三角形三條高線交于一點(diǎn)的六種證明方法

1、三角形三條高線交于一點(diǎn)的證實(shí)證法一：運(yùn)用同一法證三條高兩兩相交的交點(diǎn)是同一點(diǎn)：ABC勺兩條高BE CF相交于點(diǎn)0,第三條高AD交高BD于點(diǎn)Q,交高CF于點(diǎn)P.求證：P、Q 0三點(diǎn)重合證實(shí)：如圖,: Bn AC CF± AB ./AEB = / AFC = 900又. / BAE = /CAF .ABE s AACF理造, , , AC AF即 AB- AF = AC - AE又ADLBC .AEQ s zADC AAFP s AADBAE ADAF AP=一AD AQ AD AB即 AC- AE = AD - AQ AB- AF = AD - AP v AB- AF = AC - A

2、E, AC AE = AD - AQ AB- AF = AD - APAD- AQ = AD - AP . AQ = AP 點(diǎn)Q P都在線段AD上.二點(diǎn)Q P重合 .AD與BE AD與CF交于同一點(diǎn)V兩條不平行的直線只有一個(gè)交點(diǎn) BE與CF也交于此點(diǎn) 點(diǎn)Q P、0重合.證法二：連結(jié)一頂點(diǎn)和兩高交點(diǎn)的線垂直于第三邊,運(yùn)用四點(diǎn)共圓性質(zhì).： ABC的兩條高AD. BE相交于點(diǎn)0,第三條高CF交高AB于點(diǎn)F,連結(jié)C0交AB于點(diǎn)F.求證：CF± AB證實(shí)：VADL BC于 D, BE! AC于 E A、B、D E四點(diǎn)共圓 ./ 1 = /ABE同理/ 2=/ 1 ./2=/ABE . /ABE

3、+BAC= 900 , / 2+/ BAC= 900即 CF!AR注：證法一和證法二是證實(shí)共點(diǎn)線的常用方法.證法三：證實(shí)兩條高的交點(diǎn)在第三條高線上,建立直角坐標(biāo)系運(yùn)用代數(shù)方法證實(shí).證實(shí)：如圖6,以直線BC為x軸,高AD為y軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)A(0 ,a) , B(b , 0) , C(c , 0),由兩條直線垂直的條件cb解(2)和(3)得 £(x b) -(x c) , (b c)x 0 aab c (b 0 , c 0)x 0這說(shuō)明BE和CF得交點(diǎn)在AD上,所以三角形的三條高相交于一點(diǎn) 注：有時(shí)候考慮直角坐標(biāo)系這一有力的數(shù)形結(jié)合工具可以有效地解決問(wèn)題. 證法四：轉(zhuǎn)化為證實(shí)另一

4、個(gè)三角形的三條中垂線(或中線)交于一點(diǎn).：AD BE CF是 ABC的三條高.求證：AD BE CF相交于一點(diǎn).證實(shí)：過(guò)點(diǎn)A、B C分另I作BC AC AB的平行線ML MN NL. AM/ BC MB/ AC四邊形AMBO平行四邊形 .AW BC同理,AL= BC .AW ALVAD± MLAD是ML的垂直平分線同理,BE CF分別是MN NL的垂直平分線而三角形的三條垂直平分線相交于一點(diǎn)AH BE CF相交于一點(diǎn).注：三角形的三條中線可中垂線、角平分線相交于一點(diǎn),這事實(shí)學(xué)生容 易理解,也不難證實(shí),把證實(shí)三角形的三條垂線相交于一點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一三 角形的三條中線中垂線相交于一點(diǎn),

5、這種化陌生為熟悉、化難為易的轉(zhuǎn)化方 法必須讓學(xué)生理解掌握.證法五：運(yùn)用錫瓦Cevaj定理證實(shí).：AD BE CF是 ABC的三條高.求證：AD BE CF相交于一點(diǎn)證實(shí)：如圖,v ADL BC于E, BE AC于E .ABD s ACBFBD AB=BF CB(D同理,由ADC s BEOCE CB-CD CA(2)由AAFC s AAEBAF AC =AE AB三式相乘得型CEBF CD即電法王1 DC EA FB(3)AF AB CB ACAE CB CA ABAH BE CF相交于一點(diǎn)注：錫瓦定理是證實(shí)共點(diǎn)線的有力工具,雖然中學(xué)不作要求,但對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生不妨引導(dǎo)他們自己研究,激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.錫瓦定理可以用梅涅勞Menelaus定理證實(shí),而梅涅勞定理可以由平行線分線段成比例定理輕松得到.在適當(dāng)情況下適當(dāng)?shù)膯l(fā)有利于學(xué)生思維的擴(kuò)散,有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新水平.證法六設(shè)A ABC三條高線為ARBE、CF,AD與BE交于H,連接CF.向量HA響量a,向量HB=向量b,向量HC的量c.由于 AD± BC BEX AC所以向量 HA-向量 BC=0向量HB-向量 CA=Q即向量a -向量c-向量b=0 ,向量b -向量a-向量c=0 ,亦即向量 a 向量 c-向量 a