南航戴華《矩陣論》第五章Hermite矩陣與正定矩陣

1、第第5 5章章 HermiteHermite矩陣與正定矩陣矩陣與正定矩陣5.1 5.1 HermiteHermite矩陣與矩陣與HermiteHermite二次型二次型5.4 5.4 HermiteHermite矩陣的特征值矩陣的特征值* *5.3 5.3 矩陣不等式矩陣不等式5.2 5.2 HermiteHermite正定（非負(fù)定）矩陣正定（非負(fù)定）矩陣5.1 5.1 HermiteHermite矩陣與矩陣與HermiteHermite二次型二次型5.1.1 5.1.1 HermiteHermite矩陣矩陣5.1.2 5.1.2 矩陣的慣性矩陣的慣性5.1.3 5.1.3 HermiteHe

2、rmite二次型二次型5.1.1 HermiteHermite矩陣矩陣Hermite矩陣具有如下簡單性質(zhì)矩陣具有如下簡單性質(zhì)：(1) 如果如果 A是是Hermite矩陣，則對正整數(shù)矩陣，則對正整數(shù) k，Ak 也是也是 Hermite矩陣矩陣；(2) 如果如果 A是可逆是可逆Hermite矩陣，則矩陣，則A-1 是是Hermite矩陣矩陣；(3) 如果如果 A,B是是Hermite矩陣，則對實數(shù)矩陣，則對實數(shù)k,p, kA+pB 是是 Hermite矩陣矩陣；(4) 若若A,B是是Hermite矩陣，則矩陣，則 AB是是Hermite矩陣的矩陣的 充分必要條件是充分必要條件是AB = BA；(5

3、) A是是Hermite矩陣的充分必要條件是對任意方陣矩陣的充分必要條件是對任意方陣 S， SH AS是是Hermite矩陣矩陣。定理定理5.1.1.,)(是實數(shù)是實數(shù)必要條件是對任意必要條件是對任意矩陣的充分矩陣的充分是是則則設(shè)設(shè)AxxCxHermiteACaAHnnnjk 定理定理5.1.2 設(shè)設(shè) A為為n 階階Hermite矩陣，則矩陣，則 (1) A的所有特征值全是實數(shù)的所有特征值全是實數(shù)； (2) A的不同特征值所對應(yīng)的特征向量是互相正交的的不同特征值所對應(yīng)的特征向量是互相正交的。定理定理5.1.3 設(shè)設(shè) ，則，則 A是是Hermite矩陣的充分矩陣的充分必要條件是存在酉矩陣必要條件

4、是存在酉矩陣U使得使得nnCA )1 . 1 . 5(),(21nHdiagAUU 均為實數(shù)。均為實數(shù)。其中其中n ,21定理定理5.1.4 設(shè) ，則則 A是實對稱矩陣的充分是實對稱矩陣的充分必要條件是存在正交矩陣必要條件是存在正交矩陣Q使得使得nnRA )2 . 1 . 5(),(21nTdiagAQQ 均為實數(shù)。均為實數(shù)。其中其中n ,215.1.2 矩陣的慣性矩陣的慣性定理定理5.1.5 設(shè)設(shè) A是是n 階階Hermite矩陣，則矩陣，則 A相合于矩陣相合于矩陣)3 . 1 . 5(0000000 rnsrsOIID其中其中 r = rank(A)，s是是 A的正特征值（重特征值按的正特

5、征值（重特征值按重數(shù)計算）的個數(shù)重數(shù)計算）的個數(shù)。(5.1.3)中矩陣稱為中矩陣稱為n 階階Hermite矩陣矩陣 A的的相合標(biāo)準(zhǔn)形。定理定理5.1.6(Sylvester慣性定律）慣性定律） 設(shè)設(shè) A,B是是n 階階Hermite矩陣，則矩陣，則 A與與B相合的充分必要條件是相合的充分必要條件是)6 . 1 . 5()()(BInAIn 的的慣慣性性。為為矩矩陣陣則則稱稱記記特特征征值值按按重重數(shù)數(shù)計計算算）。軸軸上上特特征征值值的的個個數(shù)數(shù)（重重平平面面、左左半半開開平平面面和和虛虛的的位位于于復(fù)復(fù)平平面面上上右右半半開開分分別別表表示示和和、設(shè)設(shè)AAInAAAAInAAAACAnn)()

6、(),(),()()()()(, 5.1.3 5.1.3 HermiteHermite二次型二次型式式，系數(shù)為復(fù)數(shù)的二次齊，系數(shù)為復(fù)數(shù)的二次齊個復(fù)變量個復(fù)變量由由nxxn,1)10. 1 . 5(),(111jininjijnxxaxxf ，稱稱為為其其中中jiijaa nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA21212222111211,則則 A為為Hermite矩陣。稱矩陣矩陣。稱矩陣A為為Hermite二次型的二次型的矩陣矩陣，并且稱并且稱 A的秩為的秩為Hermite二次型的秩二次型的秩。二二次次型型。Hermite記 利用利用Hermite二次型的矩陣二次型的矩陣，Hermite二

7、次型可二次型可表示為表示為AxxxfH )( 設(shè)設(shè)P是是n階可逆矩陣，作線性變換階可逆矩陣，作線性變換x = Py，則，則ByyAxxxfHH )(.APPBH 其中其中 Hermite二次型中最簡單的一種是只包含平方二次型中最簡單的一種是只包含平方項的二次型項的二次型)12. 1 . 5(222111nnnyyyyyy 稱形如（稱形如（5.1.12）的二次型為）的二次型為Hermite二次型的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形。定理定理5.1.7 對對Hermite二次型二次型 f (x) = xHAx，存在酉，存在酉線性變換線性變換x = Uy（其中（其中U是酉矩陣）使得是酉矩陣）使得Hermite二次

8、型二次型f (x)變成標(biāo)準(zhǔn)形變成標(biāo)準(zhǔn)形nnnyyyyyy 222111的特征值。的特征值。矩陣矩陣是是其中其中AHermiten ,21定理定理5.1.8 對對Hermite二次型二次型 f (x) = xHAx，存在可逆，存在可逆線性變換線性變換x = Py 使得使得Hermite二次型二次型f (x)化為化為rrssssHyyyyyyyyAxxxf 1111)(其中其中 r = rank(A)，s = (A).Hermite二次型可分為五種情況二次型可分為五種情況. 0, 0, 0.,)1(12 AxxyxyAxxnrsHniiH則則若若則規(guī)范形為則規(guī)范形為若若. 0.,)2(12 Axx

9、CxyAxxnrsHnriiH都有都有對任意對任意則規(guī)范形為則規(guī)范形為若若. 0, 0, 0., 0)3(12 AxxyxyAxxnrsHniiH則則若若則規(guī)范形為則規(guī)范形為若若. 0., 0)4(12 AxxCxyAxxnrsHnriiH都有都有對任意對任意則規(guī)范形為則規(guī)范形為若若. 00, 0,.,0)5(1212或等于或等于小于小于之值可以大于之值可以大于對不同的對不同的則規(guī)范形為則規(guī)范形為若若AxxxyyAxxnrsHrsiisiiH 定義定義5.1.1 設(shè)設(shè)f (x) = xHAx為為Hermite二次型二次型。為正定的；為正定的；，則稱，則稱都有都有且且如果對任意如果對任意AxxA

10、xxxCxHHn0, 0)1( 的；的；非負(fù)定非負(fù)定半正定半正定為為，則稱，則稱都有都有如果對任意如果對任意)(0,)2(AxxAxxCxHHn 為負(fù)定的；為負(fù)定的；，則稱，則稱都有都有且且如果對任意如果對任意AxxAxxxCxHHn0, 0)3( 半負(fù)定的；半負(fù)定的；為為，則稱，則稱都有都有如果對任意如果對任意AxxAxxCxHHn0,)4( .,)5(為不定的為不定的則稱則稱有時為負(fù)有時為負(fù)有時為正有時為正對不同的對不同的AxxAxxCxHHn 定理定理5.1.9 對對Hermite二次型二次型f (x) = xHAx, 有有；正定的充分必要條件為正定的充分必要條件為nrsAxxH )1(

11、；為為半正定的充分必要條件半正定的充分必要條件nrsAxxH )2(；負(fù)定的充分必要條件為負(fù)定的充分必要條件為nrsAxxH , 0)3(；為為半負(fù)定的充分必要條件半負(fù)定的充分必要條件nrsAxxH , 0)4(.0)5(nrsAxxH 不定的充分必要條件為不定的充分必要條件為5.2 5.2 HermiteHermite正定（非負(fù)定）正定（非負(fù)定）矩陣矩陣. 0,)(, 0; 0,0, 0, AAAxxCxAAAxxxCxHermitenAHnHn記作記作矩陣矩陣半正定半正定為非負(fù)定為非負(fù)定則稱則稱都有都有果對任意果對任意如如記作記作為正定矩陣為正定矩陣，則稱，則稱都有都有且且如果對任意如果對

12、任意矩陣矩陣階階是是設(shè)設(shè)定義定義5.2.1正定（非負(fù)定）矩陣具有如下基本性質(zhì)正定（非負(fù)定）矩陣具有如下基本性質(zhì)：；單單位位矩矩陣陣0)1( I；則則數(shù)數(shù)若若0, 0, 0)2( kAkA；則則若若0, 0, 0)3( BABA. 0, 0, 0)4( BABA則則若若定理定理5.2.1 設(shè)設(shè) A是是n 階階Hermite矩陣，則下列命題等價矩陣，則下列命題等價：(1) A是正定矩陣是正定矩陣；(2) 對任意對任意n 階可逆矩陣階可逆矩陣P,PHAP 都是都是Hermite正定正定 矩陣矩陣；(3) A的的n 個特征值均為正數(shù)個特征值均為正數(shù)；(4) 存在存在n 階可逆矩陣階可逆矩陣P使得使得P

13、HAP = I；(5) 存在存在n 階可逆矩陣階可逆矩陣Q使得使得A = QHQ；(6) 存在存在n 階可逆階可逆Hermite矩陣矩陣S 使得使得A = S2.，則，則正定矩陣，其特征值為正定矩陣，其特征值為階階是是設(shè)設(shè)nHermitenA ,21推論推論5.2.1是正定矩陣；是正定矩陣；1)1( A; 0)2( AQQmnQH列滿秩矩陣，則列滿秩矩陣，則是任一是任一如果如果;0)3( A. ), 2 , 1()()4(niAtri 定理定理5.2.2 設(shè)設(shè) A是是n 階階Hermite矩陣，則下列命題等價矩陣，則下列命題等價：(1) A是非負(fù)定矩陣是非負(fù)定矩陣；(2) 對任意對任意n 階可

14、逆矩陣階可逆矩陣P, PHAP是是Hermite非負(fù)定非負(fù)定 矩陣矩陣；(3) A的的n 個特征值均為非負(fù)數(shù)個特征值均為非負(fù)數(shù)；);(,0004ArankrIAPPPnrH 其中其中使得使得階可逆矩陣階可逆矩陣）存在）存在（;)5(QQAQrH 使得使得的矩陣的矩陣存在秩為存在秩為.62SASHermiten 使使得得矩矩陣陣階階）存存在在（推論推論5.2.2 ，則，則為為非負(fù)定矩陣，其特征值非負(fù)定矩陣，其特征值階階是是設(shè)設(shè)nHermitenA ,21; 0)1( AQQmnQH矩陣，則矩陣，則是任一是任一如果如果;0)2( A. ), 2 , 1()()3(niAtri 定理定理5.2.3

15、n 階階Hermite矩陣矩陣 A正定的充分必要條件是正定的充分必要條件是A的順序主子式均為正數(shù)，即的順序主子式均為正數(shù)，即nkkkAk, 1011定理定理5.2.4 n 階階Hermite矩陣矩陣 A正定的充分必要條件是正定的充分必要條件是A的所有主子式全大于零的所有主子式全大于零。定理定理5.2.5 n 階階Hermite矩陣矩陣 A非負(fù)定的充分必要條件非負(fù)定的充分必要條件是是A的所有主子式均非負(fù)的所有主子式均非負(fù)。定理定理5.2.6 n 階階Hermite矩陣矩陣 A正定的充分必要條件是正定的充分必要條件是存在存在n 階非奇異下三角矩陣階非奇異下三角矩陣 L 使得使得)3 . 2 . 5

16、(HLLA 使得使得和非零向量和非零向量如果存在復(fù)數(shù)如果存在復(fù)數(shù)設(shè)設(shè)nnnCxCBA ,定義定義5.2.2)5 . 2 . 5(BxAx則稱則稱為為廣義特征值問題廣義特征值問題 的特征值，非零的特征值，非零向量向量 x 稱為對應(yīng)于特征值的特征向量稱為對應(yīng)于特征值的特征向量。BxAx定理定理5.2.7 設(shè)設(shè)A,B 均為均為n 階階Hermite矩陣矩陣 ，且，且B0，則存在非奇異矩陣則存在非奇異矩陣 P 使得使得IBPPdiagAPPHnH ),(1 的特征值。的特征值。是廣義特征值問題是廣義特征值問題其中其中)5 . 2 . 5(,21n 5.3 5.3 矩陣不等式矩陣不等式定義定義5.3.1

17、 設(shè)設(shè) A,B 都是都是n 階階Hermite矩陣，若矩陣，若AB0，則稱則稱A大于或等于大于或等于B（或稱（或稱 B小于或等于小于或等于 A），記作），記作AB（或（或BA）；若）；若AB0，則稱，則稱A大于大于B（或稱（或稱B小于小于A），記作），記作AB或（或（B0，則則; 1)()1(1 ABAB 的充分必要條件是的充分必要條件是. 1)()2(1 ABAB 的充分必要條件是的充分必要條件是 定理定理5.3.3 設(shè)設(shè)A是是n 階階Hermite矩陣矩陣, 則則其中其中 和和 分別表示分別表示A的最大和最小特征值。的最大和最小特征值。IAAIA)()(maxmin )(maxA )(mi

18、nA 推論推論5.3.1 設(shè)設(shè)A是是Hermite非負(fù)定矩陣，則非負(fù)定矩陣，則 A tr(A) I 。定理定理5.3.4 設(shè)設(shè)A, B均為均為n 階階Hermite矩陣，則矩陣，則;00)1(11 ABBA，則，則若若. 00)2(11 ABBA，則，則若若定理定理5.3.5 設(shè)設(shè)A,B均為均為n 階階Hermite矩陣矩陣,且且AB = BA,則則;)1(22BABA ，則，則若若.)2(22BABA ，則，則若若定理定理5.3.6則則矩矩陣陣是是行行滿滿秩秩矩矩陣陣是是設(shè)設(shè),knBnmA )()()(1ABAAABBBHHH .CABCkmH 使得使得陣陣矩矩要條件是存在一個要條件是存在一個其中等號成立的充分必其中等號成立的充分必5.4 5.4 HermiteHermite矩陣的特征值矩陣的特征值* *定義定義5.4.1稱稱且且對任意對任意矩陣矩陣階階為為設(shè)設(shè), 0, xCxHermitenAn0,)( xxxAxxxRHH為為Hermite矩陣矩陣A的的Rayleigh商商。，則，則矩陣，其特征值為矩陣，其特征值為階階是是設(shè)設(shè)nHermitenA 21定理