材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型

1、常用的數(shù)學(xué)建模方法有哪些？ （1）理論分析法 （2）模擬方法 （3）類(lèi)比分析法 （4）數(shù)據(jù)分析法答題重點(diǎn)：各種方法的定義，條件有限差分法解題示例 例：利用差分法解Laplace方程第一邊值問(wèn)題 (要求畫(huà)出差分網(wǎng)格及寫(xiě)出差分方程組)。 數(shù)值微分：用差商作為導(dǎo)數(shù)近似值數(shù)值微分：用差商作為導(dǎo)數(shù)近似值第二章材料科學(xué)研究中常用的數(shù)值分析方法第二章材料科學(xué)研究中常用的數(shù)值分析方法解 采用正方形網(wǎng)格剖分，內(nèi)結(jié)點(diǎn)按如圖2-3所示編號(hào)。設(shè)內(nèi)結(jié)點(diǎn)總數(shù)為N，對(duì)于每一個(gè) (xi，yj)D0，利用數(shù)值微分公式 第二章材料科學(xué)研究中常用的數(shù)值分析方法第二章材料科學(xué)研究中常用的數(shù)值分析方法本題采用正方形網(wǎng)格，因此h1=h2

2、 ,可推出差分方程為4uij-u(i+1)j+u(i-1)j+ui(j+1)+ui(j-1)=-h2fij (xi, yj)D0本例中取本例中取h1=h2=0.125，采用正方形網(wǎng)格剖分，內(nèi)結(jié)點(diǎn)按圖采用正方形網(wǎng)格剖分，內(nèi)結(jié)點(diǎn)按圖2-3所示編號(hào)，所示編號(hào)，按上式得按上式得 其中，其中，u11對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)u1，u21對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)u2，u01為為0，u12對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)u4，u10為為0，于是得，于是得4u1-u2-u4=0。其他，其他，u31對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)u3，u22對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)u5，u32對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)u6，u13對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)u7，u23對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)u8，u33對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)u9。其余類(lèi)推得差分方程：其余類(lèi)推得差分方程： 第二章材料科學(xué)研

3、究中常用的數(shù)值分析方法第二章材料科學(xué)研究中常用的數(shù)值分析方法u1=6.25u=12.5u3=18.75u4=12.50u5=25.00u6=37.50u7=18.75u8=37.50u9=56.25第二章材料科學(xué)研究中常用的數(shù)值分析方法第二章材料科學(xué)研究中常用的數(shù)值分析方法（2-54）（2-53）用Seidel迭代法求得n有限元法與有限差分法的比較有限元法與有限差分法的比較n1. 1. 有限元法處理物理問(wèn)題，不需要建立微分方程這一步驟，有限元法處理物理問(wèn)題，不需要建立微分方程這一步驟，并且其物理問(wèn)題在離散化的整個(gè)過(guò)程中就始終具有明確的物理并且其物理問(wèn)題在離散化的整個(gè)過(guò)程中就始終具有明確的物理意

4、義。而有限差分法則不然。兩種方法處理問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法有意義。而有限差分法則不然。兩種方法處理問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法有較大差別。較大差別。n2. 2. 有限差分法和有限元法在對(duì)區(qū)域的離散化方法上也有明顯有限差分法和有限元法在對(duì)區(qū)域的離散化方法上也有明顯的差別。有限元法的三角形劃分區(qū)域配置比較任意，其對(duì)邊界的差別。有限元法的三角形劃分區(qū)域配置比較任意，其對(duì)邊界和界面的逼近良好，有較好的計(jì)算精度。計(jì)算格式復(fù)雜，但其和界面的逼近良好，有較好的計(jì)算精度。計(jì)算格式復(fù)雜，但其可以計(jì)算機(jī)化，程序也易標(biāo)準(zhǔn)化，故不影響其實(shí)際應(yīng)用。可以計(jì)算機(jī)化，程序也易標(biāo)準(zhǔn)化，故不影響其實(shí)際應(yīng)用。n3. 3. 有限元法用統(tǒng)一的觀點(diǎn)對(duì)區(qū)域內(nèi)的

5、節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)列出計(jì)有限元法用統(tǒng)一的觀點(diǎn)對(duì)區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)列出計(jì)算格式。這樣各節(jié)點(diǎn)的計(jì)算精度總體比較協(xié)調(diào)。而有限差分法算格式。這樣各節(jié)點(diǎn)的計(jì)算精度總體比較協(xié)調(diào)。而有限差分法各節(jié)點(diǎn)精度總體上不夠一致。各節(jié)點(diǎn)精度總體上不夠一致。n4. 4. 有限元法要求計(jì)算機(jī)內(nèi)存量較大，需要準(zhǔn)備輸入的數(shù)據(jù)量有限元法要求計(jì)算機(jī)內(nèi)存量較大，需要準(zhǔn)備輸入的數(shù)據(jù)量也比較大，這是它的缺點(diǎn)之一。也比較大，這是它的缺點(diǎn)之一。事實(shí)上，有限差分法比有限元事實(shí)上，有限差分法比有限元法使用的更廣法，有很多物理問(wèn)題目前不能用有限元法處理，法使用的更廣法，有很多物理問(wèn)題目前不能用有限元法處理，但總能可以用有限差分法處理。但總能可以用

6、有限差分法處理。特別是在邊界形狀比較規(guī)則時(shí)特別是在邊界形狀比較規(guī)則時(shí)，采用有限差分法是最合適的。，采用有限差分法是最合適的。寫(xiě)出導(dǎo)熱微分方程的一般形式及其三類(lèi)邊界條件0QzTzyTyxTxtTczyxp )()()(（A）第一類(lèi)邊界條件第一類(lèi)邊界條件 指指物體邊界上的物體邊界上的溫度分布函數(shù)已知溫度分布函數(shù)已知 ，用公式表示為，用公式表示為 wsTT=),(=tzyxTTws或或(3-8)（B）第二類(lèi)邊界條件第二類(lèi)邊界條件 指指物體邊界上的物體邊界上的熱流密度已知熱流密度已知 ，用公式表示為，用公式表示為 )( t , z , y,xqnTqwss=或或(3-9)wssqnTq= （C）第三類(lèi)

7、邊界條件第三類(lèi)邊界條件 又稱(chēng)為又稱(chēng)為對(duì)流邊界條件對(duì)流邊界條件，是指物體與其周?chē)h(huán)境介質(zhì)間的對(duì)，是指物體與其周?chē)h(huán)境介質(zhì)間的對(duì)流傳熱系數(shù)流傳熱系數(shù) k 和介質(zhì)的溫度和介質(zhì)的溫度Tf 已知，用公式表示為已知，用公式表示為(3-10)TT(knTfs= 19例題：例題： 如下圖所示，有一個(gè)長(zhǎng)寬比為如下圖所示，有一個(gè)長(zhǎng)寬比為2:1的矩形區(qū)域，已經(jīng)劃分為矩形的矩形區(qū)域，已經(jīng)劃分為矩形網(wǎng)格，且其長(zhǎng)度方向和寬度方向的步長(zhǎng)相等。其中內(nèi)部網(wǎng)格，且其長(zhǎng)度方向和寬度方向的步長(zhǎng)相等。其中內(nèi)部3個(gè)節(jié)點(diǎn)記為個(gè)節(jié)點(diǎn)記為1、2、3，這些節(jié)點(diǎn)的溫度未知。假設(shè)所有邊界點(diǎn)的溫度已知，而且，這些節(jié)點(diǎn)的溫度未知。假設(shè)所有邊界點(diǎn)的溫度已

8、知，而且區(qū)域內(nèi)無(wú)內(nèi)熱源。請(qǐng)利用有限差分法來(lái)計(jì)算節(jié)點(diǎn)區(qū)域內(nèi)無(wú)內(nèi)熱源。請(qǐng)利用有限差分法來(lái)計(jì)算節(jié)點(diǎn)1、2、3的溫度。的溫度。 4. 平面溫度場(chǎng)的有限差分求解平面溫度場(chǎng)的有限差分求解 20解：解： 由于矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)內(nèi)熱源，因此可以利用二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程的由于矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)內(nèi)熱源，因此可以利用二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程的有限差分方程求解，即利用方程有限差分方程求解，即利用方程 (3-18) ：4. 平面溫度場(chǎng)的有限差分求解平面溫度場(chǎng)的有限差分求解 實(shí)際上每個(gè)未知溫度的節(jié)點(diǎn)的溫度是實(shí)際上每個(gè)未知溫度的節(jié)點(diǎn)的溫度是其周?chē)膫€(gè)節(jié)點(diǎn)溫度的平其周?chē)膫€(gè)節(jié)點(diǎn)溫度的平均值均值。對(duì)每個(gè)未知溫度的節(jié)點(diǎn)有：。對(duì)每個(gè)未知溫度的節(jié)點(diǎn)有：節(jié)點(diǎn)

9、節(jié)點(diǎn)1：0=4+12TTTTTHBA節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)2：0=4+231TTTTTGC節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)3：0=4+32TTTTTFED21將邊界條件帶入上式，可以得出以下方程組將邊界條件帶入上式，可以得出以下方程組 ：4. 平面溫度場(chǎng)的有限差分求解平面溫度場(chǎng)的有限差分求解 求解上述方程組，可得到結(jié)果為：求解上述方程組，可得到結(jié)果為： T1 = 160，T2 = 240，T3 = 400400=421TT400=4+321TTT1360=+32TT在固體中，擴(kuò)散是物質(zhì)傳輸?shù)奈ㄒ环绞?。擴(kuò)散與材料在生產(chǎn)和使用過(guò)程中的許多重要的物理化學(xué)過(guò)程密切相關(guān)，因此對(duì)擴(kuò)散的濃度場(chǎng)的計(jì)算具有重要的意義。試簡(jiǎn)單表述Fick第一定律和F

10、ick 第二定律。1. 擴(kuò)散控制方程擴(kuò)散控制方程 在固體中的擴(kuò)散主要用Fick擴(kuò)散定律來(lái)描述。Fick在1855年提出內(nèi)容：在穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散 (dC/dt=0)的條件下，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于擴(kuò)散方向的單位截面積的擴(kuò)散物質(zhì)的通量 J (單位是gcm-2s-1)與濃度梯度成正比。其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：（1）Fick第一定律 式中的負(fù)號(hào)表示式中的負(fù)號(hào)表示擴(kuò)散方向擴(kuò)散方向與與 x 方向方向相反；相反；C是是溶質(zhì)原子溶質(zhì)原子的濃度，的濃度，單位為單位為gcm-3或原子數(shù)或原子數(shù)cm-3， D是是擴(kuò)散系數(shù)擴(kuò)散系數(shù)，單位為，單位為cm-2s-1。 1. 擴(kuò)散控制方程擴(kuò)散控制方程 （2）Fick第二定律n Fick第一定律規(guī)定dC/dt=0，即在擴(kuò)散過(guò)程中擴(kuò)散物質(zhì)的濃度不隨時(shí)間變化。實(shí)際上，在多數(shù)情況下，擴(kuò)散物質(zhì)的濃度是與時(shí)間相關(guān)的，即dC/dt0。因此就必須采用Fick第二定律來(lái)描述非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散現(xiàn)象，即n 如在如在三維空間三維空間中擴(kuò)散，且在中擴(kuò)散，且在x，y，z，三個(gè)方向上的擴(kuò)散系數(shù)分別為三個(gè)方向上的擴(kuò)散系數(shù)分別為Dx，Dy，Dz，則有則有n 若若Dx=Dy=Dz=D，即在三維空間中的擴(kuò)散具有各向同性，則有即在三維空