，其中' ' L.，1。略去端部效應(yīng)，試求兩線圈間的互感。解：設(shè)線框_帶有電流一，線框的回路方向?yàn)轫槙r(shí)針。線框1產(chǎn)生的B為監(jiān)二曲k(s+q+鳥)SI 2jz 6'+q)G+站)15. 已知- J-1：；：；，今將邊長為二的方形線框放置在坐標(biāo)原點(diǎn)處，如圖，當(dāng)此線框的法線分別沿；、j和C方向時(shí)，求框中的感應(yīng)電動勢。線框的法線沿E時(shí)隘=°16. 無源真空中，已知時(shí)變電磁場的磁場強(qiáng)度H ' J 為；H t)-礙

9、& sir(4 jr)cos(/ut-K)+ e3A2 cos(4 x)sir(a?r-JSj A/m其中：、1為常數(shù)，求位移電流密度兒。解：因?yàn)?/ -'解：(1)線框的法線沿時(shí)由得二二XA= VxHgJ? d7= -aEm ccis田-"（-；）+ 孔 cosfojt-24 sir(4jr)cos(a?f-K)A2 cos(4excyA*A*：y , y=f '、a A '、f =右邊：(A.)gz. A：(f)e；zx=-J?cos(4 x) cos(o>t-j9y) + e,4 A2 日ir(4x)sireA妙)一丐/sir(4x)sir

10、iiuf-血)A/m 217.利用直角坐標(biāo)系證明l (fG)二n G ( f ) G2.證明左邊=(fA) = ' (fAx£ fAygy fAzSz)_ ：(fAx)ex . ：(fAy)ey . "fAzz:x釣:zI_ f (Ax)gx . A：(f)gx . f f(Ay)ey . A "說exex&ycy(Az)ez A fzczz cz18. 求無限長直線電流的矢量位A和磁感應(yīng)強(qiáng)度B 解：直線電流元產(chǎn)生的矢量位為0Idz'dA-gzT 22 124兀r +(z-z') 積分得(2)電容器的電容及儲存的靜電能量。a1右2(

11、短122解：1) Dr = D2 = QgxS,-I蟲寧-I n (z'-z)、.(z'4 二2IJ2I -2-QS - 0,E2D2S；4 :ln(2_Z)+(g_Z)2 +1''2 -(2 z) (2 z)2r212S；oEdd-a)da當(dāng)I：，A: 附加一個(gè)常數(shù)矢量C二e/丄I4兀I則 Alnl g 乂 In&衛(wèi)沁4兀r4兀 I4兀rQ Q S ；2 :U2E2aa；Qa ； (d - a)iEiaiE2QI-ME；Q則由百八A =圣也1 衛(wèi)(d _a) Q22 C 2S%de4兀 r19. 圖示極板面積為S間距為d的平行板空氣電容器內(nèi)，平行地放入

12、一塊面積 為S、厚度為a、介電常數(shù)為；的介質(zhì)板。設(shè)左右兩極板上的電荷量分別為Q與-Q。若忽略端部的邊緣效應(yīng)，試求(1) 此電容器內(nèi)電位移與電場強(qiáng)度的分布;20. 在自由空間傳播的均勻平面波的電場強(qiáng)度復(fù)矢量為-_j(20 zE = ax lOeW ay 10e 2 (v/m)求(1)平面波的傳播方向；(2) 頻率；(3) 波的極化方式；(4) 磁場強(qiáng)度；(5) 電磁波的平均坡印廷矢量Sav。解：(1)平面波的傳播方向?yàn)?z方向(2) 頻率為 f 二k03 109Hz2兀(3) 波的極化方式因?yàn)镋xm二Eym =10° X=0 -2 2故為左旋圓極化.(4) 磁場強(qiáng)度H =、：, Fz

13、E =丄血 ax1o* j£z $10冷/2宀 ：% 0二丄慝10-4-jax104)e-j20：z0(5) 平均功率坡印廷矢量Sav J ReE H* J Re(ax10* jay10冷e 2 2丄&10鼻-jdx10冷ej20：z0亠止2 .曲£a2 ii z0 0AA-2 1oaz2 120 二= 0.265 10,0az(W/m2)21.利用直角坐標(biāo)，證明' ( fA)二f-A A f 證明：左邊八(fA) J ( fAx&fAyfAz)_ "fAxx .：(舛曲'(fAzzx:y: zf ：（Ax）ex. A：（f）e&l

14、t; （Ay）ey A r（f）e exx exdycy：（Az）eZ Afzczz dzI汽AMAr（f）e:z:x廠get . f ：（Ay）ey . dxdy所以2 2i - A_d S= （ex2yz ez2xLezd xd y = 8S0 0故有1 A d = 8 = Nx Ad ScS23.同軸線內(nèi)外半徑分別為a和b，填充的介質(zhì)-0，具有漏電現(xiàn)象，同軸線外=右邊22.求矢量A二&x eyx2 Szy2z沿xy平面上的一個(gè)邊長為2的正方形回路 的線積分，此正方形的兩邊分別與x軸和y軸相重合。再求i A對此回路所包 圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。解:2222lAJdI = J

15、xdx_ Jxdx + J22dy _ J0d y =8C0000ey:y2xcz2y z= ex2yz ez2x加電壓U，求(1) 漏電介質(zhì)內(nèi)的,；(2) 漏電介質(zhì)內(nèi)的E、J ；(3)單位長度上的漏電電導(dǎo)解：(1)電位所滿足的拉普拉斯方程為1 d d ：（ r dr dr）=0由邊界條件r二U ;r丈，'=0所得解為：()=斗1 n注rad U e dr rlnb " a則漏電媒質(zhì)的電流密度為J = E(r)二一rlnbaU2 U er InIna a電場強(qiáng)度變量為E(r) = -g(3)單位長度的漏電流為I0 =2 rI“丫單位長度的漏電導(dǎo)為U- bIna24.如圖 所示

16、，長直導(dǎo)線中載有電流i =|mcost, 一 矩形導(dǎo)線框位于其穿過線框的磁通量c “a* = J B.dScbdr-0bI m cos t c aln2 二cd*z =dt%blm sin . c a ln線框中的感應(yīng)電動勢c近旁，其兩邊與直線平行并且共面，求導(dǎo)線框中的感應(yīng)電動勢解：載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度的大小為參考方向?yàn)轫槙r(shí)針方向。25.空氣中傳播的均勻平面波電場為E=£E0eT“，已知電磁波沿z軸傳播, 頻率為f。求!(1)磁場H ； (2)波長;能流密度S和平均能流密度Sav ；能量密度W26.平行板電容器的長、寬分別為a和b，極板間距離為d。電容器的一半厚度解：(1) H =

17、丄& eXE0ej（0L d/2）用介電常數(shù)為；的電介質(zhì)填充，（1）板上外加電壓u0，求板上的自由電荷面密度、束縛電荷；（2）若已知板上的自由電荷總量為q，求此時(shí)極板間電壓和束縛電荷;（3）求電容器的電容量。解: （1）設(shè)介質(zhì)中的電場為E=e zE,空氣中的電場為E o二ezEo。由q = D0，有又由于E 牛 Eo”U由以上兩式解得2；oU。C o)d匚2；U°0（ ；o）d故下極板的自由電荷面密度為二下2 0 U 0（；o）d得到上極板的自由電荷面密度為Q 2；0；UU _ （ ； p）dQ2 ；0 ； ab_ 2 ；。（；o）d"二 c0）Qab電介質(zhì)中的極化

18、強(qiáng)度電容器的電容為=2 ；o（； - ；o）Uoez（；p）dC =_Q = 2；o abU C o）d故下表面上的束縛電荷面密度為二 p下-eLP2；。（ ； - ；0）U。（；o）d上表面上的束縛電荷面密度為2 ；。（ ； - o）Uo（；o）d由26.頻率為100MHz的正弦均勻平面波在各向同性的均勻理想介質(zhì)中沿（'Z ）方向傳播，介質(zhì)的特性參數(shù)為；r = 4、丄= 1，= 0。設(shè)電場沿X方向，即E= exEx ；當(dāng)t=0，z = 】m時(shí)，電場等于其振幅值810V/m 。試求(2) 波的傳播速度；(3) 平均波印廷矢量解：以余弦形式寫出電場強(qiáng)度表示式E(z,t) =&Ex

19、(z,t) 二&Em cos®t -kz +WxE)把數(shù)據(jù)代入Em =10V/mk=2 - f .4% ；04:rad / m33 108= 1.5 108m/s(3)平均坡印廷矢量為Sav =卿H*2,10!z60:二空丄rad3 864 二 二z )V / mE(z,t)二&10°cos(2二 108t36，1.a 4兀兀sy10，cos(2 二 108tz )y ；36 1484:=ey 10 cos(2二 101 z )A/my60 二3660 二-8W/m2120:27.在由r=5、z=0和z=4圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量A=err_ ez2z驗(yàn)證散

20、度定理。解：在圓柱坐標(biāo)系中I 112A (rr ) 一(2z) = 3廠 2 r crcz所以42兀 5'Lad = dz d (3r 2)rdr = 1200二T000了 AdS = f (er+ ez2z)er dSr + e©d S©+ezd Sz)W S42 二52 二二52 5d dz 2 4rdrd =1200二0 00 0故有吐 di =1200兀=HAJd STs28.求（1）矢量A =exX eyx y ez24x y z的散度；（2）求；LA對中心 在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分；（3）求A對此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定 理。解：（1）* 二込.

21、"24x2y2z3） =2x 2x2y 72x2y2z2 excycz（2） ' UA對中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積 分為故有 |_A d 二(2x 2x2y 72x2y2z2)d xd y dz 二一E_122_1224（3） A對此立方體表面的積分7 AJd s =12 12 1 12 12 11 J(5)2dydz- J J e-)2dydzJ2 J2 2_J 2 J2212 12+ f f 2x 2212 122 1 2 2 1 2()d xdz i i 2x () d xdz24 2 _1 2212 1222 , 1、3亠！ I 24x y (7) 二221241

22、'La d.I24= 1A d S12 1222I 3d xdy I I 24x y () d xdy斗2斗2229.計(jì)算矢量r對一個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為a的球表面的積分，并求；Lr對球體積的積分。_2兀 兀r_erdS 二 d? aa2sin vd v - 4. a3S00又在球坐標(biāo)系中' Lr12(r2r)=3r er所以所以ex;xxe y汙2xezcz2y z=ex2yz ez2x2 2i i (ex2yz ez2xezd xd y = 80 0故有2 兀Jia' |_rd=3r2sin vdrdvd =4二a3j00 030.求矢量A =0<x PyX e

23、z沿xy平面上的一個(gè)邊長為2的正方形回路 的線積分，此正方形的兩邊分別與x軸和y軸相重合。再求' A對此回路所包 圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。解：2222J Ad I = Jxdx_Jxdx + J22dy_J0d y=8C0000又31.證明（1）'丄只二3 ； （ 2）' R= 0 ； （ 3）V （ Ar）= A。其中 R = exX 汀ezz，a為一常矢量。解：（1）兀R_ &+色+空=3excycz(2)Vx r =exeyrezw=0xyy設(shè)E = Er E2ex ey - ez232、2 二；0AR = AxXAyyAzZ(AR)二縱厶 Rx

24、Ayy AzZ) e&g Ayy AzZ) excy33.兩平行無限長直線電流11和12，相距為d，求每根導(dǎo)線單位長度受到的安培 力F m。解：無限長直線電流11產(chǎn)生的磁場為ez(AxX AyyAzZ):z二 exAx ey Ay e zAz 二 A32.兩點(diǎn)電荷q =8C位于z軸上z=4處，q2 = 4C位于y軸上y = 4處, 求(4,0,0)處的電場強(qiáng)度。解：電荷qi在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為直線電流12每單位長度受到的安培力為1Fmi2 二丨2ez Bidz= -ei20%lilE1r 一2 ex4 -ez44殆°r-J 一陽 0 (4 72)3電荷q2在(4,0

25、,0)處產(chǎn)生的電場為q2r - r；1ex4 ey4E 2 -4陰-廠% (4血)3式中e12是由電流11指向電流12的單位矢量。同理可得，直線電流11每單位長度受到的安培力為F m21"0丨1丨22二 d故(4,0,0)處的電場為34. 一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為Q，當(dāng)球體以均勻角速度繞一個(gè)直徑旋 轉(zhuǎn)，求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解： 球面上的電荷面密度為Q24 二 a2當(dāng)球體以均勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，球面上位置矢量r二era點(diǎn)處的電流 面密度為J s =、" v = w r 、" ez"* " ea-.Q -=easin v - e s

26、in -4兀a將球面劃分為無數(shù)個(gè)寬度為dl二ad=的細(xì)圓環(huán)，貝y球面上任一個(gè)寬度為 dl二ad細(xì)圓環(huán)的電流為d I 二 Jsdl Qsin dv4兀細(xì)圓環(huán)的半徑為b=asin日，圓環(huán)平面到球心的距離d=acos日，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場公式，則該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為d 口_巴b2dl _卩聲Qa2sin'dTdz2(b2 d2)32 壬8 二(a2s in2, a2cos)32% Qsin3 d故整個(gè)球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為B = ez0 'Qsin3G "X08 二 a6 二 a35.半徑為a的球體中充滿密度'(r)的體電荷，已知電位移分布

27、為 3 A 2r ArDr = a5 Aa4(r 乞 a)(r - a)其中A為常數(shù)，試求電荷密度'(r) 解由 HD八：，有，(r)|_D 二4-(r2Dr)r d r故在r ： a區(qū)域在r a區(qū)域1 d'(r)二；0 2r2(r3 Ar2) = ；0(5r2 4Ar)r d r54AOJ = O r36. 一個(gè)半徑為a薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量 為Q為的體電荷，球殼上又另充有電荷量Q。已知球內(nèi)部的電場為E =er（ra）4，設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計(jì)算：（1）球內(nèi)的電荷分布；（2）球殼外 表面的電荷面密度。解：（1）由高斯定理的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體

28、密度為3r4) =6 ；0 飛aa解：(1)小 |_P 二-3P0匚 P(X = 2 ) = nLP x± 2 = ex_lP x=L 2 = ? F0匚 P(X = - 2)= nLP X=_L 2 = _e P x=_L 2 二? P0同理吋y歩“。（y知"歩“心£EPo（2）球體內(nèi)的總電量Q為a3r 22Q =: d = 6 -q 4 牛r d r = 4 - aT0a(2)qP= JPPdi+|7<TPdS=3P0L3 + 6L2漢丄 P0 = OTs2球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上感應(yīng)電荷-Q，而且在球殼外表面上還要感應(yīng)電荷Q，所以球殼外表面上的總電荷

29、為2Q，故球殼外表面上的電荷面密度為38. 一半徑為Rq的介質(zhì)球，介電常數(shù)為；r；0，其內(nèi)均勻分布自由電荷'，證明中心點(diǎn)的電位為可得到DJdS= qs2Q- 24二 a37. 中心位于原點(diǎn)，邊長為L的電介質(zhì)立方體的極化強(qiáng)度矢量為P 二 Po（exx eyy qz）。（1）計(jì)算面束縛電荷密度和體束縛電荷密度；（2）證明總的束縛電荷為零。4二r2U =4 - ?3(r :R)(rR)、lp 4-(r2-4r dr r r在r =R的球面上，束縛電荷面密度為Di3；r p打3 丫 ；o(r :R0（2）由于D二；。E P，所以'、Ld= ；0'、Le_P 二 3 _D P，E

30、2旦吾名03%r(r - Ro)故中心點(diǎn)的電位為Ro:(0) = . Er00.EzdrR):上dr0 3 0rR）3由此可得到介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度為6 ；03 p總的自由電荷量；K2（一 ；0）rRg葉 名K r 12 ,4兀名RKq =：- d2 4 r dr ：T（3）介質(zhì)球內(nèi)、外的電場強(qiáng)度分別為39. 一個(gè)半徑為R的介質(zhì)球，介電常數(shù)為；，球內(nèi)的極化強(qiáng)度P =er K r ,其 中K為一常數(shù)。（1）計(jì)算束縛電荷體密度和面密度；（2）計(jì)算自由電荷密度;（3）計(jì)算球內(nèi)、外的電場和電位分布。解：（1）介質(zhì)球內(nèi)的束縛電荷體密度為pkE弋廠孑（r: R）qRK2 ' 4二;°

31、r2 er ；。（ ； - ；o）r2（r R）介質(zhì)球內(nèi)、外的電位分別為R:1 = Ebdl 二 EprE2drrrRdrR %（牡一 £Q）rK:一 ；QlnRoOoOfRK 二Ezdr2 dr）r2rr QQ 1dr（心R）；RK；q（； - ；o）r（r -R）4Q.如圖所示為一長方形截面的導(dǎo)體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為UQ，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解：根據(jù)題意, (Q, y)= (a,y) =Q (x,Q)=0 (x,b)二Uq根據(jù)條件和，電位(x, y)的通解應(yīng)取為由條件，有"x, y）AnSinh（衛(wèi) y）sin（衛(wèi)

32、 X）nTaaoOU Q 八 AnSinh（nm山）sin（兩邊同乘以sin(n二x.a，并從Q到a對x積分，得到2Uqasinh（ n二 b a）asin（Q）dx故得到槽內(nèi)的電位分布2Uo(1cos nn)n二 sinh( n二b a)4Uo« n兀sinh( n兀bfa)(x,y)=4U0 '二 n 土3,5,屮,n =1,3,5,|l|n =2,4,6,丨1|即'dx, y)二U0yb ； 2(x, y)是兩個(gè)電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時(shí)的 電位，其邊界條件為 (x,0) = (x,b) = 0 2(x,y) =0 (x 宀)Uod:2(0,y)(0,

33、y)- 1(0, y)二u。U°半y(0乞y乞d)(d 乞 y< b)根據(jù)條件和，可設(shè)2(x, y)的通解為41. 兩平行無限大導(dǎo)體平面，距離為b，其間有一極薄的導(dǎo)體片由y = d到 y二b(：:z 。上板和薄片保持電位U。，下板保持零電位，求板間電位 的解。設(shè)在薄片平面上，從y = 0到y(tǒng) = d，電位線性變化，(0, y) =U0y：d。yU01bo Jx4.2由條件有U 啓申V' An sin( y)= nTb0 U 0 -y _ y d b.u°U0 -二 yb(0乞y乞d)(d 乞 y< b)兩邊同乘以sin(n- y.b)，并從0到b對y積分

34、，得到-2)ysin(nbdy 學(xué)bbb解：應(yīng)用疊加原理，設(shè)板間的電位為(x, y)二 1(x,y)2(x, y)其中，1( x, y)為不存在薄片的平行無限大導(dǎo)體平面間(電壓為U° )的電位,-00 q，位于 z 二 - h故得到S)Py 獰fn(呼)sin(?)ePbd 二 n 呂 nbb-0q- q，位于 z 二 h上半空間內(nèi)的電位由點(diǎn)電荷q和鏡像電荷q共同產(chǎn)生，即4朧 0R 4s 0R"_ q 1_ ； - 014二；0 i ：r2 (zh)2； 9r2 (z h)242. 如題（a ）圖所示，在z ：0的下半空間是介電常數(shù)為；的介質(zhì)，上半空間為 空氣，距離介質(zhì)平面

35、距為h處有一點(diǎn)電荷q。求（1） z 0和z 0的兩個(gè)半空 間內(nèi)的電位；（2）介質(zhì)表面上的極化電荷密度，并證明表面上極化電荷總電量等 于鏡像電荷qIz q題 4.24 圖（a）解：（1）在點(diǎn)電荷q的電場作用下，介質(zhì)分界面上出現(xiàn)極化電荷，利用鏡像電 荷替代介質(zhì)分界面上的極化電荷。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷分布為（如題圖（b）、（c、所示）下半空間內(nèi)的電位由點(diǎn)電荷q和鏡像電荷q共同產(chǎn)生，即q 12(； r2 (z-h)2（2）由于分界面上無自由電荷分布，故極化電荷面密度為坊 p = n （ R P2） zt = % （Eiz 巳z） m極化電荷總電量為亠）Zz=0(E-%)hq2U)(r2 h2)32

36、GO8 - ； PdS - ； p2：rdr 二S0(r)hq r_7f 2丄廠2、3 2十0 o(r +h )drC - ；o)q43. 一個(gè)半徑為R的導(dǎo)體球帶有電荷量為Q ,在球體外距離球心為D處有一個(gè)點(diǎn) 電荷q。 求點(diǎn)電荷q與導(dǎo)體球之間的靜電力； 證明當(dāng)q與Q同號，且Q RD3 R2 rr q (D2 -R2)2 D成立時(shí)，F(xiàn)表現(xiàn)為吸引力解：（1）導(dǎo)體球上除帶有電荷量Q之外，點(diǎn)電荷q還要在導(dǎo)體球上感應(yīng)出等量 異號的兩種不同電荷。根據(jù)鏡像法，像電荷q和q的大小和位置分別為（如題圖所示）R2D導(dǎo)體球自身所帶的電荷Q則與位于球心的點(diǎn)電荷Q等效。故點(diǎn)電荷q受到的靜電 力為F Fq=qFq=qFq

37、 >qq . q(D q )4二；0(D - d )24二；0D2_ q Q (R D)qRq22 F4疏0DD D-(RD)2j(2)當(dāng)q與Q同號，且F表現(xiàn)為吸引力，即F ：0時(shí)，則應(yīng)有Q (RD)qRqDD*D(RD)2 子由此可得出Q RD3_ Rq (D2 - R2)2D44.如題所示圖，無限長直線電流I垂直于磁導(dǎo)率分別為叫和"2的兩種磁介質(zhì) 的分界面，試求（1）兩種磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1和B2 ； （2）磁化電流分布。 解：（1）由安培環(huán)路定理，可得故得到所以得到=eJoI1Iz1廠1 一廠0卩2 =卩x（2）磁介質(zhì)在的磁化強(qiáng)度-B2 -Ho則磁化電流體密度1 d(

38、rM “ ez(=o)I1d(rO在r =0處，B2具有奇異性，所以在磁介質(zhì)中r = 0處存在磁化線電流Im以z軸為中心、r為半徑作一個(gè)圓形回路C,由安培環(huán)路定理，有1I ImB dl0 CImA(1)I0在磁介質(zhì)的表面上，磁化電流面密度為JIe (7°)lJ mS = M ? ez z=0r2兀卩 0 rH")H 2(HJr杪H1（P2）H2（P2）題5.9圖45.如題圖所示，一環(huán)形螺線管的平均半徑r。=15cm,其圓形截面的半徑a = 2cm鉄芯的相對磁導(dǎo)率'r -1400，環(huán)上繞N=10°0匝線圈，通過電流 I =0.7A。（1）計(jì)算螺旋管的電感；（

39、2）在鉄芯上開一個(gè)10二0.1cm的空氣隙，再計(jì)算電感。（假設(shè)開口后鉄芯LL的r不變）（3）求空氣隙和鉄芯內(nèi)的磁場能量的比值。解：（1）由于r0，可認(rèn)為圓形截面上的磁場是均勻的，且等于截面的中 心處的磁場。由安培環(huán)路定律，可得螺線管內(nèi)的磁場為NI所以螺線管內(nèi)的磁鏈為H =2兀r°與螺線管鉸鏈的磁鏈為弓-NSlHJa2N2!2ro故螺線管的電感為故螺線管的電感為L =II2ro-7221400 4二 100.0210002915= 2.346 H(2)當(dāng)鐵芯上開有小空氣隙時(shí)，由于可隙很小，可忽略邊緣效應(yīng)，則在空氣隙與 鉄芯的分界面上，磁場只有法向分量。根據(jù)邊界條件，有B0 =B，但空氣

40、 隙中的磁場強(qiáng)度H 0與鐵芯中的磁場強(qiáng)度H "不同。根據(jù)安培環(huán)路定律，有H0I0 H 丄2 二 r° 一1°) =NI又由于% =、0H0、B丄0 7H .及Bo = B，于是可得Bl0(2二5 -I0)“°（2二 r°-lo）叩。(25-1。)4二2 10” 1400 0.022 100021400 0.0012 二 0.150.001(3)空氣隙中的磁場能量為1 2Wm00H0SI02鉄芯中的磁場能量為Wm0Wm%2 r0 一 l01400 0.00120.15-0.001= 0.944 H= 1.48746. 一根半徑為a的長圓柱形介質(zhì)棒

41、放入均勻磁場B = ezB0中與z軸平行。設(shè)棒以角速度繞軸作等速旋轉(zhuǎn)，求介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度、體積內(nèi)和表面上單位長度的極化電荷。解：介質(zhì)棒內(nèi)距軸線距離為r處的感應(yīng)電場為E = v B =e r ezB0 =err B0故介質(zhì)棒內(nèi)的極化強(qiáng)度為P = X e pE 二 er （ ；r -）；0r ' B0 二 （ ； - p ），B°極化電荷體密度為1 ；1 j2'p- P（rP）（ ； - ；o ）r 小 Bor crr cr-2（； - ；。廠 Bo極化電荷面密度為S = P n 二牡Bo er = =®）acoB。則介質(zhì)體積內(nèi)和表面上同單位長度的極化電荷分別為

42、QP =旳2 1 訂 - -2二a2（ ； - ；0），B02Qps =2二a 1 J =2二a （ - ；0） Bo47. 一圓柱形電容器，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b,長為丨。設(shè)外加電壓 為U°sn，試計(jì)算電容器極板間的總位移電流，證明它等于電容器的傳導(dǎo)電流。解： 當(dāng)外加電壓的頻率不是很高時(shí)，圓柱形電容器兩極板間的電場分布與外加直流電壓時(shí)的電場分布可視為相同（準(zhǔn)靜態(tài)電場），即_ U o sincot E =耳r ln （b a）故電容器兩極板間的位移電流密度為J廠亠弋八U0COSt:tr ln (b a)2二 i ； U0 cos00 r In (ba)errd dzln(b

43、 a)'U0COs 'tCU0COs t2陽丨C式中， ln（ b a）是長為I的圓柱形電容器的電容流過電容器的傳導(dǎo)電流為-J I Ii c = C = C；：； U o cos；：； t dt可見id 二 ic9衛(wèi)48.已知在空氣中E PONin0二珅6 M t-）：z，求日和 -（提示將E代入直角坐標(biāo)中的波方程，可求得：o ）解：電場E應(yīng)滿足波動方程將已知的E= GyEy代入方程，得222一0 '0X:Z.:t2；H;:tE ViEy: Ey-ex yezy0: z : x1-ex0.r sin 10二 xsin(6二 109t- : z)-0ez0.1 10二 c

44、os10二 xcos(6二 109t- ： z)式中將上式對時(shí)間t積分,-2 :'Ey-2x-O.1(10)2sin10二xcos(6二 109t - : z)"eT =0.1sin10二x2cos(& 109t- z) ZFe% ；0=0卩0 ；0sin10二x-(6二 109)2COS(6二 109tz)故得-(10 二)2 - I2 % ；0(6 二 109)2 =0則日 一 r詡 wsrvez二 cos10二 xsin(6二 109t-： z)_49=-ex2.3 10 sin 10二 xcos(6二 10t-54.41z).4-ez1.33 10 cos10

45、二 xsin(6二 10 t - 54.41z)A/m49.在自由空間中，已知電場E （乙滬ey10si ndt-PzMm，試求磁場強(qiáng) 度H （乙t） o解：以余弦為基準(zhǔn)，重新寫出已知的電場表示式:二二 300 =54.41rad/mE (z,t)二 ey103cos(，tR兀z )V/m2這是一個(gè)沿+z方向傳播的均勻平面波的電場，其初相角為-90。與之相伴的磁場 為E = 0H (ez) =120二eycos( t : z) ( ez)3兀二 ex40cos( -t ： z) V/m由_ _ ' rad/m得波長，和頻率f分別為13=一ez ey103 cos| .t -0 .二 0

46、.21m1H (z,t)二一ez E (z,t)010120 :COS i， t - - z -L2-ex2 65sin( t - - z) A/mVp3 1080.21Hz = 1.43 109 Hz99-2二 f = 2二 1.43 10 rad/s=9 10 rad/s1A/m50.均勻平面波的磁場強(qiáng)度H的振幅為3二，以相位常數(shù)30rad/m在空氣中沿七方向傳播。當(dāng)t=0和z=0時(shí)，若H的取向?yàn)?quot;Gy，試寫出E和H的表示式,并求出波的頻率和波長解：以余弦為基準(zhǔn)，按題意先寫出磁場表示式1H - e y cos( t : z)A/m3兀與之相伴的電場為則磁場和電場分別為H - -ey丄 cos(9 109t 30z) A/my 3兀9E 二 ex40cos(9 10 t 30z)V/m51.海水的電導(dǎo)率 二4S/m，相對介電常數(shù)=81。求頻率為10kHz 100kHz1MHz 10MHz 100MHz 1GH的電磁波在海水中的波長、衰減系數(shù)和波阻抗。解：先判定海水在各頻率下的屬性上 8&108誑 勿化聲。勿廣81%f可見，當(dāng)f <1