導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算1. (2014大綱全國(guó)，7)曲線(xiàn)y= xex1在點(diǎn)(1,1)處切線(xiàn)的斜率等于()A.2e B.e C.2 D.11. C由題意可得y= exT + xex1，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)(1 , 1)處切線(xiàn)的斜率等于 2,故選C.2. (2014新課標(biāo)全國(guó)H, 8)設(shè)曲線(xiàn)y= ax In(x+ 1)在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程為y = 2x,貝U a =( )A.0 B.1C.2D.312. D y = a % +，由題意得 yx0= 2, 即卩 a 1 = 2，所以 a= 3.x3. (2014陜西，3)定積分(2x + e )dx的值為()A.e + 2 B.e+

2、1C.e D.e 13. C 0(2x+ ex)dx= (x2 + ex)|0= (1 + e) (0 + e0)= e,因此選 C.4. (2014 江西，8)若 f(x) = x2+ 2f(x)dx,貝V f(x)dx=()1 1A. 1 B. 3。3。14. B因?yàn)?f(x)dx是常數(shù)，所以fx)= 2x,所以可設(shè)f(x) = x2 + c(c為常數(shù))，所以x2 + c=x2 + 2(x3+ cx)|J，解得 c= 3, 1f(x)dx= x2 + c)dx= &x2-|)dx= gx3-|x |0= 3.5. (2014山東，6)直線(xiàn)y= 4x與曲線(xiàn)y= x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形

3、的面積為()A.2 .2B.4 2C.2 D.45. D 由4x= x3,解得x= 0或x= 2或x= 2(舍去)，根據(jù)定積分的幾何意義可知，直線(xiàn)y = 4x與曲線(xiàn)y= x3在第一象限內(nèi)圍成的圭寸閉圖形的面積為/0(4x x3)dx= 2x2 x4 |o= 4.2 n6.(2014 湖南,9)已知函數(shù)f(x)= sin(x，且03 f (x)dx = 0，則函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是()5兀、A.x= B.x =7 n n12C .x= sD.x =6.A由定積分 ?0sin(x )dx= cos(x *cos -in (+ cos= 0，得 tan (= , 3,所以 X n+ knK

4、 Z)，所以f(x)= sin (x n- kn )紅Z),由正弦函數(shù)的性質(zhì)知y= sin (xn kn)333nnn5 n與y= sin(x 3)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸相同，令x 3 = kn+ 2，貝卩x= kn+6(k Z),所以函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x= k n+ 5nk Z),當(dāng)k= 0,得x=卞,選A.6 617. (2014 湖北，6)若函數(shù) f(x), g(x)滿(mǎn)足 Jf(x)g(x)dx = 0,則稱(chēng) f(x), g(x)為區(qū)間1,1上的一組正交函數(shù)給出三組函數(shù)：1 1 2f(x)= sin2x, g(x) = cosgx: f(x)= x+ 1, g(x) = x 1; f(

5、x)= x, g(x) = x .其中為區(qū)間1,1上的正交函數(shù)的組數(shù)是()A.0B.1C.2D.3111 11 17. C 對(duì)于，/ 1Si n2xcos2xdx = / gsin xdx= 0，所以是一組正交函數(shù)；對(duì)于，1(x +1)(x 1)dx=A(x2 1)dxMQ所以不是一組正交函數(shù)；對(duì)于，Ax x2dx= 71X3dx= 0,所以是一組正交函數(shù).選C.8. (2016全國(guó)川，15)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)xv 0時(shí),f(x) = ln( x) + 3x,則曲線(xiàn)y = f(x)在點(diǎn)(1,3)處的切線(xiàn)方程是.8.2x+ y+ 1 = 0設(shè) x0,則一xv 0,f( x)= In x 3

6、x,又 f(x)為偶函數(shù)，f(x) = In x 3x,1fx)= 1 3, f (1= 2，切線(xiàn)方程為 y= 2x 1.y x9. (2016全國(guó)n , 16)若直線(xiàn)y= kx+ b是曲線(xiàn)y= In x+ 2的切線(xiàn)，也是曲線(xiàn)y= In(x+ 1)的切線(xiàn)，則b =.1 一9.1 In 2 y= In x+ 2的切線(xiàn)為：y=x+ In X1+ 1(設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x)X11X2一y= In(x + 1)的切線(xiàn)為：y= x? +x+ In(x2 + 1) x + 1,(設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為 X2).X2X2 + 1 ,x；=占In X1+ 1 = In (X2 + 1)1 1解得 x1 =1 x2= 2

7、b= In x1+ 1 = 1 In 2.10. (2015陜西，15)設(shè)曲線(xiàn)y= ex在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn) y = 1(x0)上點(diǎn)P處的切線(xiàn)垂直,X則P的坐標(biāo)為.1110. (1, 1) t (ex) |x=o = e= 1，設(shè) P(xo, yo)，有(一)|x=xo = - ：= 1,xxo又 xo 0,.xo= 1,故 P(1 , 1).211. (2015 湖南，11) (x 1)dx=.11.0 o(x 1)dx= ( 2X x 丿 0 = 22 2 = 0.12. （2015天津，11）曲線(xiàn)y= x2與直線(xiàn)y= x所圍成的封閉圖形的面積為f2y x ,得 A(1 , 1),

8、y= x,12.6曲線(xiàn)y = x2與直線(xiàn)y= x所圍成的封閉圖形如圖，由面積s= 0xdx 0x2dx = gx213. （2015陜西，16）如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈 拋物線(xiàn)型（圖中虛線(xiàn)表示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為 .I*10 m13.1.2 由題意可知最大流量的比即為橫截面面積的比，建立以?huà)佄锞€(xiàn)頂點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)方程為y=獲，將點(diǎn)（5, 2）代入拋物線(xiàn)方程得a= 25,故拋物線(xiàn)方程為y=x2,拋物線(xiàn)的橫截面面積為5S1= 2022235(乜x)dx= 2(2x-75x)|04(m2),2而原梯形上底為 10 X 2 =

9、6(m),tan 45故原梯形面積為 S2 = 7(10 + 6) X 2 = 16,貪=；6= 1.2.2S1 40314. （2014江西，13）若曲線(xiàn)y= ex上點(diǎn)P處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn) 2x+ y+ 1 = 0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.14.( In 2 , 2)由題意有y= e x,設(shè)P(m, n)，直線(xiàn)2x+ y+ 1 = 0的斜率為一2,則由題 意得一 e m= 2,解得 m = In 2，所以 n= e ln刁=2.考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.(2015福建，10)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(0) = 1,其導(dǎo)函數(shù)fx)滿(mǎn)足f刈k 1,則下kk 1列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是()1 1 1 1A.

10、f(7) * 芒兀) bC.f(11. C導(dǎo)函數(shù) f x(滿(mǎn)足 fx) k 1, a fx) k0, k 10,0,k 1可構(gòu)造函數(shù)g(x) = f(x) kx,可得g x) 0,故g(x)在R上為增函數(shù)， f(0) = 1, g(0) = 1, g( 1) g(0),k 1 f()上 1, f() 丄，選項(xiàng) C 錯(cuò)誤，故選 C. k -1k 1k-1 k12. (2015陜西,12)對(duì)二次函數(shù)f(x)= ax2 + bx+ c(a為非零整數(shù)),四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是()A. 1是f(x)的零點(diǎn) B.1是f(x)的極值點(diǎn)C.3是f(x)的極值D.

11、點(diǎn)(2,8)在曲線(xiàn)y= f(x)上2. A A正確等價(jià)于 a b+ c= 0,B正確等價(jià)于b = 2a,24acbC正確等價(jià)于4a = 3,D正確等價(jià)于 4a+ 2b + c= 8.下面分情況驗(yàn)證，孑 a = 5,若A錯(cuò),由、組成的方程組的解為b = 10,符合題意；c = 8.若B錯(cuò),由、組成的方程組消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程后無(wú)實(shí)數(shù)解；若C錯(cuò),由、組成方程組，經(jīng)驗(yàn)證a無(wú)整數(shù)解；3若D錯(cuò),由、組成的方程組a的解為一3也不是整數(shù).4綜上,故選A.3. (2015新課標(biāo)全國(guó)H ,12)設(shè)函數(shù)fx)是奇函數(shù)f(x)(x R)的導(dǎo)函數(shù),f( 1)= 0,當(dāng)x0時(shí),xfx)f(x)v 0,則使得f(x)0

12、成立的x的取值范圍是()A.( g，- 1) U (0,1)B.( 1,0) U (1, +s)C.( g， 1) U ( 1,0)D.(0,1) U (1, +g)3. A因?yàn)?f(x)(x R)為奇函數(shù)，f(-1) = 0,所以 f(1) = -f(-1) = 0當(dāng) xm 0 時(shí),令 g(x) =,則 g(x)f (x) xf (x) f (x)為偶函數(shù)，且 g(1) = g( 1) = 0.則當(dāng) X 0 時(shí),g x) = ( )z= )-2v 0,故 g(x)xX在(0, +g )上為減函數(shù)，在(g , 0)上為增函數(shù)所以在(0, +g )上，當(dāng)0v xv 1時(shí),g(x) g(1)=0?

13、f ( x)x 0? f(x) 0 ；f (x)在(g , 0)上,當(dāng) xv 1 時(shí),g(x) vg( 1)= 0?亠)v 0? f(x)0綜上，得使得 f(x)0 成立 x的x的取值范圍是(一g , 1) U (0, 1),選A.4. (2015新課標(biāo)全國(guó)I ,12)設(shè)函數(shù)f(x)= ex(2x 1) ax+ a,其中a1,若存在唯一的整數(shù) x使得 f(X0)0,則a的取值范圍是()A. - 1；B-聖3上僉汎孟，1)4. D 設(shè)g(x) = ex(2x-1), y= ax-a,由題知存在唯一的整數(shù) x,使得g(x0)在直線(xiàn)y= ax-a的下方， 因?yàn)?gk(= ex(2x+ 1),所以當(dāng)

14、x 1 時(shí),gx)時(shí),gx)0,所以當(dāng) x= *時(shí)，g(x)min 當(dāng) x= 0 時(shí),g(0) = -1, g(1) = 3e0,直線(xiàn) y = a(x-1)恒過(guò)(1,0)且斜率為 a,故一ag(0) = 1,1且 g( 1) = 3e a a,解得5. (2014新課標(biāo)全國(guó)n ,12)設(shè)函數(shù)f(x)= . 3sin.若存在f(x)的極值點(diǎn)x滿(mǎn)足x2 + f(x) 2m2,則m的取值范圍是()A.( g， 6) U (6, + g )B.( g , 4) U (4, + g )C.( g， 2) U (2, + g )D.( g , 1) U (1, + g )5. C由正弦型函數(shù)的圖象可知：f

15、(x)的極值點(diǎn)X0滿(mǎn)足f(x0)= 3,則詈=2+力約Z),從而得X0 = (k + )m(k Z).所以不等式 x。2 + f(X0)2m2 即為(k + ； )2m2 + 33,其中k Z.由題意，存在整數(shù)k使得不等式m23成立.當(dāng)kz1且kz0時(shí)，必有k+ 2 1,此時(shí)不等式顯然不能成立,故k=- 1或k = 0,此時(shí),不等式即3 2為4m 3,解得 m2.6. (2014遼寧,11)當(dāng)x 2,1時(shí),不等式ax3 x2+ 4x+ 30恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )9A. 5, 3 B. 6, - C. 6, 2 D. 4, 386. C 當(dāng) x (0, 1時(shí),得 a 3 陰一4+1

16、令 t =占則 t 1,), a 3t3 4t2+ t,令g(t) = 3t3 4t2 + t, t 1, +s ),貝V gt(= -9t2-8t + 1 = -(t + 1)(9t 1),顯然在1, +)上，g t(0, g(t)單調(diào)遞減,所以 g(t)max= g(1) = -6,因此 a-6;同理,當(dāng) x 卜 2, 0)時(shí),得 a -2.由以上兩種情況得-6W a0時(shí),(x 2)ex+ x+ 20 ;.XI厶xe ax a證明：當(dāng)a 0,1)時(shí)屈數(shù)g(x) = t (x0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a) x的值域.7. (1)解f(x)的定義域?yàn)?一8， 2)

17、U ( 2, + 8).,(x 1)( x + 2) eX( x 2) gx2eX 、一 一(x+ 2) 2f x)=(x + 2) 2 ( x+ 2) 2 一 0, 且僅當(dāng)x = 0時(shí),fx) = 0,所以f(x)在(8， 2),( 2,+ 8 )單調(diào)遞增.因此當(dāng) x (0, + 8)時(shí),f(x)f(0) = 1.所以(x 2)ex (x+ 2),即(x 2)ex+ x + 20.(x 2) ex + a ( x+ 2)x+ 2證明 g x)=J= X (f(x) + a).由(1)知,f(x) + a 單調(diào)遞增，對(duì)任意 a 0,1), f(0) + a = a 1 0.因此，存在唯一 Xa

18、 ( 0,2,使得 f(Xa) + a = 0,即 g xa) = 0.當(dāng) 0xXa 時(shí),f(x) + a0,g (x)xa 時(shí),f(x) + a0,g (x)0,g(x)單調(diào)遞增.因此g(x)在x= Xa處取得最小值，最小值為exa a (Xa+ 1)eXa+ f (Xa)( X+ 1 )g(xa)=2是 h(a)=2 xaXa+ 2+0,土單調(diào)遞增.1所以，由Xa (0,2,得2 =0e0TTh =exa ” Xa+ 24X因?yàn)橥羻握{(diào)遞增,對(duì)任意腹e，存在唯一的Xa (0,2, a= f(Xa) 0,1),使得 h(a)=入所以h(a)的值域是2, 綜上，當(dāng) a 0,1)時(shí),g(X)有最小

19、值h(a),h(a)的值域是8. (2016 全國(guó)川,21)設(shè)函數(shù) f(X)= acos 2x+ (a 1) (cos x+ 1),其中 a 0,記 f(x)|的最大值為 4.(1)求 fx)；求A;證明 |fx)| 1 時(shí),|f(x)|= |acos 2x+ (a 1)(cos x+ 1)| w a+ 2(a 1) = 3a 2.因此 A= 3a 2. 當(dāng) 0v a v 1 時(shí)，將 f(x)變形為 f(x) = 2acos-8a . 一 a11令-1 v 1一-v 1,解得 av 3(舍去),a-1(i )當(dāng) 0v a w *時(shí),g(t)在(-1,1)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn),|g(-1)| = a, g

20、(1)| = 2 3a,|g(-1)| v |g(1)|,所以 A= 2 3a. 1 (ii )當(dāng) 1 v av 1 時(shí)，由 g( 1) g(1) = 2(1 a) 0知 g( 1)g(1)g x+ (a 1) cos x 1,令 g(t) = 2at2 + (a 1)t 1, 則A是|g(t)|在1,1上的最大值，2 g(-1) = a,g(1) = 3a-2,且當(dāng)t = 器時(shí)心取得極小值，極小值為9詈=-嘗 -1 =(1 a)( 1 + 7a)8a 0,所以A=竹 一a、= a2+ 6a+ 1g 石=8a123a,0v aw 5綜上,A =a? + 6a+ 18a1 彳5v av 1,玄2

21、 + 6a + 1證明由(1)得刈|= | 2asin 2x (a 1)sin x|w 2a+ |a1|.3a 2, a1.1當(dāng) Ov aw 丄時(shí),|f (x)|w 1 + a 2- 4a 2(2- 3a) = 2A. 51a 13當(dāng)- a 1,所以 f ( 1 + a 1 時(shí),(x)|w 3a- 1w 6a-4 = 2A.所以 |f x)|w 2A.9. (2016全國(guó)I ,21)已知函數(shù)f(x)= (x- 2)ex+ a(x- 1)2有兩個(gè)零點(diǎn).(1) 求a的取值范圍；設(shè)X1,X2是f(X)的兩個(gè)零點(diǎn) 證明：X1 + X20,則當(dāng) x ( a ,1)時(shí),f (x)0,所以 f(x)在(,1

22、)上單調(diào)遞 減,在(1, + )上單調(diào)遞增.又 f(1) =- ef(2) = a,取 b滿(mǎn)足 b0 且 b|(b-2) + a(b-1)2= a b2-3b 0,故 f(x)存 在兩個(gè)零點(diǎn). 設(shè) a- I則 ln( - 2a)w 1,故當(dāng) x (1, + )時(shí),f (x)0,因此 f(x)在(1, + )上單調(diào)遞增. 又當(dāng)xw 1時(shí),f(x)0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).e右 a1,故當(dāng) x (1,ln( - 2a)時(shí),f (x)0,因此 f(x)在(1,ln( - 2a)上單 調(diào)遞減，在 (ln( - 2a), + a )上單調(diào)遞增.又當(dāng)xw 1時(shí),f(x)0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)

23、.綜上,a的取值范圍為(0, + ).不妨設(shè) X1X2.由(1)知,X1 (-a ,1),X2 (1, + ),2 -X2 (-a ,1),f(x)在(-a ,1)上單調(diào)遞減， 所以 X1 + X2f(2 - X2),即 f(2 - X2)1 時(shí),gx)1 時(shí),g(x)0,從而 g(x2) = f(2 - X2)0,故 X1 + X21 時(shí),s (x)0,e所以s(x)在區(qū)間(1, + g )內(nèi)單調(diào)遞增.又由 s(1) = 0,有 s(x)0,從而當(dāng)1 時(shí),g(x)0.當(dāng) a1 時(shí),f(x)= a(x2- 1)- In g()在區(qū)間(1, +g )內(nèi)恒成立時(shí) 必有a0.)及 e2 x0 知,f

24、x)與 1 -x + ex 1 同號(hào).令 g(x) = 1-x+ exT,則 gx) =- 1 + ex I 所以，當(dāng)x (4,1)時(shí),g (x)v0,g(x)在區(qū)間( ,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)x (1, +s )時(shí),g (x) 0,g(x)在區(qū)間(1, + )上單調(diào)遞增 故g(1) = 1是g(x)在區(qū)間(-g, + )上的最小值 從而 g(x) 0,x (-g, + g ),綜上可知,fx)0,x (-g，+g ).故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-g, + g ).11. (2016 四川,21)設(shè)函數(shù) f(x)= ax2- a- In x,其中 a R.(1)討論f(x)的單調(diào)性；確定a的所有

25、可能取值，使得f(x)-e1-x在區(qū)間(1, + g )內(nèi)恒成立(e= 2.718為自然對(duì)數(shù) x的底數(shù)).1 2ax2-111.解 (1)fx) = 2ax- - =(x0). (x)0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)aw 0時(shí)f (x)0 時(shí)，由 fx)= 0,有 xy=.此時(shí)，當(dāng) x 3,當(dāng) X .la，(x)0,f(x)單調(diào)遞增.1 1當(dāng) 0a1.由(1)有)=0,而 g0,所以此時(shí)f(x)g(x)在區(qū)間(1, + 8 )內(nèi)不恒成立.1當(dāng) a z時(shí)，令 h(x) = f(x)- g(x)(x 1).111x 111 x 2x+1 x 2x+1當(dāng) x1 時(shí)，h (x)=2ax-+x2e x1+x21

26、=- 2- 2.因此,h(x)在區(qū)間(1, + 8 )單調(diào)遞增.又因?yàn)閔=0,所以當(dāng)x1時(shí),h(x) = f(x) - g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.綜上，a2x 112.(2016 山東,20)已知 f(x)= a(x In x) + 廠,a R.(1)討論f(x)的單調(diào)性;3當(dāng)a= 1時(shí)證明f(x)f x) + z對(duì)于任意的x 1,2成立.a2212.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0, + 8 ),f (x) = a-一 z+ -3=x xx(ax2 2)( x 1)3x當(dāng) aw 0 時(shí),x (0,1)時(shí),f (x)0,f(x)單調(diào)遞增,x (1, + )時(shí) f(x)0,f(x)單調(diào)

27、遞增，當(dāng) x 1,I寸,f (x)2 時(shí),0 ： 21,當(dāng) x 0,0,f(x )單調(diào)遞增，當(dāng)x,1 時(shí),f (x)0,f(x)單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng) aw 0時(shí),f(x)在 (0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1, + 8)內(nèi)單調(diào)遞減;單調(diào)遞減，在當(dāng)0a2 時(shí),f(x)在 0,J ：, : 2 , 1內(nèi)單調(diào)遞減，在(1, + 8 )內(nèi)單調(diào)遞增./2x 1f(x) f x) = x In x+2x證明由(1)知,a = 1時(shí),11 二+ 4 L x ln x+ 3 + x 1,2.x x x Jx x xL J312x 1設(shè) g(x) = x ln x,h(x)=匚 + , y 1,x 1,2,則 f(

28、x) fx)= g(x) + h(x).由 gx(= 0, 可得 g(x) g(1) = 1,當(dāng)且僅當(dāng)3x? 2x+ 6 x= 1時(shí)取得等號(hào).又h x) =4.x設(shè) x) = 3x2 2x+ 6,則 (x)在 x 1,2單調(diào)遞減.因?yàn)?林1) = 1,林2) = 10,所以?x (1,2),使得 x (1,xo)時(shí), (x)0,x (xo,2)時(shí),x) h(2) = 2,當(dāng)且僅當(dāng)x= 2時(shí)取得等號(hào)33所以 f(x) fx)g(1) + h(2)= 2.即 f(x)fx) + 2 對(duì)于任意的 x 1,2成立.13.(2015 新課標(biāo)全國(guó) n ,21)設(shè)函數(shù) f(x) = emx+ x2 mx.(

29、1)證明：f(x)在(8 ,0)單調(diào)遞減，在(0, + 8 )單調(diào)遞增；若對(duì)于任意X1,x2 1,1,都有|f(x1) f(X2)|w e 1,求m的取值范圍.13.(1)證明fx)= m(emx 1) + 2x.若 m0,則當(dāng) x ( 8 ,0)時(shí),emx K 0,f (x)v 0;當(dāng) x (0, + 8)時(shí),emx 1 0,f (x)0. 若 mv 0,則當(dāng) x ( 8 ,0)時(shí),emx 10,f (x)v 0;當(dāng) x (0, + 8)時(shí),emx 10.所以,f(x)在(8 ,0)單調(diào)遞減， 在(0, +8 )上單調(diào)遞增.解 由知，對(duì)任意的m,f(x)在1,0上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增

30、，故 f(x)在 x= 0處取得em mW e 1, e m+ mw e 1.最小值.所以對(duì)于任意x1 ,x2 1,1,|伽f(X2)|w e 1的充要條件是(1) f (0)W e 1, f ( 1) f ( 0)w e 1, 設(shè)函數(shù) g(t) = et t e+ 1,則 gt(= et 1.當(dāng)tv0時(shí),g t(v 0;當(dāng)t0時(shí),g t( 0故g(t)在(8 ,0)上單調(diào)遞減，在(0, + 8 )上單調(diào)遞增 又 g(1) = 0,g( 1) = e_ + 2 ev 0,故當(dāng) t 1,1時(shí),g(t) 0.當(dāng) m 1,1時(shí),g(m) 1 時(shí)，由 g(t)的單調(diào)性,g(m)0,即 em me 1;

31、當(dāng) mv 1 時(shí),g( m) 0,即 e m+ me 1.綜上,m的取值范圍是1,1.1 + x14.(2015 北京,18)已知函數(shù) f(x) = In1 x(1)求曲線(xiàn)y= f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線(xiàn)方程；求證：當(dāng) x (0,1)時(shí),f(x) 2 x+ -；設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)k x+ 3對(duì)x (0,1)恒成立，求k的最大值.1 114.(1)解 因?yàn)?f(x) = ln(1 + x) ln(1 x),所以 f x)=+ f ()2.I 十 x i x又因?yàn)閒(0) = 0,所以曲線(xiàn)y= f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線(xiàn)方程為y= 2x.(2)證明令 g(x)= f(x) 2 x

32、十專(zhuān),則 g x) = f x) 2(1 + x2) = 12因?yàn)間x(0(0xg(0) = 0,x (0,1),即當(dāng) x (0,1)時(shí),f(x)2 x+ 育.解由知，當(dāng) kw 2時(shí),f(x)k x+專(zhuān) 對(duì)x (0,1)恒成立./ x 2 kx ( k 2)1 x2所以當(dāng)0xk 2 k時(shí),h刈0,因此h(x)在區(qū)間單調(diào)遞減當(dāng)0宀亍f 八 時(shí),h(x)h(0)= 0,即 f(x)2時(shí),f(x)k x+ x3并并非對(duì)x (0,1)恒成立.當(dāng) k2 時(shí)，令 h(x)= f(x) k x+ -,則 hx)=fx) k(1 十x )=綜上可知,k的最大值為2.2 215. (2015 四川,21)已知函

33、數(shù) f(x) = 2(x+ a)ln x + x 2ax 2a + a,其中 a0.(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；證明：存在a (0,1),使得f(x) 0在區(qū)間(1, + )內(nèi)恒成立，且f(x)= 0在區(qū)間(1,)內(nèi)有唯一解所以gx戶(hù)2 - 2+ 7 =2當(dāng)0v a v 丁時(shí),g(x)在區(qū)間jo, +冷-力,+8上單調(diào)遞增在區(qū)間1-弓-4a, 1+弓_4a上單調(diào)遞減;1當(dāng)a才時(shí),g(x)在區(qū)間(0, + 8 )上單調(diào)遞增(2) 證明 由 fx)= 2(x a) 2ln x 2 1 + = 0,解得 a = x； xx 1 In x2帀L x+x-2x 1 In x

34、.1 + x 1x- 2x 1 In x$ x 1 In xZ i +1 1 + x1 + x15.(1)解由已知，函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0, + 8 ),g(x) = f x)= 2(x a) 2ln x 2 1 +1 ,e (e一 2)則帕)=1 0,0 (e) =t 一 21 + e故存在 X。 (1,e)，使得(j)(Xo)= 0,1 + X0令 a0= x0 1-* 嘔)=x 1 ln x(x 1),1由ux) = 1 0知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1, + 8)上單調(diào)遞增x所以0 =11+ X0=av11 + ee 2刁V1,即 a0(01),當(dāng) a= a 時(shí)，有 f x0) =

35、0,f(x) = 0(x0) = 0,由(1)知,fx)在區(qū)間(1, + 8 )上單調(diào)遞增，故當(dāng) x (1,x)時(shí),f (x) v 0,從而 f(x) f(X0)= 0;當(dāng) x (X0,+ m )時(shí),f (x) 0,從而 f(x)f(X0)= 0,所以,當(dāng) x (1, + )時(shí),f(x)0,綜上所述 存在a (0,1),使得f(x) 0在區(qū)間(1, + 8 )內(nèi)恒成立，且 f(x)= 0在區(qū)間(1, +8)內(nèi)有唯 一解 _n*16. (2015 夭津,20)已知函數(shù) f(x) = nx x ,x R,其中 n N ,n2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；設(shè)曲線(xiàn)y= f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為 P

36、,曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為y = g(x),求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x,都有f(x) g(x);a若關(guān)于x的方程f(x)= a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)根xi,x2,求證：陀xi|0,即x 1時(shí)屈數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)fx) 1時(shí)屈數(shù)f(x)單調(diào)遞減；所以,f(x)在( ,1)上單調(diào)遞增，在(1, + 8 )上單調(diào)遞減.1 2證明 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(X0,0),則xo= n,f(Xo) = nn.n 1曲線(xiàn) y= f(x)在點(diǎn) P 處的切線(xiàn)方程為 y= fx0)(x X0),即 g(x) = fx0)(x x).令 F(x) = f(x) g(x),即 F(x)= f(x) fx0)(x X0),則

37、F x)= fx) fx0).由于f x) = nxnT + n在(0, + 8 )上單調(diào)遞減，故F x(在(0, + 8 )上單調(diào)遞減，又因?yàn)镕 x()= 0,所以當(dāng)x (0,X0 )時(shí),F (x) 0, 當(dāng)x (X0,+ m )時(shí),F x) 0,所以F(x)在(0,X0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(X0, + m )上單調(diào)遞減，所以對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)X,都有F(x) F(x)= 0,即對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x,都有f(x) g(x).證明 不妨設(shè) X1X2.由 知 g(x) = (n n2)(x X0),a設(shè)方程g(x) = a的根為X2,可得X2=+ X0.n n當(dāng)n2時(shí),g(x)在( , + m )上單調(diào)

38、遞減，又由 知g(x2)f(x2)= a= g(x2)，可得迪 .類(lèi)似地，設(shè)曲線(xiàn)y= f(x)在原點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為y= h(x),可得h(x)= nx.當(dāng) x (0, +8 ),f(x) h(x)= xn0,即對(duì)于任意的x (0, + ),f(x) h(x).設(shè)方程h(x) = a的根為x1 ，可得X1 因?yàn)?h(x) = nx 在(一8 , + 8 )上單調(diào)遞增，且 h(x=a= f(xj h(xj,因此 X1 X1.a由此可得 x2 x1 1 + Cl1 = 1+ n 1 = n,1a故 2 n= xo.所以，X2 X1|0(xm 0),所以函數(shù)f(x)在(, + )上單調(diào)遞增；當(dāng) a 0

39、 時(shí),x -a, 罟 U (0, + m )時(shí),fx( 0,x 詈，0 時(shí),f x) 0,所以函數(shù) f(x)在-a, -2a ,(0, +a )上單調(diào)遞增，在 普，0上單調(diào)遞減；當(dāng) a 0,x 0,詈 時(shí),f x) 0,a 0, 0,從而丫 4 3 或27| 27a b 00 b 0 時(shí)，詁3 a+ c 0 或當(dāng) a 0 時(shí)a3 a+ c 0.設(shè)g(a) = 27a3-a + c,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)從而 g( 3) = c K 0,且 ga的取值范圍恰好是(-a ,-3) U2 u 2則在(-a ,-3)上g(a) 0均恒成立.c 1 0,因此 c= 1.此時(shí),f(x)= x3 +

40、ax2 + 1 a = (x+ 1)x2+ (a 1)x+ 1 a,因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則x2 + (a 1)x + 1 a= 0有兩個(gè)異于1的不等實(shí)根所以= (a-1)2 4(1-a)= a1 + 2a-30,2 且(-1) -(a-1) + 1-az 0,解得 a (-a ,-3)U 1, | U 3,綜上 c= 1.23x + ax18. (2015 重慶,20)設(shè)函數(shù) f(x)=-x(a R).e(1)若f(x)在x = 0處取得極值，確定a的值,并求此時(shí)曲線(xiàn)y= f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線(xiàn)方程;若f(x)在3, + a )上為減函數(shù)，求a的取值范圍.(e7)218. 解對(duì)f(x

41、)求導(dǎo)得 fx(=(6X+ a)eX( 3X2+aX)eX3x2+( 19. (2015 新課標(biāo)全國(guó) I ,21)已知函數(shù) f(x) = x + ax+ 4，g(x)= In x.(1) 當(dāng)a為何值時(shí),x軸為曲線(xiàn)y= f(x)的切線(xiàn)；(2) 用 min m,n表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x) = min f(x),g(x)( x0),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) lx3 + ax+1 = 0, a)X+ a 因?yàn)閒(x)在x= 0處取得極值，所以f (0)0,即a = 0.33ex，故f(1)=e,f (1)=e,從而f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線(xiàn)方程2 23x一 3x + 6x當(dāng) a= 0

42、 時(shí),f(x)= r,f (x) =e、r 33為 y e= -(x 1),化簡(jiǎn)得 3x ey= 0.3x2 +( 6 a) x+ a 由(1)知fx)=孑令 g(x) = 3x2 + (6 a)x+ a,由g(x) = 0解得X1 =,X2 =6 a+ . a + 366當(dāng)XV x1時(shí),g(x) V 0,即f x) V 0,故f(x)為減函數(shù);當(dāng) X1 V XV X2 時(shí),g(x) 0,即 f x) 0,故 f(x)為增函數(shù)；當(dāng) X X2 時(shí),g(x) V 0,即 f x) V 0,故f(x)為減函數(shù)由 f(x)在3, +a )上為減函數(shù)，知 X2= 19解(1)設(shè)曲線(xiàn) y= f(x)與 x 軸相切于點(diǎn)(xo,0),則 f(x0) = 0,f (X0) = 0即4一 a+ 6 a + 36w 3,解得 a |,故a的取值范圍為一2, + j. 解得x0 = 1,a= 3.因此，當(dāng)a=-時(shí),x軸為曲線(xiàn)y=