材料力學(xué)-壓桿穩(wěn)定ppt課件

1、構(gòu)件的承載才干：強度剛度穩(wěn)定性 工程中有些構(gòu)件具有足夠的強度、剛度，卻不一定能平安可靠地任務(wù)。9.1 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡 ：1. 不穩(wěn)定平衡2. 穩(wěn)定平衡壓桿失穩(wěn)實驗圖P1PcrP2=Pcr(1) 在桿端加P1小于某個臨界值Pcr,鋼條能堅持直線位置平衡形狀。加干擾：用手指橫向推進(jìn)桿端，這時鋼條彎了，但手指一分開，鋼條就來回擺動，最后回到原來的直線位置堅持平衡。我們說，桿件在P1的作用下處于穩(wěn)定的平衡形狀，此時的平衡具有抗干擾性。P1Pcr(2) 當(dāng)P2等于某個臨界值Pcr時，只需一加干擾，桿件將彎曲，干擾去掉后，桿件堅持在微彎形狀下的平衡，不

2、再回到原來的直線平衡方式，我們說桿原來的直線平衡形狀是不穩(wěn)定的。P2=Pcr由穩(wěn)定的平衡形狀過渡到不穩(wěn)定的平衡形狀稱為失穩(wěn)。P Pcr 壓桿處于穩(wěn)定平衡 P = Pcr 壓桿失穩(wěn)Pcr 臨界壓力 臨界力工程實踐中的壓桿不允許失穩(wěn)。 對于穩(wěn)定問題，關(guān)鍵是求出臨界壓力Pcr，這樣，只需任務(wù)壓力小于臨界壓力，就不會發(fā)生失穩(wěn)問題。9.2.1 兩端簡支細(xì)長桿的臨界壓力兩端簡支細(xì)長桿的臨界壓力如前所述，臨界壓力Pcr是這樣一個值：當(dāng)P Pcr ，桿能堅持直線平衡形狀 ；當(dāng)P = Pcr ，桿處于微彎平衡形狀 ；Pcr是桿件維持微彎平衡形狀的最小壓力。9.2 細(xì)長壓桿的臨界力細(xì)長壓桿的臨界力假定壓力已到達(dá)臨

3、界值，桿曾經(jīng)處于微彎形狀，從撓曲線入手，求此時的臨界力。假定：桿件已發(fā)生微小彎曲變形(如圖示)，yPcrPcrLx代入撓曲線近似微分方程，EIv = M = Pcrv EIv + Pcrv = 00crPvvEI2c rPkE I記 二階常系數(shù)齊次線性微分方程由平衡條件，易得： M(x) = Pcrv(x)v + k2v = 0PcrxMxyvPcrLyxPcrPcr通解： v = C1sinkx + C2coskx邊境條件：x = L： v( L) = 0v(0) = C1sin(k0) + C2cos(k0) = C2 = 0 v = C1sinkx v(L) = C1sinkL= 0 x

4、 = 0 v( 0 ) = 0LyxPcrPcr C1 0 否那么 v 0 與假設(shè)矛盾 sinkL = 0有： kL = n n = 0，1，2，nkL即22c rPnkE IL22()c rE InPLLyxPcrPcr臨界壓力為維持微彎平衡形狀的最小軸向壓力2cr2EIPL 歐拉公式桿件失穩(wěn) 由直線變成曲線1sinvCxL(0 xl) 半個正弦波9.2.2 常見各種桿端約束下細(xì)長桿的臨界壓力常見各種桿端約束下細(xì)長桿的臨界壓力歐拉公式歐拉公式 壓桿的長度系數(shù)壓桿的長度系數(shù)例 求一端固定，一端自在細(xì)長桿的臨界壓力。由平衡條件M(x) = Pcr( v)代入撓曲線近似微分方程EIv = M(x)

5、=Pcr( v)vMPcrLxxvyPcr EIv + Pcrv = Pcrv + k2v = k2通解為 v = C1sinkx + C2coskx + 邊境條件:x = 0： v (0) = 0 x = L： v (L ) = v(0) = C1sin(k0) + C2cos(k0) + = 0 x = 0： v (0) = 02crPkEILxxvyPcr C2 + = 0 C2 = v (0) = kC1cos(k0) kC2sin(k0) = 0 kC1 = 0v (x) = kC1coskx kC2sinkx 20crPkEI C1 = 0v(x) = (1 coskx)Lxxvy

6、Pcrv(l) = (1 coskL) = 212nkLn = 0，1，2，22212nkL2212crnPEILn = 0，1，2，2cr2(2 )EIPL( )1cos2v xxL( 0 x L )v(L)=0cos0 kL cos0kLLxxvyPcrALB半個正弦波MA=MB=0MA=MA =0相當(dāng)長為2L的兩端簡支桿對比：22(2 )crEIPL22crEIPLAALL個正弦波41 圖形比較：失穩(wěn)時撓曲線上拐點處的彎矩為0，故可想象此處有一鉸，而將壓桿在撓曲線上兩個拐點間的一段看成為兩端鉸支的桿，利用兩端鉸支的臨界壓力公式，就可得到原支承條件下的臨界壓力公式。兩拐點間的長度 L 稱為

7、原壓桿的相當(dāng)長度，即相當(dāng) L 這么長的兩端鉸支桿。22cr(0.5)EIPL兩端固定L0.5LPcr一端固定，一端鉸支兩端固定PcrL0.7L22cr(0.7)EIPL22cr(0.5)EIPLPcrL0.5L 不同約束情況下，細(xì)長桿的臨界壓力歐拉公式可一致寫成：2cr2()EIPL兩端鉸支 = 1一端固定，一端自在 = 2一端固定，一端鉸支 = 0.7兩端固定 = 0.5 常見約束壓桿長度系數(shù)及臨界壓力常見約束壓桿長度系數(shù)及臨界壓力 Pcr =2 22cr(0.7)EIPL22cr(0.5)EIPLPcrL0.7L 0.7PcrL0.5L =0.5L =1 LPcr22crEIPL22cr(

8、2)EIPL問題：壓桿為空間實體，在軸向力作用下問題：壓桿為空間實體，在軸向力作用下假設(shè)失穩(wěn)，它朝哪個方向彎？假設(shè)失穩(wěn)，它朝哪個方向彎？y=f (x)yzxz=f (x)yxxz平面內(nèi)彎xy平面內(nèi)彎z繞z軸轉(zhuǎn)動截面繞y軸轉(zhuǎn)動臨界壓力公式中的I是對哪根軸的I？Pcr維持微彎平衡形狀最小的壓力各方向約束情況一樣時：為常數(shù)，IImin 最小形心主慣性矩各方向約束情況不同時：使Pcr最小的方向為實踐彎曲方向，I為撓曲時橫截面對其中性軸的慣性矩。朝哪個方向彎APcrcril記22crE 歐拉公式：柔度，長細(xì)比2222cr222()()EIEiElAlli對細(xì)長桿9.3 歐拉公式的運用范圍歐拉公式的運用范

9、圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖cr p歐拉公式成立的條件：PE22crPPE 即歐拉公式適用范圍 pQ235 鋼，E=206GPa p = 200MPa962061010020010PPE 0 s 稱為小柔度桿，cr = ss p 稱為中柔度桿，cr = a-b BCAcrDcr=ab22Ecrcr=sspsPO表表9-1 常用資料的常用資料的a、b和和p值值材 料a(MPa)b(MPa) pA3鋼s=235MPa3041.12102優(yōu)質(zhì)碳s=306MPa4612.56895鑄 鐵332.21.45470木 材28.70.19080p y 假設(shè)木柱失穩(wěn)，將在垂直于屏幕平面內(nèi)繞 z 軸失穩(wěn)。229

10、610 101108 10ppEz p 應(yīng)采用歐拉公式計算 229cr2263.1410 10121 6.734 10 Pa6.734MPaE66crcr36.734 10120200 10 162 10 N162kNPA (b)Pl=7mh=200h=200b=120yzxy0CM9-2 圖示托架中桿AB的直徑d = 40mm，長度l = 800mm，兩端可視為球鉸鏈約束，資料為Q235鋼，試：求托架的臨界載荷FPcr。解：解： (圖(a) (a)C B D qABF PF qsin600900PABFF ABABFFF67sin32Pq47sinq1 80080,10pli2crcrcr2

11、4 218.840275kN4ABdFA7106kN6PcrABcrFFcr310 1.14218.8MPa,10mm,4di 中柔度桿d = 40mm，l = 800mm，兩端球鉸，資料為Q235鋼思索一定的平安貯藏，穩(wěn)定條件為：stcrnPP P：任務(wù)壓力Pcr：臨界壓力nst：額定平安系數(shù)crstPnnP )(cr實際安全系數(shù)：工作安全系數(shù)PPn nst： 額定平安系數(shù)9.4 壓桿的穩(wěn)定計算壓桿的穩(wěn)定計算 提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措施穩(wěn)定條件也可用平安系數(shù)表達(dá)為：穩(wěn)定許用應(yīng)力：穩(wěn)定許用應(yīng)力：t srcrcn式中式中nst為穩(wěn)定平安系數(shù)。為穩(wěn)定平安系數(shù)。注：注：1. 通常通常n

12、st隨著柔度隨著柔度的增大而增大。的增大而增大。2.穩(wěn)定平安系數(shù)普通比強度平安系數(shù)要大些。例如對穩(wěn)定平安系數(shù)普通比強度平安系數(shù)要大些。例如對于普通鋼構(gòu)件，其強度平安系數(shù)規(guī)定為于普通鋼構(gòu)件，其強度平安系數(shù)規(guī)定為1.41.7，而，而穩(wěn)定平安系數(shù)規(guī)定為穩(wěn)定平安系數(shù)規(guī)定為1.52.2，甚至更大。，甚至更大。 3.截面的部分減弱對整個桿件的穩(wěn)定性影響不大，因截面的部分減弱對整個桿件的穩(wěn)定性影響不大，因此在穩(wěn)定計算中橫截面面積普通取毛面積計算。此在穩(wěn)定計算中橫截面面積普通取毛面積計算。 穩(wěn)定計算的普通步驟： 分別計算各個彎曲平面內(nèi)的柔度y 、z ，從而得到max； 計算s 、p ，根據(jù)max確定計算壓桿臨

13、界壓力的公式，小柔度桿cr= s，中柔度桿cr= ab，大柔度桿 計算Pcr= crA，利用穩(wěn)定條件22crEstcrnPP進(jìn)展穩(wěn)定計算。BCAcrDcr=ab22Ecrcr=sspsPOF3mCB3.5m2mADp=200MPa， s=240MPa，E=206GPa，穩(wěn)定平安系數(shù)為nst=3。試求允許荷截F。解： 由桿ACB的平衡條件易求得外力F與CD桿軸向壓力的關(guān)系為：2525FNFN XAACNFBYA3m2mF3mCB3.5m2mAD )(6444dDI124410)80100(64642.9 10 m2222632()(10080 ) 102.8 10 m44ADd632.9 100

14、.032m2.8 10IiA立柱CD為外徑D=100mm，內(nèi)徑d=80mm的鋼管F3mCB3.5m2mAD兩端鉸支 =1109032. 05 . 31il2pp296200 10 100200 10E p資料為Q235鋼,p=200MPa，s=240MPa，E=206GPa。F3mCB3.5m2mAD 可用歐拉公式 269222cr5 . 3109 . 210200)(lEIPcr3PnNcr467156kN33PN2 62.4kN5FN3467 10 N467kN156kNN 由穩(wěn)定條件642.9 10 m ,25IFNF3mCB3.5m2mAD 工程中為了簡便起見，對壓桿的穩(wěn)定計算還常采用

15、折減系數(shù)法。即將資料的緊縮許用應(yīng)力乘上一個小于1的折減系數(shù)作為壓桿的許用臨界應(yīng)力，即：cr = 1，稱為折減系數(shù)crstcrnPP crstcrstcrnAnPAPAP或?qū)懗蒔： 任務(wù)壓力； ： 折減系數(shù)； A： 橫截面面積； ：資料抗壓許用值。根據(jù)穩(wěn)定條件留意：壓桿的折減系數(shù)留意：壓桿的折減系數(shù)或柔度或柔度受截面外形和尺受截面外形和尺寸的影響，通常采用試算法求解。寸的影響，通常采用試算法求解。表表15-2 壓桿壓桿的穩(wěn)的穩(wěn)定系定系數(shù)數(shù)=L/i3號鋼16Mn鋼鑄 鐵木 材010201.0000.9950.9811.0000.9930.9731.000.970.911.000.990.97304

16、00.9580.9270.9400.8950.810.690.930.8750600.8880.8420.8400.7760.570.440.800.7170800.7890.7310.7050.6270.340.260.600.48901000.6690.6040.5460.4680.311101200.5360.4660.3840.325-0.260.221301400.4010.3490.2790.242-0.180.161501600.3060.2720.2130.188-0.140.121701800.2430.2180.1680.151-0.110.1019

17、02000.1970.1800.1360.124-0.090.08ldP直徑為d=0.04m，資料為Q235鋼，強度許用應(yīng)力=160MPa，符合鋼構(gòu)造設(shè)計規(guī)范(GBJ1788) 中b類桿件要求，最大起分量為P=80kN，試校核該絲桿的穩(wěn)定性。解：首先計算該壓桿柔度，該絲桿可簡化為圖示下端固定，上端自在的壓桿。24dAIi754/04.0375.024dlil查表124， = 0.72362801088.51088.5MPa160MPa0.040.724PA故此千斤頂穩(wěn)定性足夠。Pl=0.375m例題例題 95 圖示兩端鉸支的鋼柱，知長度圖示兩端鉸支的鋼柱，知長度l=2m，接，接受軸向壓力受軸向

18、壓力F=500kN，試選擇工字鋼截面，資料的，試選擇工字鋼截面，資料的許用應(yīng)力許用應(yīng)力=160MPa。 例題例題94圖圖yzxFlz解：由穩(wěn)定條件不能同時確定兩個未知量解：由穩(wěn)定條件不能同時確定兩個未知量A與與，因此必需采用試算法。，因此必需采用試算法。1第一次試算：假設(shè)第一次試算：假設(shè) =0.5，由穩(wěn)定條，由穩(wěn)定條件有：件有：246311m105 .62101605 . 010500FA查型鋼表，試選查型鋼表，試選28b號工字鋼，其橫截面號工字鋼，其橫截面面積為面積為 ，最小慣性半徑為，最小慣性半徑為 ，于是，于是.2161 5cmA min. 2 49cmyii .121 2802 49

19、10yli 查折減系數(shù)表得查折減系數(shù)表得 ，由于，由于 與與 相差較大，相差較大，因此必需進(jìn)展第二次試算。因此必需進(jìn)展第二次試算。731. 0111yzxFlz616. 0)731. 05 . 0(21)(21112246322m1073.5010160616. 010500FA根據(jù)穩(wěn)定條件有：根據(jù)穩(wěn)定條件有： 2第二次試算：假設(shè)第二次試算：假設(shè)再選再選25a號工字鋼，其橫截面面積為號工字鋼，其橫截面面積為 ， 最小慣性半徑為最小慣性半徑為 ，于是：，于是：.2248 5cmA min. 2 40cmyii 831040. 22122yil查折減系數(shù)表并插值查折減系數(shù)表并插值712. 0103

20、)731. 0669. 0(731. 02由于由于 與與 仍相差較大，故還需進(jìn)展第三次試算。仍相差較大，故還需進(jìn)展第三次試算。22yzxFlz根據(jù)穩(wěn)定條件有：根據(jù)穩(wěn)定條件有： 3第三次試算：假設(shè)第三次試算：假設(shè)再選再選22b號工字鋼，其橫截面面積為號工字鋼，其橫截面面積為 ，最小慣性半徑為最小慣性半徑為 ，于是：，于是：2346.4cmA min2.27cmyii321 2882.27 10yli380.731(0.6690.731)0.68110 ()( .).322110 6160 7120 66422 24633m1006.4710160664. 010500FAyzxFlz此時此時 與

21、與 曾經(jīng)相差不大，可以進(jìn)展穩(wěn)定校核。曾經(jīng)相差不大，可以進(jìn)展穩(wěn)定校核。33MPa158.2Pa102 .158104 .46681. 01050064333AF最后選定最后選定22b號工字鋼。號工字鋼。 例題例題96 圖示托架中的圖示托架中的AB桿為桿為16號工字鋼，號工字鋼，CD桿桿由兩根由兩根506等邊角鋼組成。知等邊角鋼組成。知l=2m，h=1.5m，資料，資料為為Q235鋼，其許用應(yīng)力鋼，其許用應(yīng)力 = 160 MPa，試求該托架，試求該托架的許用荷載的許用荷載F。 DCFlhABl/2023sin,0lFlFMCDA34sin,cos5552CDFF解：首先思索解：首先思索AB桿的平衡

22、圖桿的平衡圖a圖(a)ABCFFCD1641052. 15 . 212minilCDCD260. 0104)272. 0243. 0(272. 0CD1. 由由CD桿的穩(wěn)定性確定許用荷載桿的穩(wěn)定性確定許用荷載kN3 .47N103 .471016010688. 52260. 0364CDCDCDAF圖(b)M圖Fl/2+2F圖(c)FN圖由此可得：由此可得：kN9 .1852CDFF2. 由由AB桿的強度確定許用荷載桿的強度確定許用荷載 AB桿為拉彎組合受力形狀，其桿為拉彎組合受力形狀，其彎矩圖和軸力圖分別如圖彎矩圖和軸力圖分別如圖b和圖和圖c所示?？梢娝??？梢奀左側(cè)截面為危險截面左側(cè)截面為

23、危險截面，由此可以建立強度條件。，由此可以建立強度條件。 NACmaxWMAFCABlFMFFFCCDAC21,2cosN2/2WFlAFABkN20.4N104 .201014122101 .26210160223646WlAFAB經(jīng)過比較經(jīng)過比較1和和2可知，該托架的許用荷載為可知，該托架的許用荷載為F=18.9kN。 c rc rLPi由 于或其中， 約束加強， L 支座數(shù)目， i 截面慣性矩I 思緒分析：思緒分析： , LLii而或因此，為了提高壓桿的穩(wěn)定性可從三各方面著手：(1)選擇合理的截面外形； (2)減小壓桿的自在長度； (3)改善桿端的約束情況及合理選用資料。合理截面是使壓桿

24、的臨界壓力盡能夠大的截面。從橫截面的角度，要使小，只需i增大，即截面I大。IiA在面積不變的情況下，盡能夠使 I 增大； 盡能夠使各方向值相等。選擇合理的截面外形選擇合理的截面外形分支整 當(dāng)壓桿兩端的約束在各個方向一樣時，要使各方向值相等，即y= z，應(yīng)使截面兩個形心主慣性矩具有Iy= Iz，較為合理。 當(dāng)壓桿兩端的約束在各個方向不同時，合理截面應(yīng)該是IyIz ，以保證有y= z。 當(dāng)多根壓桿串連時，要求即整體與分支具有一樣的穩(wěn)定性。減小壓桿的自在長度減小壓桿的自在長度PcrL2PcrL / 2L / 2改善桿端的約束情況及合理選用資料改善桿端的約束情況及合理選用資料 *桿端約束剛性越強,壓桿

25、的長度系數(shù)越小,相應(yīng)的柔度就越 低, 臨界力就越大,因此盡能夠加強桿端約束的剛性,可使壓 桿的穩(wěn)定性得到提高。 Pcr50.*合理的選用資料對提高壓桿的穩(wěn)定性也能起到一作用Pcr2Pcr1一、概一、概 述述幾何法：幾何法：應(yīng)應(yīng) 力力應(yīng)應(yīng) 變變變變 形形外外 力力物理方程物理方程平衡方程平衡方程幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程能量法出發(fā)點：能量法出發(fā)點： 能量守恒與轉(zhuǎn)換原理。能量守恒與轉(zhuǎn)換原理。彈性體承載時，加力點發(fā)生位移彈性體承載時，加力點發(fā)生位移荷載做功，荷載做功，W彈性體變形彈性體變形儲存變形能應(yīng)變能，儲存變形能應(yīng)變能， U略去在該過程中的微量能量損耗，那么由能量守恒略去在該過程中

26、的微量能量損耗，那么由能量守恒與轉(zhuǎn)換原理，得：與轉(zhuǎn)換原理，得：外力功外力功 = 變形能變形能 W = U由能量的觀念出發(fā)建立荷載與變形間關(guān)系的方法由能量的觀念出發(fā)建立荷載與變形間關(guān)系的方法稱為能量方法。稱為能量方法。二、變形能的計算二、變形能的計算1.軸向拉伸與緊縮軸向拉伸與緊縮靜載：靜載：荷載：荷載：0P緩慢緩慢加力點加力點B的位移：的位移：B= L0L緩慢緩慢PABLL變力做功：變力做功：d()d()WPll0d()LlWPlLLP21此處為線彈性資料。此處為線彈性資料。對于線彈性資料，變形能為：對于線彈性資料，變形能為：12UWP212NLEA21()2EALL用外力功表示用外力功表示用

27、用“內(nèi)力表示內(nèi)力表示用用“變形表示變形表示PABLL1彈性應(yīng)變只與力彈性應(yīng)變只與力或位移的終值有關(guān)，與或位移的終值有關(guān)，與加載過程和次序無關(guān)。加載過程和次序無關(guān)。LlpPpOPLdwd(l)122在桿長范圍內(nèi)在桿長范圍內(nèi)N、A不是常數(shù)時，普通的，有：不是常數(shù)時，普通的，有：如圖：如圖：2( )d2( )LNxxUEA xLlpPpd(l)dwW(L)OPABLLx3單位體積的變形能稱為比能：單位體積的變形能稱為比能：*01 d2u即dVUu Vd(*) * dww()O z x y zz y 0*0*0d()d dLzPLUuVVxyzxyz 4變形能不能疊加。變形能不能疊加。 從數(shù)學(xué)觀念看：

28、從數(shù)學(xué)觀念看：U不是不是P或者或者L的線性函數(shù)，所以的線性函數(shù)，所以不能疊加。不能疊加。從力學(xué)觀念看：從力學(xué)觀念看：例：例：P1LL1EA21112P LUEAP2LL2EA22212P LUEA2212221212121212()112211 22 PPLP LUEAEAP LP LPP LEAEAEAPP LUUUUEA所以，變形能不能疊加。所以，變形能不能疊加。P=P1+P2LL2EAP1LL1EA21112P LUEAP2LL2EA22212P LUEA1221121122PP LP LPLPPEAEAEA：211211(1) : 22P LPPLEA加載過程中加載過程中P1在在P2產(chǎn)

29、生產(chǎn)生的位移上做的功的位移上做的功122111(2) : 22PLPPLEA加載過程中加載過程中P2在在P1產(chǎn)生的位移上做的功產(chǎn)生的位移上做的功P=P1+P2LL2EA一種荷載在另一種荷載引起的位移上做了功。一種荷載在另一種荷載引起的位移上做了功。2.改動變形能改動變形能對于線彈性資料，變形能為：對于線彈性資料，變形能為：10101d2UWTM用外力功表示用外力功表示212PTLGI用用“內(nèi)力表示內(nèi)力表示2112PGIL用用“變形表變形表示示TOT11M0L同樣，對于改動的普通情形，有：同樣，對于改動的普通情形，有：21( )d2( )lPTxxUGIxdVUu vM0LTOT1112u對于線

30、彈性， x y z z*00()d()dzxyzUuVxyz d(*) * dww()O3.彎曲變形能彎曲變形能1純彎曲純彎曲MML MOM對于線彈性資料，對于線彈性資料，變形能為：變形能為：12UWMq用外力功表示用外力功表示212EILq用用“變形表變形表示示21 2MLUEI用用“內(nèi)力表示內(nèi)力表示 LM LLEIqqMML MOM2橫力彎曲橫力彎曲M(x)dx總變形能總變形能=剪切變形能剪切變形能+彎曲變形能彎曲變形能2( )dd2MxxUEI2( )d2LMxxUEI普通情況下剪切變形能很小，可以忽略不計：普通情況下剪切變形能很小，可以忽略不計： : U 彎彎曲曲應(yīng)應(yīng)變變能能綜合軸向拉

31、伸緊縮、改動、彎曲變形，對于線彈綜合軸向拉伸緊縮、改動、彎曲變形，對于線彈性資料，普通地有：性資料，普通地有：12UPU廣義力廣義力 廣義位移廣義位移 U 可表成可表成P 的二次函數(shù)或的二次函數(shù)或的二次函數(shù)的二次函數(shù) ，這也提示，這也提示了應(yīng)變能不能疊加。了應(yīng)變能不能疊加。假設(shè)構(gòu)件上有二種荷載，但其中任一種荷載在另一假設(shè)構(gòu)件上有二種荷載，但其中任一種荷載在另一種荷載產(chǎn)生的位移上不做功，那么這兩種荷載單獨作用種荷載產(chǎn)生的位移上不做功，那么這兩種荷載單獨作用時產(chǎn)生的變形能之和等于共同作用時產(chǎn)生的變形能。時產(chǎn)生的變形能之和等于共同作用時產(chǎn)生的變形能。4.變形能的普遍表達(dá)方式變形能的普遍表達(dá)方式222

32、dddd222PMxTxNxUEIGIEAMdxNTMNTdddd()UMTNLq在資料為線彈性的特殊情況下，在資料為線彈性的特殊情況下，222ddd222LLLPMxTxNxUEIGIEA這就是用這就是用“內(nèi)力表示的變形能的普遍表達(dá)式即：克內(nèi)力表示的變形能的普遍表達(dá)式即：克拉貝依隆原理。拉貝依隆原理。留意：式中留意：式中M、T、N為一切外力為一切外力P1、P2、P3共同共同作用引起的內(nèi)力。作用引起的內(nèi)力。MLNTMNT000()d( )d()d()LUMTNLLqqq在資料為線彈性的特殊情況下，在資料為線彈性的特殊情況下， 如圖，無剛性位移的線彈性結(jié)如圖，無剛性位移的線彈性結(jié)構(gòu)體，接受荷載構(gòu)

33、體，接受荷載P1、P2、P3 想象采用比例加載：想象采用比例加載：P1、P2、P3緩慢的按一樣的比例添加，緩慢的按一樣的比例添加，彈性體一直堅持平衡，而且各外彈性體一直堅持平衡，而且各外力作用點的位移力作用點的位移1、2、3也將也將按與外力一樣的比例添加。按與外力一樣的比例添加。P1P2P3123112233111222UWPPP 于是得到用于是得到用“外力功表示的變形能的普遍表達(dá)式：外力功表示的變形能的普遍表達(dá)式：留意：式中留意：式中1、2、3為一切外力為一切外力P1、P2、P3共共同作用引起的位移。同作用引起的位移。10()diniiiiUWP 在線彈性特殊情況下，有在線彈性特殊情況下，有

34、例例1 求圖示簡支梁中點的撓度求圖示簡支梁中點的撓度 fC解：解：12CWPf( ) (0)22PLMxxx22232200d122d22296LLMxPP LUxxEIEIEIPEIL/2L/2xABC WU231 296CP LPfEI3 48CPLfEI正號表示正號表示 fC 的方向與外力的方向與外力P的指向一樣。的指向一樣。三、余三、余 能能定義：余功定義：余功*0dPCWpO*lp*PpWCdp*W余功無物理意義余功無物理意義CWWPPLLEA定義：余能定義：余能*0 dCCPUWP定義：比余能定義：比余能*0dCu對于線彈性資料，顯然有：對于線彈性資料，顯然有：CUU數(shù)值一樣，概念

35、不同數(shù)值一樣，概念不同普通地，應(yīng)變能總能表為位移的普通地，應(yīng)變能總能表為位移的函數(shù)，余能總能表為荷載的函數(shù)。函數(shù)，余能總能表為荷載的函數(shù)。lP*PPWCOdP*W * uCOd* *u四、卡氏定理四、卡氏定理1.卡氏第一定理應(yīng)變能法卡氏第一定理應(yīng)變能法12(,)nUU1212ddddnnUUUU當(dāng)僅 發(fā)生微小增量 ，其他位移無增量時：ididdiiUU另一方面，當(dāng)僅另一方面，當(dāng)僅i 發(fā)生增量發(fā)生增量di時，時，Pi將做功，從而導(dǎo)將做功，從而導(dǎo)致應(yīng)變能發(fā)生增量：致應(yīng)變能發(fā)生增量：常力做功常力做功ddiiUP ddiiiiUPiiUP即即卡氏第一定理：彈性構(gòu)造的應(yīng)變能對某卡氏第一定理：彈性構(gòu)造的應(yīng)

36、變能對某一位移的偏導(dǎo)數(shù)，等于與此位移相應(yīng)的一位移的偏導(dǎo)數(shù)，等于與此位移相應(yīng)的外力。外力。1卡氏第一定理既適用于線性彈性，也適用卡氏第一定理既適用于線性彈性，也適用于非線性彈性。于非線性彈性。2“相應(yīng)的意義：相應(yīng)的意義：為集中力，那么為集中力，那么 為與之同方向的線位移。為與之同方向的線位移。iPi為集中力偶，那么為集中力偶，那么 為與之同轉(zhuǎn)向的角位移。為與之同轉(zhuǎn)向的角位移。iPi與與 位置一樣。位置一樣。iPi例例2 圖示構(gòu)造，圖示構(gòu)造，AB桿與桿與BC桿的橫截面積均為桿的橫截面積均為A。應(yīng)力。應(yīng)力-應(yīng)應(yīng)變關(guān)系為：變關(guān)系為： ，試求試求AB桿和桿和BC桿的軸力。桿的軸力。B解：節(jié)點解：節(jié)點B有

37、兩個未知位移：有兩個未知位移：程度位移：程度位移：1垂直位移：垂直位移：2計算應(yīng)變能：計算應(yīng)變能：CBAPL4512B也即，將應(yīng)變能表為位移的函數(shù)：也即，將應(yīng)變能表為位移的函數(shù)：1ABl212222BClBABD1DBEC4521BBCl21212()()222BCBCBCllLL0033212dd22 33ABABABABuBBBL332212022d332BCBCBCBBuL1ABABABllL均勻變形：均勻變形：3322121 222 2332ABABBCBCABBCUuVuVuALuALBALBALLL由卡氏第一定理：由卡氏第一定理：11211202UABPL22122UABPPL聯(lián)立

38、以上兩式，求解可得：聯(lián)立以上兩式，求解可得：2122P LA B22225P LA B2122ABPLA B拉伸拉伸22122()22BCPLA B緊縮緊縮ABABPBA拉拉2BCBCPBA壓壓ABABNAP拉拉2BCBCNAP壓壓2.2.卡氏第二定理卡氏第二定理12(,)CCnUUPPP1212ddddCCCCnnUUUUPPPPPPddCCiiUUPP當(dāng)僅有當(dāng)僅有PiPi有增量有增量dPi dPi ，其他荷載不發(fā)生變，其他荷載不發(fā)生變化時：化時： 即每個荷載是獨立變化的即每個荷載是獨立變化的 。P1P2P3123另一方面，由于另一方面，由于dPi，余功的增，余功的增量為：量為：dddCii

39、CWPU ddCiiiiUPPP CiiUP余能定理余能定理對于線彈性構(gòu)造：對于線彈性構(gòu)造：CUU所以對于線彈性構(gòu)造，有：所以對于線彈性構(gòu)造，有：卡氏第二定理：對于線彈性體，應(yīng)變能對某一外卡氏第二定理：對于線彈性體，應(yīng)變能對某一外力的偏導(dǎo)數(shù)，等于與此外力相應(yīng)的位移。力的偏導(dǎo)數(shù)，等于與此外力相應(yīng)的位移。iiUP卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第一、二定理的另一推導(dǎo)方法卡氏第一、二定理的另一推導(dǎo)方法1212011201(,.,.,)(,.,.,)d ()d(,.,.,)jjninjjnjjnjjjinjWPPU 由于按比例加載時，由于按比例加載時，Pj與與j一一對應(yīng)，即一一對應(yīng)，即Pj是是j的單的單值

40、函數(shù)：值函數(shù)：所以所以12(,.,.,)()jjnjjPP 1212(,.,.,)()(,.,.,) iniiiiniWPU 12(,.,.,)iniiUP 即即于是于是1212010112( ,.,.,)(,.,.,)d ()d ( ,.,.,)jjnPcinjjnjjnPjjjjcinW P PPPG GGGGGGUP PPP1212( ,.,.,)( )( ,.,.,) ciniiiciniW P PPPPPUP PPPP12( ,.,.,)ciniiUP PPPP同理，由于同理，由于所以所以即即1卡氏第二定理只能用于線彈性構(gòu)造?？ㄊ系诙ɡ碇荒苡糜诰€彈性構(gòu)造。2“相應(yīng)的意義：相應(yīng)的意義

41、：為集中力，那么為集中力，那么 為與之同方向的線位移。為與之同方向的線位移。iPi為集中力偶，那么為集中力偶，那么 為與之同轉(zhuǎn)向的角位移。為與之同轉(zhuǎn)向的角位移。iPi與與 位置一樣。位置一樣。iPi3應(yīng)變能應(yīng)寫成外力的函數(shù)。應(yīng)變能應(yīng)寫成外力的函數(shù)?？ㄊ系诙ɡ淼脑敿?xì)運用：卡氏第二定理的詳細(xì)運用：1梁梁2d2lMxUEI22ddd22illliiiiUMxMMMxxPPEIPEIPEI2桁架桁架212njjjjNlUEA n根桿根桿1njjjijiijNN lUPPEA3軸軸2d2lPTxUGIdiliiPUTTxPP GI4普通地普通地222ddd222lllPMxNxTxUEIEAGIddd

42、illliiiiPUMMNNTTxxxPPEIP EAP G I例例3 圖示簡支梁，求中點圖示簡支梁，求中點C的撓度。的撓度。解：解：( ) (0)22PlMxxx2MxPPEIL/2L/2xABC0/ 20/ 2330d 2d2 2 2348lCllMMfxPEIxPxxEIPxPlEIEI正號表示正號表示 fC 的方向與的方向與P的指向一致。的指向一致。( ) (0)22PlMxxx2MxPPEIL/2L/2xABC例例4 圖示懸臂梁，求圖示懸臂梁，求B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角B 。在在 B 截面加一與截面加一與B “相應(yīng)的假想外力相應(yīng)的假想外力M解：由于在解：由于在 B 截面沒有與截面沒有與

43、 B相應(yīng)的相應(yīng)的外力，所以要進(jìn)展處置。外力，所以要進(jìn)展處置。BlPEIA1MM( )()MxP lxM 000020d() d() d2lBMlMlMMxMEIP lxMxEIP lxPlxEIEIq 順時針順時針xPEIM ABL1負(fù)號表示負(fù)號表示B的轉(zhuǎn)向與的轉(zhuǎn)向與 M 的轉(zhuǎn)向相反。的轉(zhuǎn)向相反。2要求某點的要求某點的“位移，那么必需在該點有與之相位移，那么必需在該點有與之相應(yīng)的應(yīng)的“力，假設(shè)沒有，那么必需在該處加上假力，假設(shè)沒有，那么必需在該處加上假想的附加想的附加“力，求導(dǎo)后再令其為零。力，求導(dǎo)后再令其為零。留意：留意：xPEIM ABL例例5 圖示懸臂梁，求圖示懸臂梁，求C截面的撓度截面

44、的撓度 fC 。PEIl/2l/2PBACxy212()() 02( )2() 2lPlxPxxlMxPlxlxl解：解：P2=PEIl/2l/2P1=PBACxy2() 02() 2lxxlMlxlxlP120220232d()()2 d()7 d16lCP PPlllMMfxPEIllxP lxPxxEIP lxPlxEIEI向下向下212()() 02( )2() 2lPlxPxxlMxPlxlxlP2=PEIl/2l/2P1=PBACxyCD例例6 圖示構(gòu)造，求圖示構(gòu)造，求 A、B 兩點的相對位移。兩點的相對位移。PEI2aaPBAx1x2x311122333( ) 0( ) 02(

45、) 0MxPxxaMxPaxaMxPxxa解：解：12133 MMxaPPMxP， 。21122120033302222311230003dd d ddd8 3aaABaaaaMMMMxxPEIPEIMMxPEIPxPxPaxxxEIEIEIPaEI11122333( ) 0( ) 02( ) 0MxPxxaMxPaxaMxPxxaCDPEI2aaPBAx1x2x3五、虛功原理五、虛功原理1.虛位移虛位移虛位移虛位移約束所允許的微小位移。約束所允許的微小位移。*0v *0v *( )v x*1v*2v1F2F1與構(gòu)造上的荷載完全無關(guān)的緣由導(dǎo)致的位移如與構(gòu)造上的荷載完全無關(guān)的緣由導(dǎo)致的位移如別的

46、荷載、溫度變化、純假想緣由。別的荷載、溫度變化、純假想緣由。2微小，并且符合約束條件。微小，并且符合約束條件。留意：留意：2.虛功原理虛功原理 對于處于平衡形狀的彈性體，從平衡位置令其有一對于處于平衡形狀的彈性體，從平衡位置令其有一微小的虛位移，那么作用在彈性體上的外力在虛位移微小的虛位移，那么作用在彈性體上的外力在虛位移上所作的功上所作的功Wext，等于彈性體內(nèi)力在相應(yīng)的虛位移上，等于彈性體內(nèi)力在相應(yīng)的虛位移上所做的功所做的功Wint 。前者稱為外力虛功，后者稱為內(nèi)力虛。前者稱為外力虛功，后者稱為內(nèi)力虛功。即：功。即： extintWW 彈性體平衡彈性體平衡 另一方面，假設(shè)彈性體上的外力和內(nèi)

47、力在各自的虛位另一方面，假設(shè)彈性體上的外力和內(nèi)力在各自的虛位移上所作的功相等，那么彈性體處于平衡形狀，即：移上所作的功相等，那么彈性體處于平衡形狀，即：extintWW 彈性體平衡彈性體平衡綜合上述兩方面，即為彈性體的虛功原理：綜合上述兩方面，即為彈性體的虛功原理： 彈性體平衡的充分必要條件是，外力虛功等于內(nèi)彈性體平衡的充分必要條件是，外力虛功等于內(nèi)力虛功，即：力虛功，即：extintWW 彈性體平衡彈性體平衡必要條件的簡單證明，即證：必要條件的簡單證明，即證：extintWW 彈性體平衡彈性體平衡以梁為例：以梁為例：1設(shè)圖所示梁發(fā)生虛位移設(shè)圖所示梁發(fā)生虛位移 ，可得：，可得：*( )vx*1

48、122( )dextlWF vF vqvxx*0v *0v *( )v x*1v*2v1F2F( )q x2想象：將處于平衡形狀的梁想象：將處于平衡形狀的梁分成無數(shù)個長度為分成無數(shù)個長度為dx的微段，的微段，調(diào)查其中任一微段，如下圖：調(diào)查其中任一微段，如下圖：*( )v x剛體虛位移剛體虛位移MdxCq(x)NNM變形前變形前C變形后變形后*d()l*d*d()q*d()虛虛 變變 形形小微段上的虛位移可分解為：剛體虛位移形小微段上的虛位移可分解為：剛體虛位移形心位移和虛變形。心位移和虛變形。質(zhì)點虛功原理：處于平衡形狀下的力系在剛體質(zhì)點虛功原理：處于平衡形狀下的力系在剛體虛位移上的虛功之和等于

49、虛位移上的虛功之和等于0。小微段上的虛功，由于剛體虛位移引起的虛功為小微段上的虛功，由于剛體虛位移引起的虛功為0，而所剩僅為力系在虛變形上做的功。，而所剩僅為力系在虛變形上做的功。*dd()dddWNlMQTqC變形后變形后*d()l*d*d()q*d()虛虛 變變 形形一切微段上的虛功之和即為總的虛功。一切微段上的虛功之和即為總的虛功。*d()dddllllWNlMQTqextintWWWC變形后變形后*d()l*d*d()q*d()虛虛 變變 形形*1122*( )d d()dddlllllF vF vqvxxNlMQTq即即3.單位力法單位力法1建立單位力系統(tǒng)：欲求構(gòu)造上某點沿某方向的位

50、移，建立單位力系統(tǒng)：欲求構(gòu)造上某點沿某方向的位移，就在該點沿該方向加相應(yīng)的單位力，作為單位力系就在該點沿該方向加相應(yīng)的單位力，作為單位力系統(tǒng)。統(tǒng)?！跋鄳?yīng)：線位移相應(yīng)：線位移集中力集中力 角位移角位移集中力偶。集中力偶。對應(yīng)的單位力對應(yīng)的單位力系統(tǒng)系統(tǒng)ABaa1求圖示構(gòu)造求圖示構(gòu)造B點沿點沿a-a方方向的線位移向的線位移ABaa2將原荷載系統(tǒng)的位移變形作為單位力將原荷載系統(tǒng)的位移變形作為單位力系統(tǒng)的虛位移。顯然滿足：系統(tǒng)的虛位移。顯然滿足： 原荷載系統(tǒng)的變形與單位力系統(tǒng)的力完全無關(guān)。原荷載系統(tǒng)的變形與單位力系統(tǒng)的力完全無關(guān)。 微小且符合約束條件。微小且符合約束條件。3運用虛功原理：運用虛功原理：

51、1extBW *d()dddintllllWNlMQTq* d()dddBllllNlMQTq一切微段上的虛功之和即為總的虛功。一切微段上的虛功之和即為總的虛功。*d()dddllllWNlMQTqC變形后變形后*d()l*d*d()q*d()虛虛 變變 形形( )( )( )( )NxQxMxTx，其中其中為單位力系為單位力系統(tǒng)對應(yīng)的內(nèi)力。統(tǒng)對應(yīng)的內(nèi)力。留意：上式既適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)。留意：上式既適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)。C變形后變形后*d()l*d*d()q*d()虛虛 變變 形形*d()dddintllllWNlMQTq* d()dddBllllNlMQTq對于

52、線性構(gòu)造：對于線性構(gòu)造：*( )dd()FNxxlEA*( )ddFsQxxGA*( )ddFMxxEIq*( )ddFPTxxGI( )( )d( )( )d ( )( )d( )( )d FFsBllFFllPQxQxxNx NxxEAGAMx MxxTx TxxEIGI莫爾積分法莫爾積分法桁架桁架( )( )dFBlNx NxxEA軸軸( )( )dFBlPTx TxxGI梁以彎曲變形為主，可略去軸力、剪力、扭矩的影響梁以彎曲變形為主，可略去軸力、剪力、扭矩的影響( )( )dFBlMx MxxEIFFFFNQMT、上式中上式中為實踐荷載引起的內(nèi)力；為實踐荷載引起的內(nèi)力；s是個大于是個大

53、于1的系數(shù)，是剪應(yīng)力實踐上不均勻并與的系數(shù)，是剪應(yīng)力實踐上不均勻并與截面外形有關(guān)的修正系數(shù)。截面外形有關(guān)的修正系數(shù)。例例7 求圖示構(gòu)造求圖示構(gòu)造C點的豎直位移。點的豎直位移。ADBEAaqEIaCaEIx1x3x21111x1x32qax2qa2qaq1 1建立單位力系統(tǒng)如圖。建立單位力系統(tǒng)如圖。解：解：2 2建立坐標(biāo)系如圖。建立坐標(biāo)系如圖。荷載系統(tǒng)與單位力系統(tǒng)坐標(biāo)系荷載系統(tǒng)與單位力系統(tǒng)坐標(biāo)系要一致。要一致。(3) 求內(nèi)力。求內(nèi)力。荷載系統(tǒng)：荷載系統(tǒng)：211()2FqxMx 22()2FqaMxx3()2FqaNxx3x2qa2qax12qaqx3x2x11111單位力系統(tǒng)：單位力系統(tǒng)：3()

54、1Nx11()Mxx 22()Mxx單位力系統(tǒng)與荷載系統(tǒng)的內(nèi)力符號規(guī)定必需一致。單位力系統(tǒng)與荷載系統(tǒng)的內(nèi)力符號規(guī)定必需一致。4利用單位力法求利用單位力法求C點的豎直位移。點的豎直位移。123111222333311024222300()()d()()d()()d d217 dd22242FFCllFalaaMxMxxMxMxxfEIEINxNxxqxxEAEIqaxqaqaqaxxEIEAEIEAfC符號為正闡明符號為正闡明 fC的指向與單位力的指向與單位力F=1 的指向一樣。的指向一樣。211223() () () 222FFFqxqaqaMxMxxNx ，；11223()() ()1 Mx

55、xMxxNx ，。解：解：1建立單位力系統(tǒng)和坐標(biāo)系：建立單位力系統(tǒng)和坐標(biāo)系：例例8 求圖示構(gòu)造求圖示構(gòu)造 A 截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角A。無論實踐構(gòu)造中有無與無論實踐構(gòu)造中有無與A點的點的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角A相應(yīng)的外力，都必需相應(yīng)的外力，都必需建立單位力系統(tǒng)。建立單位力系統(tǒng)。2求內(nèi)力：求內(nèi)力：22( )1( )2FMxqxMxql lAEI2qlqBxABx13求求 ：Aq2200333( )( )27 66FllAqxqlMx Mx dxdxEIEIqlqlqlEIEIEIq 前的負(fù)號表示前的負(fù)號表示 的轉(zhuǎn)向與單位力的轉(zhuǎn)向與單位力 的轉(zhuǎn)向相反。的轉(zhuǎn)向相反。AqAq1M22( )1( )2FMxqxMxql

56、 ABx1lAEI2qlqBx六、計算莫爾積分的圖乘法六、計算莫爾積分的圖乘法梁、剛架等線性構(gòu)造，單位力法主要是計算莫爾積分：梁、剛架等線性構(gòu)造，單位力法主要是計算莫爾積分：對于最常見的均質(zhì)等直桿，對于最常見的均質(zhì)等直桿，EI為常數(shù)，可以提取到積為常數(shù)，可以提取到積分號的外面，莫爾積分變?yōu)椋悍痔柕耐饷?，莫爾積分變?yōu)椋? )( )dFMx Mxx( )( )d( )( )d( )( )d FFFPMx MxxNx NxxTx TxxEIEAGI，圖乘法：將積分圖乘法：將積分圖形相乘。出發(fā)點：直桿在單位力作用下的內(nèi)力圖形相乘。出發(fā)點：直桿在單位力作用下的內(nèi)力圖必定是直線段或者折線段。圖必定是直線段

57、或者折線段。( )( )dFMx Mxx的計算轉(zhuǎn)化為的計算轉(zhuǎn)化為調(diào)查任一梁段調(diào)查任一梁段AB，其上，其上由荷載引起的彎矩由荷載引起的彎矩MF(x) 可為恣意圖形，而由單位可為恣意圖形，而由單位力引起的彎矩力引起的彎矩 為斜為斜直線。直線。( )MxOx( )MxABOx( )FMxAB建立坐標(biāo)系：以建立坐標(biāo)系：以 與與 x 軸的交點軸的交點O為坐標(biāo)原點，設(shè)為坐標(biāo)原點，設(shè) 與與 x軸的夾角為軸的夾角為 。( )Mx( )MxOx()CMxAB( )Mxl( )MxOxdFMxABdxxxCFM ( )tan ( )( )d ( )tand tan( )d tanta n ()FlFlFlCCCM

58、xxMx Mx xMxxxxMxxxxMx 陰影部分面積陰影部分面積( )dFMxx陰影部分面積陰影部分面積對對 y 軸之矩軸之矩( )dFx Mxx( )dFlxMxx( )FMxy圖對軸的靜矩tanCx( )CxMx圖上對應(yīng) 的值Ox()CMxAB( )Mxl( )MxOxdFMxABdxxxCFM圖上對應(yīng)圖上對應(yīng)xC的值，簡記為的值，簡記為CM( )Mx()CMx ( )( )dFCMx MxxM( )FMx圖的面積( )FCxMx 圖形心的橫坐標(biāo) (1) 運用條件：桿段必需是直桿，且EI 為常數(shù)，兩個圖形至少有一個是直線圖形2正負(fù)號規(guī)那么：面積 A 與縱坐標(biāo) yc 在同一側(cè)時，乘積取正

59、號；反之取負(fù)號。3假設(shè)一個圖形是曲線，一個圖形是直線，那么縱坐標(biāo)yc 可以取自于其中直線圖形。假設(shè)兩個圖形都是直線圖形,那么縱坐標(biāo) yc 可以取自于其中任一圖形。ABOx( )MxABOx( )FMxAB運用圖乘法計算時要留意的幾個問題運用圖乘法計算時要留意的幾個問題4 假設(shè)一個圖形為曲線，另一個圖形為折線，那么應(yīng)分段思索。如下圖，有112233dpLMMxA yA yA y 1122112211dpLMMxA yA yEIE IE I 假設(shè)桿件各段有不同的EI，那么應(yīng)在EI 變化處分段進(jìn)展圖乘。如下圖，有5當(dāng)圖形的面積的計算或形心位置不易確定時，可將其分解為幾個簡單的圖形，分別進(jìn)展圖乘再疊加

60、計算。如下圖為兩個梯形相乘，可以把梯形分解為兩個三角形或分為一個矩形和一個三角形，分別圖乘，然后疊加，即1122dpLMMxA yA y 又如兩個直線圖都含有不同符號的兩部分，如下圖，可以將其中一個圖形分解為兩個三角形 ABC 和 ABD ，處置方法仍和上面一樣，圖乘時應(yīng)留意正負(fù)號。假設(shè)圖形比較復(fù)雜，可以將圖形分解為幾個簡單圖形，分項計算后再進(jìn)展疊加。如下圖的 MP 圖可以看成在均步載荷作用下的拋物線彎矩圖和外形為梯形的彎矩圖疊加而成，然后分別與 圖圖乘，取其代數(shù)和。M三三 角角 形形二二 次次 拋拋 物物 線線n 次次 拋拋 物物 線線圖圖 形形 y xyy面面 積積形形 心心位位 置置2b