《概率與數理統(tǒng)計》第07章 - 參數估計

1、.第七章第七章 參數估計參數估計引言引言第一節(jié)第一節(jié) 點估計點估計 第二節(jié)第二節(jié) 估計量的評選標準估計量的評選標準第三節(jié)第三節(jié) 區(qū)間估計區(qū)間估計第四節(jié)第四節(jié) 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計第五節(jié)第五節(jié) 單側的置信區(qū)間單側的置信區(qū)間習題習題. 引言引言 總體總體樣本樣本統(tǒng)計量統(tǒng)計量描述描述作出推斷作出推斷(統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷) 研究統(tǒng)計量的性質和評價一個統(tǒng)計推斷的研究統(tǒng)計量的性質和評價一個統(tǒng)計推斷的優(yōu)良性，完全取決于其優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布抽樣分布的性質的性質.隨機抽樣隨機抽樣.參數估計參數估計問題問題假設檢驗假設檢驗問題問題點估計點估計區(qū)間估計區(qū)間估計統(tǒng)計統(tǒng)計推斷

2、推斷. 參數估計問題是利用從總體抽樣得到的信息來估參數估計問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計總體的某些參數或者參數的某些函數計總體的某些參數或者參數的某些函數. 參數估計參數估計估計廢品率估計廢品率估計新生兒的體重估計新生兒的體重估計湖中魚數估計湖中魚數 估計降雨量估計降雨量在參數估計問題在參數估計問題中，假定總體分中，假定總體分布形式已知，未布形式已知，未知的僅僅是一個知的僅僅是一個或幾個參數或幾個參數.這類問題稱為這類問題稱為參數估計參數估計.參數估計問題的一般提法參數估計問題的一般提法X1,X2,Xn要依據該樣本對參數要依據該樣本對參數 作出估計作出估計, 或估計或估計 的某個已知函數

3、的某個已知函數 .)( g現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本 設有一個統(tǒng)計總體設有一個統(tǒng)計總體 , 總體的分布函數為總體的分布函數為F( x, ) ，其中，其中 為未知參數為未知參數 ( 可以是向量可以是向量) . .)1 . 0,(2 N假定身高服從正態(tài)分布假定身高服從正態(tài)分布 。設這設這5個數是個數是: 估計估計 為為1.68，這是這是點估計點估計.這是這是區(qū)間估計區(qū)間估計.估計估計 在區(qū)間在區(qū)間 1.57, 1.84 內，內，例如我們要估計某隊男生的平均身高例如我們要估計某隊男生的平均身高. 現(xiàn)從該總體選取容量為現(xiàn)從該總體選取容量為5的樣本，我們的任務的樣本，我們的任務是要根據

4、選出的樣本（是要根據選出的樣本（5個數）求出總體均值個數）求出總體均值 的的估計估計. 而全部信息就由這而全部信息就由這5個數組成個數組成 . .第一節(jié)第一節(jié)點估計點估計.一、點估計概念一、點估計概念隨機抽查隨機抽查100個嬰兒個嬰兒 , , 得得100個體重數據個體重數據 10,7,6,6.5,5,5.2, 呢呢 ? ? 據此據此, ,我們應如何估計我們應如何估計和和而全部信息就由這而全部信息就由這100個數組成個數組成 .引例引例: 已知某地區(qū)新生嬰兒的體重已知某地區(qū)新生嬰兒的體重 , , 2,XN ( ,) 未知未知. 為估計為估計 : 我們需要構造出適當的樣本的函數我們需要構造出適當的

5、樣本的函數 T(X1,X2,Xn) ， 每當有了樣本，就代入該函數中算出一個值，用來每當有了樣本，就代入該函數中算出一個值，用來作為作為 的估計值的估計值 . 把樣本值代入把樣本值代入T(X1,X2,Xn) 中，中，估計值估計值 .T(X1,X2,Xn) 稱為參數稱為參數 的的點估計量點估計量， 得到得到 的一個的一個點點.我們知道我們知道, ,若若 , ,由大數定律由大數定律, , 1|1|lim1 niinXnP自然想到把樣本體重的平均值作為總體平均體重的自然想到把樣本體重的平均值作為總體平均體重的一個估計一個估計. .,11niiXnXniiXXnS122)(11樣本體重的平均值樣本體重

6、的平均值 2,XN ()E X 則則 .用樣本體重的均值用樣本體重的均值 估計估計 . .X 類似地，用樣本體重的方差類似地，用樣本體重的方差 估計估計 . .22S.121212121212:( ; ),.,.,(,)(,)(,)(,)nnnnnnXF xXXXXxxxXXXxxxXXXxxx 點點估估計計的的一一般般提提法法為為 設設總總體體 的的分分布布函函數數的的形形式式為為已已知知是是待待估估參參數數。是是 的的一一個個樣樣本本，是是相相應應的的一一個個樣樣本本值值。點點估估計計問問題題就就是是要要構構造造一一個個適適當當的的統(tǒng)統(tǒng)計計量量，用用它它的的觀觀察察值值作作為為未未知知參參

7、數數 的的近近似似值值。我我們們稱稱為為 的的，稱稱為為 的的。在在不不混混估估計計量量估估計計值值淆淆的的情情況況下下 估估計計統(tǒng)統(tǒng)稱稱估估計計量量和和估估計計值值為為，并并都都記記為為 。.二、尋求估計量的方法二、尋求估計量的方法1. 矩估計法矩估計法2. 最大似然估計法最大似然估計法3. 最小二乘法最小二乘法4. 貝葉斯方法貝葉斯方法 我們主要介紹前面兩種方法我們主要介紹前面兩種方法 .1. 矩估計法矩估計法由辛欽大數定理由辛欽大數定理 ,若總體若總體 的數學期望的數學期望 有限有限, kkE X X則有則有11nkkiiAXn ()(1,2,)PkkE Xk 12(,)kg A AA1

8、2(,)Pkg 其中其中 為連續(xù)函數為連續(xù)函數 .g. 這表明這表明 , 當樣本容量很大時當樣本容量很大時 , 在統(tǒng)計上在統(tǒng)計上 , 可以用可以用 樣本矩去估計總體矩樣本矩去估計總體矩 . 這一事實導出矩估計法這一事實導出矩估計法.定義定義 用樣本原點矩估計相應的總體原點矩用樣本原點矩估計相應的總體原點矩 , 又又用樣本原點矩的連續(xù)函數估計相應的總體原點矩的用樣本原點矩的連續(xù)函數估計相應的總體原點矩的連續(xù)函數連續(xù)函數, 這種參數點估計法稱為這種參數點估計法稱為矩估計法矩估計法 . 理論依據理論依據: 大數定律大數定律.矩估計法的具體做法如下：矩估計法的具體做法如下： 設總體的分布函數中含有設總

9、體的分布函數中含有k個未知參數個未知參數 , 那么它的前那么它的前k階矩階矩 , 一般都是這一般都是這 k 個參數的個參數的12,k 12,k 函數函數,記為：記為： ).,(),(),(2121222111kkkkk 從這從這 k 個方程中解出個方程中解出.j=1,2,k那么用諸那么用諸 的估計量的估計量 Ai 分別代替上式中的諸分別代替上式中的諸 , ii12(,)jjkA AA j即可得諸即可得諸 的的矩估計量矩估計量 ：矩估計量的觀察值稱為矩估計量的觀察值稱為矩估計值矩估計值 . ).,(),(),(2121222111kkkkk .解：解： 1E X 22222()()E XD XE

10、 X 例題例題: 設總體設總體 X 的均值的均值 和方差和方差 都存都存在在 , 未知未知 . 是來自是來自 X 的樣本的樣本 , 試試求求 的矩估計量的矩估計量 .1,nXX2(0) 2, 2, 解得解得1,A 1, 2221于是于是 的矩估計量為的矩估計量為 2, 2221AA. 例例: 設總體設總體 X 在在 a , b 上服從均勻分布上服從均勻分布 , a , b 未知未知 . 是來自是來自 X 的樣本的樣本 , 試求試求 a , b 的矩估計量的矩估計量 .1,nXX解解 1E X 2ab 22E X 2()12ba 2()()D XE X 2()4ab 即即 1221212()ab

11、ba .解得解得于是于是 a , b 的矩估計量為的矩估計量為 21213()a 21213()b21213()aAAA 21213()bAAA樣本矩樣本矩總體矩總體矩.求參數求參數 的矩估計的矩估計.課堂練習：課堂練習：設總體設總體X的概率密度為的概率密度為(1),01( )0,xxf x 其其它它其中其中 是未知參數是未知參數 , X1 , X2 , , Xn 是取自是取自 X 的樣本的樣本,1 .解解: 解得解得11211 的矩估計量為的矩估計量為 故故211XX 1E X 10(1)x x dx 110(1)xdx 12 . 矩估計法的優(yōu)點矩估計法的優(yōu)點是簡單易行是簡單易行,并不需要事

12、先知道并不需要事先知道總體是什么分布總體是什么分布 . 缺點缺點是，當總體類型已知時，沒有充分利用分是，當總體類型已知時，沒有充分利用分布提供的信息布提供的信息 . 2. 最大似然估計法最大似然估計法總體類型已知條件下使用的一種參數估計方法總體類型已知條件下使用的一種參數估計方法 .最大似然估計原理：最大似然估計原理： 當給定樣本當給定樣本X1,X2,Xn時，定義時，定義似然函數似然函數為：為： 設設X1,X2,Xn是取自總體是取自總體X的一個樣本，樣本的一個樣本，樣本的聯(lián)合密度的聯(lián)合密度(連續(xù)型）或聯(lián)合分布律連續(xù)型）或聯(lián)合分布律 (離散型離散型)為為 f (x1,x2, ,xn ; ) .

13、)( Lf (x1, x2 , xn; ) 這里這里 x1, x2 , xn 是樣本的觀察值是樣本的觀察值 . 似然函數：似然函數：)(max)( LL 最大似然估計法最大似然估計法就是用使就是用使 達到最大值的達到最大值的 去估計去估計 . )( L 稱稱 為為 的的最大似然估計值最大似然估計值 . 看作參數看作參數 的函數，它可作為的函數，它可作為 將以多大可將以多大可能產生樣本值能產生樣本值 x1, x2, ,xn 的一種度量的一種度量 .)( L )( L f (x1,x2, xn; ) 而相應的而相應的統(tǒng)計量統(tǒng)計量稱為稱為 的的最大似然估計量最大似然估計量 .1(,)n XX.兩點說

14、明：兩點說明： 1、求似然函數、求似然函數L( ) 的最大值點，可以應用的最大值點，可以應用微積分中的技巧。由于微積分中的技巧。由于ln(x)是是 x 的增函數的增函數, lnL( )與與L( )在在 的同一值處達到它的最大值，假定的同一值處達到它的最大值，假定 是一實數，且是一實數，且lnL( )是是 的一個可微函數。通過的一個可微函數。通過求解方程：求解方程： 可以得到可以得到 的最大似然估計的最大似然估計 . 0)(lndLd 若若 是向量，上述方程必須用方程組代替是向量，上述方程必須用方程組代替 . 2、用上述求導方法求參數的最大似然估計有、用上述求導方法求參數的最大似然估計有時行不通

15、，這時要用最大似然原則來求時行不通，這時要用最大似然原則來求 .故似然函數為故似然函數為:例例 設設X1,X2,Xn是取自總體是取自總體 XB(1, p) 的一個樣的一個樣本，求參數本，求參數p的最大似然估計量的最大似然估計量.11( )(1)iinxxiL ppp 解：解： 011Xpp X的分布律為的分布律為1()(1), 0,1.xxP Xxppx .11ln( )ln( )()ln(1)nniiiiL ppxnxp 對數似然函數對數似然函數為：為：niiniixnxpppL11)1()(niiniixnxpp11)1 (.對對p求導并令其為求導并令其為0，)(111)(ln11niin

16、iixnpxpdppLd=0得得xxnpnii11即為即為 p 的的最大似然估計值最大似然估計值 .從而從而 p 的的最大似然估計量最大似然估計量為為 111 (,)nniip XXXXn . (4) 在最大值點的表達式中在最大值點的表達式中, 用樣本值代入就用樣本值代入就得參數的最大似然估計值得參數的最大似然估計值 .求最大似然估計的一般步驟是：求最大似然估計的一般步驟是： (1) 由總體分布導出樣本的聯(lián)合分布律由總體分布導出樣本的聯(lián)合分布律(或聯(lián)或聯(lián)合密度合密度); (2) 把樣本聯(lián)合分布律把樣本聯(lián)合分布律 ( 或聯(lián)合密度或聯(lián)合密度 ) 中自變中自變 量看成已知常數量看成已知常數,而把參數

17、而把參數 看作自變量看作自變量,得到似然得到似然 函數函數L( ); (3) 求似然函數求似然函數L( ) 的最大值點的最大值點(常常轉化為常常轉化為求求ln L( )的最大值點的最大值點) ，即，即 的最大似然估計的最大似然估計; . 例例: 設總體設總體 X N( ) , 未知未知 . 是來自是來自 X 的樣本值的樣本值 , 試求試求 的最大似然估計量的最大似然估計量 .1,nxx2, 2, 2, 似然函數為似然函數為 解：解：X 的概率密度為的概率密度為 xexfx,21)(222)( 222()211( ,)2ixniL e .222()211( ,)2ixniL e 2222211(

18、2 )()exp() 2nnniix 于是于是22211ln(2 )ln()222niinnLnLx 令令211()0niiLnLxn 2222211()022()niinLnLx .11niixxn 2211()niixxn 解得解得的最大似然估計量為的最大似然估計量為2, ,X 2211()niiXXn .例例: 設總體設總體X在在(a,b)上服從均勻分布上服從均勻分布, a,b未知未知, x1,x2,.,xn是一個樣本值是一個樣本值. 試求試求a,b的最大似然估計量的最大似然估計量. .,0,1),;(其其它它bxaabbaxf,)(1),()()1(bxxaabbaLnn 由于由于a

19、x1,x2,.,xn b等價于等價于a x(1), x(n) b. 似然函數似然函數解：解： 記記x(1)=min(x1,x2,.,xn), x(n)=max(x1,x2,.,xn). X的概率密度是的概率密度是.于是對于滿足條件于是對于滿足條件a x(1), b x(n)的任意的任意a,b有有.)(1)(1),()1()(nnnxxabbaL .max,min1)(1)1(inininixxbxxa 即即L(a,b)在在a=x(1), b=x(n)時取到最大值時取到最大值(x(n)-x(1)-1. 故故a,b的最大似然估計值為的最大似然估計值為a,b的最大似然估計量為的最大似然估計量為.ma

20、x,min11iniiniXbXa .其中其中 0,解解 似然函數為似然函數為niixL11)( 11)( niinx(01)ix對數似然函數為對數似然函數為1ln ( )ln(1)lnniiLnx 1in課堂練習課堂練習: (1)設設X1,X2,Xn是取自總體是取自總體X的一個樣本的一個樣本1,01( )0,xxXf x 其其它它 求求 的的最大似然估計值最大似然估計值. .niixndLd1ln)(ln求導并令其為求導并令其為0=0從中解得從中解得1lnniinx 即為即為 的最大似然估計值的最大似然估計值 . 對數似然函數為對數似然函數為niixnL1ln)1(ln)(ln .(2) 設

21、設X1,X2,Xn是取自總體是取自總體X的一個樣本的一個樣本()1,( ),0,xexXf x 為為未未知知參參數數其其它它其中其中 0,求求 的最大似然估計和矩估計的最大似然估計和矩估計. ,.11()1,min0,niixinex 其其它它對數似然函數為對數似然函數為niixnL1)(1ln),(ln ()11( ,)0,inxiiexL ，其其它它i=1,2,n解：解：(a)最大似然估計。最大似然估計。似然函數為似然函數為.11niixn ln ( ,)Ln 0 (2)由由(1)得得21ln( ,)1()niiLnx =0 (1)對對 分別求偏導并令其為分別求偏導并令其為0,對數似然函數

22、為對數似然函數為11ln( ,)ln()niiLnx .故使故使 達到最大的達到最大的 為為1minLiinx 對對, 0),(,min Lxi),( L 1111min11minLiinnnLiLiiiniiXXXXnn 取其它值時，取其它值時，. 0),( L 且是且是 的增函數的增函數 11()1,min( ,)0,niixinexL 其其它它最后得最大似然估計為最后得最大似然估計為.（b）矩估計。）矩估計。由密度函數由密度函數10(),( ),xexXf x 其其它它 X是具有均值為是具有均值為 的指數分布的指數分布 即即E(X- ) = 2 D(X- )= E(X)= 2 D(X)=

23、 故故知知所以所以.解得解得 2212121AAAAA 矩矩矩矩2212121的矩估計量為的矩估計量為于是于是, 122222( )()( )( )()E xE xE xD x .第二節(jié)第二節(jié)估計量的評選標準估計量的評選標準.樣本均值是否是樣本均值是否是 的一個好的估計量？的一個好的估計量？ (2) 怎樣決定一個估計量是否比另一個估計量怎樣決定一個估計量是否比另一個估計量“好好”？樣本方差是否是樣本方差是否是 的一個好的估計量？的一個好的估計量？2 這就需要討論以下幾個問題這就需要討論以下幾個問題: :(1) 我們希望一個我們希望一個“好的好的”估計量具有什么特性？估計量具有什么特性？(3)

24、如何求得合理的估計量？如何求得合理的估計量？XN( )2, . 關于關于估計量的評選標準估計量的評選標準，我們必須強調指出：，我們必須強調指出： 評價一個估計量的好壞，不能僅僅依據一次試評價一個估計量的好壞，不能僅僅依據一次試驗的結果，而必須由多次試驗結果來衡量驗的結果，而必須由多次試驗結果來衡量 . 這是因為估計量是樣本的函數這是因為估計量是樣本的函數, 是隨機變量是隨機變量 . 因因此，由不同的觀測結果，就會求得不同的參數估計此，由不同的觀測結果，就會求得不同的參數估計值值. 因此一個好的估計，應在多次試驗中體現(xiàn)出優(yōu)良因此一個好的估計，應在多次試驗中體現(xiàn)出優(yōu)良性性 . 常用的幾條標準是：常

25、用的幾條標準是：1無偏性無偏性2有效性有效性3相合性相合性這里我們重點介紹前面兩個標準這里我們重點介紹前面兩個標準 . 估計量是隨機變量，對于不同的樣本值會得到估計量是隨機變量，對于不同的樣本值會得到不同的估計值不同的估計值 . 我們希望估計值在未知參數真值附我們希望估計值在未知參數真值附近擺動，而它的期望值等于未知參數的真值近擺動，而它的期望值等于未知參數的真值. 這就這就引出無偏性這個標準引出無偏性這個標準 . 一、無偏性一、無偏性 )(E則稱則稱 為為 的的無偏估計無偏估計 . 1(,)nXX 設設是未知參數是未知參數 的估計量，若的估計量，若 無偏性的實際意義是指沒有系統(tǒng)誤差無偏性的實

26、際意義是指沒有系統(tǒng)誤差 . 例例1 設總體設總體 X 服從指數分布服從指數分布 , 其概率密度為其概率密度為 1,0,0 ,x exfx 其其它它, ,0 其其中中為未知為未知,X1,X2,Xn是取自總體的一個樣本是取自總體的一個樣本 ,試證試證 和和 都是參數都是參數 的無偏的無偏估計量估計量 .1min(,)nXnZ ZXX （）.證證: ,E X E X 所以所以 是參數是參數 的無偏估計量的無偏估計量 .X而而1min(,)nZXX 具有概率密度具有概率密度 min,0,;0,nx nexfx 其其它它, ,故知故知 ,E Zn E nZ 即即 也是參數也是參數 的無偏估計量的無偏估計

27、量 .nZ.所以無偏估計以方差小者為好所以無偏估計以方差小者為好, 這就引進了這就引進了有效性有效性這一概念這一概念 .的大小來決定二者誰更優(yōu)的大小來決定二者誰更優(yōu) .21()E 和和2 1 一個參數往往有不止一個無偏估計一個參數往往有不止一個無偏估計, 若若 和和都是參數都是參數 的無偏估計量，的無偏估計量，我們可以比較我們可以比較22()E 211()()DE 由于由于222()()DE.二、有效性二、有效性D( ) D( )2 1 則稱則稱 較較 有效有效 .2 1 都是參數都是參數 的無偏估計量，若對任意的無偏估計量，若對任意 ，11(,)nXX 221(,)nXX 1 設設和和 且至

28、少對于某個且至少對于某個 上式中的不等號成立，上式中的不等號成立，.故故 較較 有效有效 .XnZ 例例2 (續(xù)例續(xù)例1) 試證試證 當當 n 1 時時 的無偏估計量的無偏估計量 較較 有效有效 .1min(,)nXnZnXX 證證 2,D X 221111()()nniiiiD XDXD Xnnn 故有故有 22,D Zn 而而故有故有 2.D nZ 當當 n 1 時時 , (),D nZD X .三、相合性三、相合性任意任意 ，當，當 時時 依概率收斂依概率收斂于于 , 則稱則稱 為為 的的相合估計量相合估計量.設設n 是參數是參數 的估計量，若對于的估計量，若對于1(,)n XX1(,)

29、n XX為為 的的相合估計量相合估計量0 對于任意對于任意 , 有有l(wèi)im|1,nP .由辛欽定理由辛欽定理 若總體若總體 的數學期望的數學期望 有限有限, E X X則有則有11nkkiiAXn ()(1,2,)PkkE Xk 12(,)kg A AA12(,)Pkg 其中其中 為連續(xù)函數為連續(xù)函數 .g.故故11nkkiiAXn ()(1,2,)kkE Xk為為 的的相合相合估計量估計量 . 若若 為連續(xù)函數為連續(xù)函數, g12(,)kg A AA12(,)kg 為為 的的相合估計量相合估計量 . 則有則有.第三節(jié)第三節(jié)區(qū)間估計區(qū)間估計.引言引言 前面，我們討論了參數點估計前面，我們討論了

30、參數點估計. 它是用樣本算得它是用樣本算得的一個值去估計未知參數的一個值去估計未知參數. 但是，點估計值僅僅是未知參數的一個近似值，但是，點估計值僅僅是未知參數的一個近似值，它沒有給出這個近似值的誤差范圍，使用起來把它沒有給出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大握不大. 區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷 .我們希望確定一個區(qū)間，使我們能以比較高的我們希望確定一個區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度可靠程度相信它包含真正的參數值相信它包含真正的參數值.這里所說的這里所說的“可靠程度可靠程度”是用概率來度量的是用概率來度量的 ，稱為稱為置信度置信度或或置信水平置信

31、水平. 習慣上把置信水平記作習慣上把置信水平記作 1 ，這里，這里 是一個是一個 很小的正數很小的正數.置信水平的大小是根據實際需要選定的置信水平的大小是根據實際需要選定的.置信水平為置信水平為 1稱區(qū)間稱區(qū)間 為為 的的置信區(qū)間置信區(qū)間. 的的( , ) 例如，通?？扇≈眯潘嚼纾ǔ？扇≈眯潘?=0.95或或0.9等等. 1根據一個實際樣本，由給定的置信水平，我根據一個實際樣本，由給定的置信水平，我小的區(qū)間小的區(qū)間 ，使，使們求出一個盡可能們求出一個盡可能( , ) 1P .一、一、 置信區(qū)間定義置信區(qū)間定義 滿足滿足設設 是是 一個待估參數，給定一個待估參數，給定, 0 X1,X2,

32、Xn確定的兩個統(tǒng)計量確定的兩個統(tǒng)計量則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的的置信水平（置信度置信水平（置信度 )為為 的的置信區(qū)間置信區(qū)間. 1和和 分別稱為分別稱為置信下限置信下限和和置信上限置信上限. 若由樣本若由樣本1P 12(,)n XXX 12(,)n XXX () ( , ) .1. 要求要求 以很大的可能被包含在區(qū)間以很大的可能被包含在區(qū)間 內，就是說，概率內，就是說，概率 要盡可能大要盡可能大 .即要求估計盡量可靠即要求估計盡量可靠. ( , ) P 2. 估計的精度要盡可能的高估計的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間長度如要求區(qū)間長度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準則盡可能短，或能體現(xiàn)該要

33、求的其它準則. 目標：目標：.在求置信區(qū)間時，要查表求分位點在求置信區(qū)間時，要查表求分位點.二、置信區(qū)間的求法二、置信區(qū)間的求法 設設 , 對隨機變量對隨機變量X，稱滿足，稱滿足的點的點 為為X的概率分布的的概率分布的上上 分位點分位點. x01()P Xx 定義定義()1P Xx. 標準正態(tài)分布的標準正態(tài)分布的上上 分位點分位點z()P Xz (0,1)XN z. 分布的上分布的上 分位數分位數 )(2n 2 自由度為自由度為n的的 22( )P n 22( )n .F分布的上分布的上 分分位數位數 ),(21nnF 自由度為自由度為n1,n2的的 12(,)FF n n 12(,)P FF

34、 n n . N(0, 1)求參數求參數 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 例例1 設設X1,Xn是取自是取自 的樣本，的樣本， ,2已知 ),(2 N 1Xn 由由于于明確問題是明確問題是求什么參數求什么參數的置信區(qū)間的置信區(qū)間?置信水平是置信水平是多少？多少？解解 尋找一個待估參數和尋找一個待估參數和統(tǒng)計量的函數統(tǒng)計量的函數 ，要求，要求其分布為已知其分布為已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出取值于任意區(qū)間的概率取值于任意區(qū)間的概率.221P XzXznn 從中解得從中解得,1 對給定的置信水平對給定的置信水平查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得2,z 2|1XPzn 使使2

35、2,XzXznn 也可簡記為也可簡記為2()Xzn 于是所求于是所求 的的 置信區(qū)間為置信區(qū)間為 0 /2z/2/2 /2 z/2/2.如果取如果取 =0.05, 即即1 =0.95, 又若又若 =1, n=16, 查表查表得得z /2=z)7 .4().49.0(,96.1161 XX即即再者再者, 若由一個觀察值算得樣本均值的觀察值若由一個觀察值算得樣本均值的觀察值 x =5.20, 則得到一個區(qū)間則得到一個區(qū)間 0.49), 即即 (4.71, 5.69)/2Xzn.最后得到的區(qū)間最后得到的區(qū)間(4.71,5.69)已經不是隨機區(qū)已經不是隨機區(qū)間了間了, 但我們仍稱它為置信水平為但我們仍

36、稱它為置信水平為0.95的置的置信區(qū)間信區(qū)間. 其含義是其含義是: 若反復抽樣多次若反復抽樣多次, 每個樣每個樣本值本值(n=16)按按(4.7)式確定一個區(qū)間式確定一個區(qū)間, 按上面按上面的解釋的解釋, 在這么多的區(qū)間中在這么多的區(qū)間中, 包含包含 的約占的約占95%, 不包含不包含 的約僅占的約僅占5%. 現(xiàn)在抽樣得到區(qū)現(xiàn)在抽樣得到區(qū)間間(4.71,5.69), 則該區(qū)間屬于那些包含則該區(qū)間屬于那些包含 的區(qū)的區(qū)間的可信程度為間的可信程度為95%, 或或該區(qū)間包含該區(qū)間包含 這一這一陳述的可信度為陳述的可信度為95%.區(qū)間估計的圖示區(qū)間估計的圖示.求置信區(qū)間的一般步驟求置信區(qū)間的一般步驟:

37、(1) 尋求一個參數尋求一個參數 和和樣本樣本X1,X2,.,Xn的函數的函數: W=W(X1,X2,.,Xn; ), 使使W的分布已知且不依賴參數的分布已知且不依賴參數 和其他和其他未知參數。未知參數。(稱具有這種性質的稱具有這種性質的W為為樞軸量樞軸量)(2) 對于給定的置信水平對于給定的置信水平1 , 定出兩個常數定出兩個常數a,b, 使使 PaW(X1,X2,.,Xn; )b)=1 ;(3) 從從aW(X1,X2,.,Xn; )b求得等價的不等式求得等價的不等式 , 其中其中 = (X1,X2,.,Xn), =(X1,X2,.,Xn)都是統(tǒng)計量都是統(tǒng)計量, 則則( ,)就是就是 的一個

38、置信水平為的一個置信水平為1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.函數函數W(X1,X2,.,Xn; )的構造的構造, 通?？梢詮耐ǔ？梢詮?的點估的點估計著手考慮計著手考慮. . 需要指出的是，給定樣本，給定置信水平需要指出的是，給定樣本，給定置信水平 ，置信區(qū)間置信區(qū)間也也不是唯一不是唯一的的. .對同一個參數，我們可以構造許多置信區(qū)間對同一個參數，我們可以構造許多置信區(qū)間. .2, 已已 知知 例如，設例如，設 X1 , , Xn 是取自是取自 的樣本的樣本 ， ),(2 N求參數求參數 的置信水平為的置信水平為 的置的置 1N(0, 1)Xn 0.95 信區(qū)間信區(qū)間.12,az 2.bz 1 23,

39、az 3.bz ()1XP abn 通常通常取法取法我們總是希望置信區(qū)間盡可能短我們總是希望置信區(qū)間盡可能短. .在概率密度為單峰且對稱的情形，當在概率密度為單峰且對稱的情形，當a =-b時求得的時求得的置信區(qū)間的長度為最短置信區(qū)間的長度為最短. . 即使在概率密度不對稱的情形，如即使在概率密度不對稱的情形，如 分布分布，F(xiàn)分布分布，習慣上仍取對稱的分位點來確定置信區(qū)間，習慣上仍取對稱的分位點來確定置信區(qū)間. .2 )(22n)(221n)(xfx)(2nX . 也就是說，要想得到的區(qū)間估計可靠度高，也就是說，要想得到的區(qū)間估計可靠度高，區(qū)間長度就長，估計的精度就差區(qū)間長度就長，估計的精度就差

40、. .這是一對矛盾這是一對矛盾. . 實用中一般實用中一般在保證足夠可靠的前提下，盡量在保證足夠可靠的前提下，盡量使得區(qū)間的長度短一些使得區(qū)間的長度短一些 . 我們可以得到未知參數的的任何我們可以得到未知參數的的任何置信水平小置信水平小于于 1 的的置信區(qū)間，并且置信區(qū)間，并且置信水平越高，相應的置信水平越高，相應的置置信區(qū)間信區(qū)間平均長度平均長度越長越長. .第四節(jié)第四節(jié)正態(tài)總體均值與方差正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計的區(qū)間估計.一、單個總體一、單個總體 的情況的情況2( ,)N 2( ,),XN 并設并設 為來自總體的為來自總體的 1,nXX樣本樣本 ,2,X S分別為樣本均值和樣本方差分別

41、為樣本均值和樣本方差 .均值均值 的置信區(qū)間的置信區(qū)間1.(0,1)XNn 可得到可得到 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1 222(,) ()XzXzXznnn 或或 2(1) 已已知知.(1)Xt nSn 可得到可得到 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1 此分布不依賴于此分布不依賴于任何未知參數任何未知參數2|(1)1XPtnSn 由由22(1),(1)SSXtnXtnnn2(1)SXtnn或或2(2) 未未知知. 例例1: 有一大批糖果有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機地取現(xiàn)從中隨機地取 16 袋袋 , 稱得重量稱得重量(以克計以克計)如下如下: 506 5

42、08 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496設袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布設袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,試求總體試求總體均值均值 的置信水平的置信水平0.95為的置信區(qū)間為的置信區(qū)間.解：解：10.95,20.025,115,n 0.025(15)2.1315.t 1611503.75 ,16iixx 16211()6.2022.15iisxx 2(1)(500.4,507.1)sxtnn 于是得到于是得到 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 0.95.方差方差 的置信區(qū)間的置信區(qū)間22.222(

43、1)(1)nSn 2221222(1)(1)(1)1nSP nn 由由可得到可得到 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1 2222212(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn 2還可得到標準差還可得到標準差 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1 2221211(,)(1)(1)nSnSnn (1) 未未知知.0(2) 已已知知20212()( )niiXn 202211222()( )( )1niiXPnn 由由可得到可得到 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1 22001122212()(), ( )( )nniiiiXXnn 2. 例例2

44、: 有一大批糖果有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機地取現(xiàn)從中隨機地取 16 袋袋 , 稱得重量稱得重量(以克計以克計)如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496設袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布設袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,試求總體試求總體標準差標準差 的置信水平為的置信水平為0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間.于是得到于是得到 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為0.952221211(,)(4.58,9.60).(1)(1)nsnsnn 解：解：20.025,120.975,115,n20.

45、025(15)27.488, 20.975(15)6.262. 16211()6.2022.15iisxx .二、兩個總體二、兩個總體 的情況的情況211(,),N 222(,)N 設已給定置信水平為設已給定置信水平為 , 并設并設 1 112,nXXX是來自第一個總體的樣本是來自第一個總體的樣本 , 212,nY YY是來自第二是來自第二個總體的樣本個總體的樣本 ,這兩個樣本相互獨立這兩個樣本相互獨立 .且設且設 分別分別,X Y為第一、二個總體的樣本均值為第一、二個總體的樣本均值 , 2212,SS為第一、二為第一、二個總體的樣本方差個總體的樣本方差 . .12221212()()(0,1

46、)XYNnn 兩個總體均值差兩個總體均值差 的置信區(qū)間的置信區(qū)間12 1.2212(1) , ,已已知知2212212()XYznn 于是得到于是得到 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1 12 .121212()()(2)11XYt nnSnn 其中其中222112212(1)(1).2nSnSSnn 222212(2) = = =, ,未未知知2121211(2)XYtnnSnn于是得到于是得到 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1 12 .兩個總體方差比兩個總體方差比 的置信區(qū)間的置信區(qū)間22122.( 未知未知 )12, 2212122212(1,1)S

47、SF nn 221212122122212(1,1)(1,1)1SSP FnnFnn 由由可得到可得到 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1 221222112222122121211, (1,1)(1,1)SSS FnnS Fnn . 例例3 為比較為比較 I , 兩種型號步槍子彈的槍口兩種型號步槍子彈的槍口速度速度 ,隨機地取隨機地取 I 型子彈型子彈 10 發(fā)發(fā) ,得到槍口速度的平得到槍口速度的平 均值均值 為為 標準差標準差 隨隨機地取機地取 型子彈型子彈 20 發(fā)發(fā) ,得到槍口速度的平均值為得到槍口速度的平均值為 標準差標準差 假設兩總假設兩總體都可認為近似地服從正態(tài)

48、分布體都可認為近似地服從正態(tài)分布.且生產過程可認且生產過程可認為方差相等為方差相等 .求兩總體均值差求兩總體均值差 的置信水平為的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.1500(),xm s 211.10(),sm s 2496() ,xm s 221.20().sm s 12 .解解:122121211(2)xxtnnsnn 依題意依題意 , 可認為分別來自兩總體的樣本是可認為分別來自兩總體的樣本是相互獨立的相互獨立的.又因為由假設兩總體的方差相等又因為由假設兩總體的方差相等 ,但數但數值未知值未知 ,故兩總體均值差故兩總體均值差 的置信水平為的置信水平為的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為12

49、1 其中其中2,ss 222112212(1)(1).2nsnssnn .這里這里121220.025,10,20,228,nnnn 0.025(28)2.048.t 1.1688.s 故兩總體均值差故兩總體均值差 的置信水平為的置信水平為0.95 的置信區(qū)的置信區(qū)間為間為12 1500,x 2496,x 122121211(2)xxtnnsnn (40.93)即即 (3.07, 4.93) . 例例4 研究由機器研究由機器 A 和機器和機器 B 生產的鋼管的內生產的鋼管的內徑徑 , 隨機地抽取機器隨機地抽取機器 A生產的鋼管生產的鋼管18只只 , 測得樣本測得樣本方差方差 隨機地取機器隨機地

50、取機器 B 生產的鋼管生產的鋼管13只只 ,測得樣本方差測得樣本方差 設兩樣本相互設兩樣本相互獨立獨立 , 且設由機器且設由機器 A 和機器和機器 B 生產的鋼管的內徑生產的鋼管的內徑分別服從正態(tài)分布分別服從正態(tài)分布 這里這里 (i =1,2) 均未知均未知 .試求方差比試求方差比 的置信水平為的置信水平為 0.90 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.2210.34();smm 2,ii 2220.29() .smm 221122,N N 2212.這里這里0.10,20.05,120.95, 0.05(17,12)2.59,F 即即 (0.45 , 2.79) .22112218,0.34,13,0.2

51、9.nsns 解解0.950.0511(17,12).(12,17)2.38FF故兩總體方差比故兩總體方差比 的置信水平為的置信水平為0.90 的置信區(qū)的置信區(qū)間為間為2212222111222221222121211()(1,1)(1,1)SSS FnnS Fnn .第五節(jié)第五節(jié)單側的置信區(qū)間單側的置信區(qū)間. 前面講述的置信區(qū)間中置信限都是雙側的，前面講述的置信區(qū)間中置信限都是雙側的，但對于有些實際問題，人們關心的只是參數在一但對于有些實際問題，人們關心的只是參數在一個方向的界限個方向的界限. 例如對于設備、元件的使用壽命來說，平均壽命例如對于設備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題

52、，過短就有問題了過長沒什么問題，過短就有問題了.這時這時, 可將置信上限取為可將置信上限取為+ ，而只著眼于置信下，而只著眼于置信下限限 ，這樣求得的置信區(qū)間叫，這樣求得的置信區(qū)間叫單側置信區(qū)間單側置信區(qū)間.單側置信區(qū)間和置信限的定義：單側置信區(qū)間和置信限的定義：設設 是是 一個待估參數，給定一個待估參數，給定 滿足滿足, 0 若由樣本若由樣本X1,X2,Xn確定的統(tǒng)計量確定的統(tǒng)計量則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平為的置信水平為 的的單側置單側置信區(qū)間信區(qū)間. 1定義定義12(,)n XXX 1P ,) 稱為稱為 的置信水平為的置信水平為 的的單側置信單側置信下限下限. 1 對于任意對于任意

53、 ,.滿足滿足若由樣本若由樣本X1,X2,Xn確定的統(tǒng)計量確定的統(tǒng)計量 則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平為的置信水平為 的的單側置單側置信區(qū)間信區(qū)間. 112(,)n XXX 1P (, 稱為稱為 的置信水平為的置信水平為 的的單側置信單側置信上限上限. 1 對于任意對于任意 ,.解：解：設燈泡壽命服從正態(tài)分布設燈泡壽命服從正態(tài)分布. 求燈泡壽命均值求燈泡壽命均值 的的置信水平為置信水平為0.95的單側置信下限的單側置信下限. 例：例： 從一批燈泡中隨機抽取從一批燈泡中隨機抽取5只作壽命試只作壽命試驗，測得壽命驗，測得壽命X（單位：小時）如下：（單位：小時）如下：1050，1100，1120

54、，1250，1280 ) 1(ntnSX . 對給定的置信水平對給定的置信水平 ，確定分位點，確定分位點) 1( nt 1 1)1(ntnSXP使使即即 1) 1(nSntXP于是得到于是得到 的置信水平為的置信水平為 的單側置信區(qū)間的單側置信區(qū)間為為 1,) 1(nSntX .計算得計算得 的置信水平為的置信水平為0.95的單側置信下限是的單側置信下限是1065小時。小時。代入樣本值得：代入樣本值得： 1 n=5 t (n 1)=tx=1160,s2=9950 的置信水平為的置信水平為 的單側置信下限為的單側置信下限為 1即即nSntX) 1( .習題習題.一一填填空空題題：(),E Xnp

55、 1 1解解： 由由 2222()()()(1),E XD XEXnppnp 2111,p 得得212112,n .211,nSnpX 于于是是22,1XnnXSn 2111,niiXnpXX 故故2221,1niiXnXXXn .10( )0 xf x 解解： 由由其其它它10,1,2,( )0inxinL 似似然然函函數數其其它它. 1110minmax,( )0iini ni nxxL 即即其其它它 1maxii nx .20.9 2 2解解：已已知知，2Xzn 置信區(qū)間置信區(qū)間5,9,0.9,0.05xn 而而，0.02521.96zz 20.588zn 故故置信區(qū)間為置信區(qū)間為 4

56、412,5.588. .1)設設12,nXXX 是是取取自自總總體體X的的一一個個簡簡單單樣樣本本，則則2()E X的的矩矩估估計計是是（A）22111()1niiSXXn （B）22211()niiSXXn （C）221SX （D）222SX 二、二、 選擇題：選擇題：2()E X 2 2解解：由由D22211()niiE XAXn 故故222211niiSXXn 而而.解解：B2Xzn 置信區(qū)間為置信區(qū)間為依題意，區(qū)間長度依題意，區(qū)間長度 222222415.3664nzLL 所所以以20.05,1.96z 而而由由22zLn .C3）設設12,nXXX 為為總總體體X的的一一個個隨隨機機樣樣本本，2(),()E XD X ， 12211()niiiCXX 為為 2 的的無無偏偏估估計計，則則 C （A）1n （B）11n （C） 121n （D）12n 解解： 2E 1211niiiE CXX 1221112niiiiiC