飲酒駕車問題的數(shù)學(xué)模型(原稿)

1、飲酒駕車問題的數(shù)學(xué)模型【摘要】本問題是生活中的飲酒駕車問題，酒精對人體的作用過程實際上類似于生物醫(yī)學(xué)中的藥用過程，針對飲酒方式的不同，本文將飲酒過程分成快速飲酒、某時間段內(nèi)勻速飲酒和周期飲酒三種形式來討論。并分別建立了一室快速飲酒、二室勻速飲酒以及周期飲酒三種系統(tǒng)動力學(xué)模型，并運用非線性最小二乘法進行數(shù)據(jù)擬合得到相關(guān)參數(shù),從而得到了血液中酒精含量與時間的函數(shù)關(guān)系。結(jié)合模型，運用MATLAB工具得到了快速飲用三瓶啤酒時的違規(guī)時間分布，t:0.0650.24小時內(nèi)飲酒駕車；t:0.244.5小時內(nèi)醉酒駕車；t:4.512小時內(nèi)飲酒駕車。結(jié)合模型，得到了在2個小時內(nèi)均勻飲用三瓶啤酒的違規(guī)時間分布，t

2、:24.5小時內(nèi)為醉酒駕車；當t為4.5-12小時為飲酒駕車。模型的建立,使問題一以及問題三得到了較為確切的解釋?！娟P(guān)鍵詞】動力學(xué) 吸收速率 消除速率 模型一、問題重述在2003年全國道路交通事故死亡人數(shù)中，飲酒駕車造成的占有相當比例，為此，國家發(fā)布了新的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗國家標準。在新標準下，大李在中午12點喝了一瓶啤酒，下午6點檢查時符合標準，接著晚上又喝了一瓶，但凌晨2點檢查時卻被定為飲酒駕車，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結(jié)果不一樣？建立飲酒時人體內(nèi)酒精含量與時間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，并討論快速或慢速飲3瓶啤酒在多長時間內(nèi)駕車就會違反新標準，估計血液中的酒精含量在什么時間

3、最高，如果某人天天喝酒，是否還能開車，并根據(jù)你所做的結(jié)合新國家標準寫一篇短文，給想喝一點酒的司機如何駕車提出忠告。二、符號說明及模型假設(shè)2.1符號說明-人體飲入酒精總量t-飲用酒的時間-t時刻血液中的酒精量-t時刻人體吸收的酒精量M-人的體重-人的體液占人的體重的百分含量-人的血液占人體重的百分含量-酒精在人體中的吸收速率常數(shù)1-酒精在人體中的消除速率常數(shù)1-t時刻血液中的酒精濃度F-酒精在人體中的吸收度V-人體的血液體積V酒-喝酒的體積-酒中的酒精含量-飲酒持續(xù)時間2.2基本假設(shè)1. 酒精在血液中的含量與在體液中的含量大至相同；2. 每瓶啤酒的酒精含量、體積基本相同；3. 酒精進入人體后，不

4、考慮其他因素對酒精的分解作用；4. 如果在很短時間內(nèi)飲酒，認為是一次性飲入，中間的時間差不計；5. 確定是否飲酒駕車或醉酒駕車以新的國家標準為界；6. 不管喝的是什么酒，只以涉入的酒精總量納入計算；7. 酒精按一級吸收過程進入體內(nèi)；8. 正常情況下，酒精在各人體中的吸收和消除速率基本相同；9. 將慢速飲酒看作是一個勻速過程。三、問題分析與模型建立3.1模型（快速飲酒模型）同藥物一樣，酒精進入機體后，作用于機體而影響某些器官組織的功能；另一方面酒精在機體的影響下，可以發(fā)生一系列的運動和體內(nèi)過程：自用藥部位被吸收進入血液循環(huán)；然后分布于各器官組織、組織間隙或細胞內(nèi)；有部分酒精則在血漿、組織中與蛋白

5、質(zhì)結(jié)合；或在各組織（主要是肝臟）發(fā)生化學(xué)反應(yīng)而被代謝；最后，酒精可通過各種途徑離開機體（排泄）；即吸收、分布、代謝和排泄過程。它們可歸納為兩大方面：一是酒精在體內(nèi)位置的變化，即酒精的轉(zhuǎn)運，如吸收、分布、排泄；二是酒精的化學(xué)結(jié)構(gòu)的改變，即酒精的轉(zhuǎn)化亦即狹義的代謝。由于轉(zhuǎn)運和轉(zhuǎn)化以致形成酒精在體內(nèi)的量或濃度（血漿內(nèi)、組織內(nèi)）的變化，而且這一變化可隨時間推移而發(fā)生動態(tài)變化。又因為酒精有促進血液循環(huán)的作用2。而藥物動力學(xué)模型中的一室模型3是指給藥后，藥物一經(jīng)進入血液循環(huán)，即均勻分布至全身,故快速飲酒情況可通過建立一室模型求解。雖然酒精在體內(nèi)的分布狀況復(fù)雜，但酒精的吸收、分解等則都在系統(tǒng)內(nèi)部進行，酒精進

6、入人體后，經(jīng)一段時間進入血液，進入血液后，當在血液中達最高濃度時，隨后開始消除3，把酒精在體內(nèi)的代謝過程看為進與出的過程，這樣便會使問題得到簡化。用和分別表示酒精輸入速率和輸出速率。由于單位時間內(nèi)血液中酒精的改變即變化率就等于輸入與輸出速率之差，所以其動力學(xué)模型為：=- （1）又因為酒精在血液中的消除速率與當時血液內(nèi)的藥量成正比，所以=kt，代入（1）式得： =-kt （2）則由（2）式可知x(t)的變化規(guī)律由飲酒速率而定。而酒精在人體內(nèi)的代謝可簡單的由圖一表示：Fx0吸收室x1(t)kx(t)V (圖一)則t時刻吸收室的藥量為x1(t)，又藥物是按一級吸收過程進入體內(nèi)的，對于吸收室有： =-

7、k1x1 (3)對于房室，=，于是（2）式變?yōu)椋?（4）（3）、（4）兩式構(gòu)成一階線性方程組，當t=0時，x(0)=0,解（2）式得：，將其代入（4）式得一階線性非齊次方程：解之得：從而，人體內(nèi)酒精含量為：在這種情況下，酒精含量最大值出現(xiàn)的時間：使時t的值。一般情況下，又因為酒精在血液中的含量與在體液中的含量大至相同。則有： (F為常數(shù)且0<F<1)X0=V酒則人體內(nèi)酒精含量與時間函數(shù)關(guān)系為: （一般情況）模型的求解根據(jù)圖一中酒精含量實測數(shù)據(jù)擬合,顯然它無法化為線性最小二乘,我們直接作非線性最小二乘擬合4。用MATLAB優(yōu)化工具箱的Leastsq5計算,擬合參數(shù)程序見:JM2004

8、C1.m。擬合得：=2.0079mg·ml-1·h-1,k=0.1855mg·ml-1·h-1,=11.2423（毫克/毫升），又由，得到問題中隱含的一瓶啤酒的酒精量約為：27543.635毫克。問題一的解答雖然大李喝等量的酒，并且相隔的時間也相同的情況下,兩次檢查的結(jié)果不一樣是因為第一次喝下去的酒，在6小時內(nèi)并沒有完全分解，還殘留有相當一部分在血液中，并且這一部分在較長時間內(nèi)不能完全分解。由圖（二）喝一瓶啤酒的酒精含量隨時間變化的函數(shù)圖像可知，6小時后，第一次喝的酒的酒精含量約19.5毫克/百毫升。也就是說此時血液中已有一定的酒精量，這樣雖然第二次喝的

9、是同樣多的酒，由于第一次殘留部分的存在，相當于涉入的酒精量已增大了，使其同樣再過6小時，酒精含將會大于20毫克/百毫升。這樣大李碰到的情況也就很自然的解釋了（圖二）現(xiàn)通過實際計算證明：設(shè)A為第一次喝酒在六個小時后，殘留在血液中的酒精量。則第二次喝酒時，酒精含量C（t）與時間t的函數(shù)關(guān)系為： 代值用MATLAB計算（程序見JM2004C5.LOG），此時再過6小時酒精含量為：27.4毫克/百毫升。這就大于了第一次的值。問題二第一問的求解當一個人在很短時間內(nèi)喝3瓶啤酒時，相當于在瞬間使其吸收室的酒精濃度達最大值，運用模型并用計算機擬合得其函數(shù)圖象如(圖三)（程序見JM20004C2.LOG）， (

10、圖三)由圖可得： t:0.0650.24小時內(nèi)飲酒駕車；t:0.344.5小時內(nèi)醉酒駕車；t:4.512小時內(nèi)飲酒駕車。3.2模型 （勻速飲酒二室模型）模型的建立及求解由于在兩小時內(nèi)慢速喝酒有多種方式，為了便于計算我們考慮為勻速飲入等量酒精，即在時間內(nèi)勻速吸收酒精。若體內(nèi)酒精含量不超過一級消除動力學(xué)范圍，假設(shè)人的酒精含量未達到平衡狀態(tài)，隨著人體吸收次數(shù)增多，血液中酒精濃度逐漸升高，當在時間內(nèi)飲完后，由于時刻前一小段時間內(nèi)飲入的酒精在短時刻內(nèi)沒有被吸收，故在時刻后一段時間內(nèi)，酒精濃度將繼續(xù)升高，某一時刻將達到最大值。這一時刻后，酒精含量就會逐漸減小?？紤]到一室模型在求慢速喝酒情況下的局限性，我們

11、采用建立二室模型6。對二室模型我們將建立兩個關(guān)于酒精濃度的動力系統(tǒng)模型來描述其動態(tài)特性。.1模型二假設(shè)：1、 機體分為中心室和周邊室，兩個室的容積在過程中保持不變。2、 藥物從一室向另一室的轉(zhuǎn)移速率，及向體外的排除速率，與該室的酒精濃度成正比。3、 只在中心室一體外有酒精交換，即酒精從體外進入中心室，最后又從中心室排出體外，與轉(zhuǎn)移和排除的數(shù)量相比，酒精的吸收可以忽略。.2模型建立K12二室模型的示意圖如(圖四)所示： K21周邊室c2(t),x2(t) V2中心室c1（t）,x1(t)V1 飲酒 (圖四)兩個房室中酒精量滿足的微分方程。的變化率由一室向二室的轉(zhuǎn)移，一室向體外排除，二室向一室的轉(zhuǎn)

12、移及酒精組成；的變化率由一室向二室的轉(zhuǎn)移及二室向一室的轉(zhuǎn)移組成，于是有： （1）與血液中酒精含量、房室容積顯然有關(guān)系式（2）將（2）式代入（1）式可得： （3）喝酒相當于在酒精進入中心室之前先有一個將酒精吸收入血液的過程，可以簡化為有一個吸收室，如下圖，為吸收室的酒精，酒精由吸收室進入中心室的轉(zhuǎn)移速率系數(shù)為，于是滿足： （4） 當時，（3）可以化為： （5）中心室吸收室 （圖四） 酒精經(jīng)吸收室進入中心室是飲入的酒精量，而酒精進入中心室的速率為： （6）將方程（5）式代入（6）式得： （7）在這種情況下方程（3）的解的一般形式為： （8）此時，這種情況下，酒精含量最大值出現(xiàn)的時間為：使時的時間。

13、其中 （9） .3參數(shù)估計 不妨設(shè)，于是當t充分大時可近似為： 對于適當大的和相應(yīng)的，用最小二乘法估計出的值。然后計算（10）再利用（5）式得：對于較小的和（10）式算出的，仍用最小二乘法可得到。由上可得參數(shù)值：.4模型的求解將題中所給參考數(shù)據(jù)代入，運用MATLAB工具，對前參數(shù)估計進行代值計算得:程序見JM2004C6-C8A=69.4908;a=0.3234;B=-48.0251;b= 2.77;將所求得的參數(shù)代入（8）當中可得，并用MATABT畫出勻速喝三瓶啤酒的酒精含量-時間曲線圖如圖（五）程序見JM2004C9.M （圖五）由上函數(shù)圖象可知：當t為24.5小時內(nèi)為醉酒駕車；當t為4.

14、5-12小時為飲酒駕車。3.3模型（周期飲酒模型）模型假設(shè)1、每次喝酒相隔時間相同，且為常量。2、每次喝酒量相同模型建立設(shè)表式t時刻酒精在人體內(nèi)的濃度，表示t=0時飲入酒精量。我們知道，飲酒后，隨時間推移，酒精在體內(nèi)逐漸被吸收，也就是體內(nèi)酒精的濃度逐漸降低，根據(jù)藥物學(xué)理論，酒精濃度的變化率與飲酒量成線性比，則有： （1）其中k>0為吸收速率常數(shù)，其解為： 當時，由于經(jīng)過時間間隔T，又第二次飲酒，飲入量為，所以時類似有，當時，酒精含量為：并且當時，又第三次飲酒，飲酒量仍為，所以， 那么當時，體內(nèi)酒精濃度應(yīng)為：按此類推，則當時，體內(nèi)酒精濃度達到： （2）（2）式的右邊為一等比數(shù)列之和，利用等

15、比數(shù)列求和得： 當時，根據(jù)自己要求，如果我們需要酒精含量接近時，我們近似地有如果間隔時間T確定，那么飲入酒精量可由： （3）體內(nèi)酒精的分布可由圖六看出多飲幾次酒后，體內(nèi)酒精濃度緩慢趨于極限值。（圖六）由上模型，代入?yún)?shù)計算，也可以解決問題一，取T=6時，酒精含量為19.98毫克/毫升，取=12時，酒精含量為27.6毫克/毫升。此結(jié)果與前面用一次模型求解的結(jié)果吻合，這樣更全而的解釋了相等飲量，間隔相等時間，前次達標，而后一次超標的原因。運用此模型，更方便解決天天飲酒是否能駕車的問題，令T=24，毫克/百毫升，代入（3）式得，毫克，也就是說只要每天的飲酒量小于20000毫克就不會出現(xiàn)違規(guī)情況，可以

16、駕車；令毫克/百毫升，毫克，即飲酒量大于80000毫克時就會出現(xiàn)醉酒駕車情況，就不能駕車。當每飲酒量為20000<<80000毫克時，就會出現(xiàn)飲酒駕車情況。類似，本模型還可推廣到更長周期情況的求解。綜上所述，現(xiàn)對第三問解答：三種情況下，因考慮到擬合函數(shù)只存在一個駐點，即一個極值，則可對擬合函數(shù)求導(dǎo)，,然后計算駐點值即可解得各種情況下酒精含量達最高時的時間，在快速飲酒情況下，飲三瓶啤酒為例，解得Tmax=1.3145小時。四、結(jié)果分析與檢驗由于酒精不同于一般的藥物，人飲用之后，酒精能迅速的進入人體，所以在快速飲酒情況下用一室模型來研究酒精的作用過程及代謝過程，與幾室模型來研究酒精的作

17、用過程及代謝過程并無太大的區(qū)別，（圖七）酒精含量C（t）的擬合曲線與實測數(shù)據(jù)的比較,可以看出,我們的結(jié)果是較為準確的，并且擬合的曲線是一條較為理想的曲線。（圖七）對于勻速飲酒情況，由于勻速飲酒要考慮飲酒過程中的代謝情況，與快速飲酒有一定差異，所以采用二室模型來建立勻速飲酒模型，達到減小誤差的目的。 五、模型的評價與改進5.1模型的優(yōu)點1.綜合運用MATLAB和LINGO兩個軟件，準確求解，在運用MATLAB進行數(shù)據(jù)擬合時，得到了較理想化的曲線。在表示喝三瓶啤酒的人什么時候是飲酒駕車，什么時候是醉酒駕車時，運用MATLAB準確的做出了函數(shù)據(jù)圖像，使結(jié)果一目了然。2.本模型從三種情況分別建立模型，

18、模型穩(wěn)定性高，適用性強。3.本模型計算步驟清晰，引用了醫(yī)藥動力學(xué)的二室模型進行計算，可靠性較高4.從問題出發(fā)，分析了應(yīng)該考慮的各種情況，建立了一般的數(shù)學(xué)模型，并進行實例驗證，從而證明我們建立的數(shù)學(xué)模型可以較好的解決實際問題。5.此模型具有極為廣泛的應(yīng)用性，對每一個具體的情況，都可以通過模型求解。5.2模型的缺點1.本文的模型參數(shù)僅是依靠題中給出的一組數(shù)據(jù)擬合求解得出，可能有一點偏差。2.模型為使計算簡便，使所得的結(jié)果更理想化，忽略了一些次要的因素。如：酒進入身體后隨著血液流動，人體對酒精的吸收率是隨時間變化的，而本模型是在吸收率恒定的情況下，進行求解的。對于這些問題，由于時間關(guān)系本模型還未能更

19、好的研究，有待以后的改進和完善。5.3模型的改進由于人體內(nèi)部的復(fù)雜性，及各器官對酒精轉(zhuǎn)化的多樣性，用一室或二室都較為初級，三室或多室的情況模型更準確，但考慮起來會很復(fù)雜，又由于短期收集資料的局限，實行起來較為困難，可留著時間充裕時考慮。六、模型的推廣我們建立模型的方法和思想可以推廣到其它類似的問題。本文所建立的模型不僅估算出了t時刻人體內(nèi)的酒精含量，而且還能給飲酒駕車的司機們?nèi)绾物嬀铺峁┮恍├碚搮⒖?。又如：現(xiàn)在有些感冒藥對人的大腦有刺激作用，當其血藥濃度高于某標準的時候就不能進行駕車等一系列安全操作，于是我們也可以用此模型的研究結(jié)論來對其相關(guān)問題進行分析。下面是給想喝點酒的司機如何駕車的忠告：

20、酒后駕車危害多給想喝點酒駕車的司機們的忠告俗語說：“美酒佳肴”美酒自古以來對人的誘惑從未衰減。多少人因貪杯而命喪黃泉。據(jù)統(tǒng)計，酒后駕車發(fā)生事故的比率為沒有飲酒情況下的16倍，幾率高達27，為了你的安全，請你注意以下信息。一.人的健康飲酒量肝臟處理酒精的能力，按體重每公斤每小時計算可處理0.125ml。體重為70公斤的人1小時能處理8.75ml，即相當于能處理清酒約60毫升，啤酒約200ml，威士忌酒約20ml。現(xiàn)在綜合對酒的處理能力與免疫學(xué)調(diào)查，可以得出以下結(jié)論：健康的安全性飲純酒量每日為50ml以內(nèi)，有害量是每日100ml，危險量是每日150ml以上。二.過量飲酒對人體的危害飲酒駕車，是造成

21、交通事通行證的重要原因之一，酒精被胃、腸吸收后深于血液當中，當血液中酒精濃度達到一定程度時，中樞神經(jīng)系統(tǒng)活動逐漸遲鈍，致使大腦判斷發(fā)生障礙，手腳遲鈍不靈活，甚至喪失操作能力。1.在血液中，酒精含量在0.5-2mg/毫升時，造成微醉。表現(xiàn)為臉紅、話多、反應(yīng)遲鈍、做事不顧后果，但尚未忘記自我。2.酒精含量在2-3mg/毫升時，造成輕醉。表現(xiàn)為言語不清、哭笑失常。3.酒精含量在3-4mg/毫升時，造成深醉。表現(xiàn)為腿腳發(fā)軟，動作失調(diào)，陷入麻痹狀態(tài)。4.酒精含量在4-5mg/毫升時，造成泥醉。表現(xiàn)為陷入昏睡狀態(tài)，四肢無力，甚至造成大小便失禁，呼吸困難，最終可能導(dǎo)致死亡。雖然飲酒駕車危害甚多，但并不是說一

22、點都不能喝酒。甚至還可以天天喝，但一定要注意控制自己的飲酒量和出車時間，結(jié)合上面的信息，注意以下幾點，想喝一點酒的司機們也能過一把酒癮。1.如果你想每天即飲酒又駕車，而又不違規(guī)，請你一定記住你每天涉入的酒精量不要超過20000毫克。2.一次性飲酒的酒精量越大，到達標時的時間會越長，所以你等待時間的長短應(yīng)根據(jù)你飲酒量的多少而定。比如說一次飲一瓶啤酒，大約6個小時后酒精含量就可達標；一次性喝2瓶啤酒，大概要等9.5小時后才能達標；而一次性喝3瓶啤酒，則大概要等12小時后才能達標。3.連續(xù)飲酒次數(shù)越多，每次間隔時間應(yīng)越長。以第一題為例，第一次飲啤酒一瓶，過六個小時達標，但第二次飲同樣多的酒，同樣再過

23、六個，酒精含量增加到27毫克/百毫升，要使第二次飲酒后，不超標，則至少應(yīng)在7.5小時后再駕車。參考文獻：1 卓先義.血中酒精消除速度與濃度推算關(guān)系的研究2中華醫(yī)學(xué)網(wǎng).健康常識.,2004-9-196姜啟源.數(shù)學(xué)模型，第三版.北京：高等教育出版社程序附頁:1. JM2004C1.mfunction f=fun(x)t=0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16;c=0.3 0.68 0.75 0.82 0.82 0.77 0.68 0.68 0.58 0.51 0.50 0.41 0.38 0.35 0

24、.28 0.25 0.18 0.15 0.12 0.10 0.07 0.07 0.04;f=c-x(1)*x(3)*(exp(-x(2)*t)-exp(-x(1)*t)/(x(1)-x(2);x0=1:0.25:20;x=leastsq('fun',x0);y=sum(fun(x).*fun(x)2、程序JM2004C2.LOGmodel:sets:endsetsc=k1*(exp(-k*t)-exp(-k1*t)*d/(k1-k);DATA:k1=2.0079;k=0.1855;d=168.65;t=12;ENDDATAEND3、JM2004C3.LOGmodel:sets:

25、endsetsc=k1*(exp(-k*t)-exp(-k1*t)*d/(k1-k);DATA:k1=2.0079;k=0.1855;d=56.217;t=12;ENDDATAEND4、JM2004C4.LOGmodel:sets:endsets82630.905/(k*v)=k0/k*log(v)-k0/k*log(v)*exp(-k*t);data:k=0.185;v=6938.082065;enddata5、JM2004C5.LOGmodel:sets:endsetsc=k1*(27543.635+9555)*(exp(-k*t)-exp(-k1*t)/(V*(k1-k);DATA:k1=2.0079;k=0.1855;V=490;t=6;ENDDATAEND6、Jm2004C6.mfunction f=fun(x)t=0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16;c=306875828277686