第九講 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程互功率譜密度

1、2022-1-1812.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度 實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常需要研究兩個(gè)或兩實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常需要研究兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)過程及其性質(zhì)。個(gè)以上的隨機(jī)過程及其性質(zhì)。2022-1-182兩個(gè)隨機(jī)過程中兩個(gè)隨機(jī)過程中樣本函數(shù)樣本函數(shù)的的互互功率譜功率譜密度密度 考慮兩個(gè)平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)過程考慮兩個(gè)平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)過程X(t)、Y(t)，它們的樣本函，它們的樣本函數(shù)分別為數(shù)分別為 和和 ，定義兩個(gè)截?cái)嗪瘮?shù)，定義兩個(gè)截?cái)嗪瘮?shù) 、 為：為：)(tx)(ty( )Tx t( )Tyt( )( )( )( )00TTx ttTy ttTxtyttTtT 因?yàn)闃颖竞瘮?shù)滿足絕對可積的條件，

2、所以它們的因?yàn)闃颖竞瘮?shù)滿足絕對可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在。傅里葉變換存在。( )( , )( )( , )TxTyxxXTyxXT 利用帕斯瓦爾等式，以及實(shí)隨機(jī)過程，可得利用帕斯瓦爾等式，以及實(shí)隨機(jī)過程，可得*1( )( )( , )( , )2TTxyx t yt dtXT YT d*1( )( )( , )( , )2TTTxyTx t yt dtXT YT d即即2022-1-183 取極限以及交換運(yùn)算次序，可以得出取極限以及交換運(yùn)算次序，可以得出樣本函數(shù)樣本函數(shù) 和和 的的 (時(shí)間時(shí)間)互互平均功率：平均功率：( )x t( )y t111lim( ) ( )lim( , )

3、( , )222TxyxyTTTQx t y t dtXT XT dTT樣本函數(shù)樣本函數(shù) 互功率譜密度互功率譜密度2022-1-184兩個(gè)隨機(jī)過程的兩個(gè)隨機(jī)過程的互互功率譜功率譜密度密度隨機(jī)過程隨機(jī)過程互功率譜密度互功率譜密度 推廣到隨機(jī)過程中，并取集合平均（數(shù)學(xué)期望），可推廣到隨機(jī)過程中，并取集合平均（數(shù)學(xué)期望），可以得出兩個(gè)以得出兩個(gè)隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)，Y(t)的的互互平均功率：平均功率：111lim( ) ( ) lim( , )( , )222TXYXYTTTQEX t Y t dtE XT XT dTT2022-1-185 互功率譜密度（互譜密度或互功率譜）：互功率譜密度（互譜

4、密度或互功率譜）：*1( )lim( , )( , )2XYTXYSE XT XTTdSQXYXY)(21則則同理同理*1( )lim( , )( , )2YXTYXSE XT XTTdSQYXYX)(21則則如果如果X(t)和和Y(t)均是實(shí)隨機(jī)過程，則均是實(shí)隨機(jī)過程，則XYYXQQ2022-1-186二二 互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 功率譜密度功率譜密度 互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù) 互功率譜密度互功率譜密度 對于兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過程對于兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過程X(t)、Y(t)，其互，其互譜密度譜密度 與互相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù) 之間之間的關(guān)系為：的關(guān)系為： )( X

5、YS),( ttRXYdettRASjXYXY),()(即即( ,)XYARt t( )XYS2022-1-187若若X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)各自平穩(wěn)且且聯(lián)合平穩(wěn)聯(lián)合平穩(wěn)，則有，則有)()(XYXYSRdeRSjXYXY)()(deSRjXYXY)(21)(即即同理同理( )( )YXYXRS即即( )( )jYXYXSRed1( )( )2jYXYXRSed2022-1-188結(jié)論：結(jié)論：對于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)對于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)( (至少是廣義聯(lián)合平至少是廣義聯(lián)合平 穩(wěn)穩(wěn)) )的實(shí)隨機(jī)過程，它們的互譜密度與的實(shí)隨機(jī)過程，它們的互譜密度與 其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。若若

6、01( )(0)( ) ( )2XYXYSdRE X t Y t若若X(t)為通過一負(fù)載的電流，為通過一負(fù)載的電流， Y(t)為加在該為加在該負(fù)荷兩端的電壓，則此式等于消耗在該負(fù)載負(fù)荷兩端的電壓，則此式等于消耗在該負(fù)載上的平均功率。上的平均功率。2022-1-189三三 互譜密度的性質(zhì)互譜密度的性質(zhì) 互功率譜密度和功率譜密度是不同的，它不具互功率譜密度和功率譜密度是不同的，它不具有頻率的非負(fù)、實(shí)的偶函數(shù)，但它具有自己相應(yīng)的有頻率的非負(fù)、實(shí)的偶函數(shù)，但它具有自己相應(yīng)的性質(zhì)。性質(zhì)。2022-1-1810性質(zhì)性質(zhì)1 1)()()(* YXYXXYSSS 證明證明 *()( )( )()( )( )(

7、 )()jXYXYjYXjYXYXjYXYXSRedRedRedSRedS （令令 ） 共軛性共軛性 2022-1-1811 （令令 ） 性質(zhì)性質(zhì)2 )(Re)(ReXYXYSS)(Re)(ReYXYXSS證明證明 deRSjXYXY)()(djRXY)sin()cos(dRSXYXYcos)()(RedRXYcos)()(ReXYS同理可證同理可證)(Re)(ReYXYXSS偶函數(shù)偶函數(shù) 2022-1-1812性質(zhì)性質(zhì)4 若平穩(wěn)過程若平穩(wěn)過程X(t)與與Y(t)正交，則有正交，則有 ( )0,( )0YXXYSS證明證明 若若X(t)與與Y(t)正交，則正交，則 ( )( )( ) ()0X

8、YYXRRE X t Y t所以所以0)()(YXXYSS性質(zhì)性質(zhì)3 )(Im)(ImXYXYSS)(Im)(ImYXYXSS奇函數(shù)奇函數(shù)2022-1-1813性質(zhì)性質(zhì)5 若若X(t)與與Y(t)不相關(guān)的平穩(wěn)過程，不相關(guān)的平穩(wěn)過程，X(t)和和 Y(t)分別具有常數(shù)均值分別具有常數(shù)均值 和和 ，有，有 XmYm( )( )2( )XYYXXYSSm m 證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閄(t)與與Y(t)不相關(guān)，所以不相關(guān)，所以12( ) ( )XYE X t Y tm m( )( )2( )jXYXYjXYXYSRedm medm m )(21 （ ）( )( )( ) ()XYYXXYRRE X t Y

9、 tm m則則 2022-1-1814性質(zhì)性質(zhì)6 ( ,)( )( ,)( )XYXYYXYXARt tSARt tS性質(zhì)性質(zhì)7 2|( )|( )( )YXXYSSS互譜不等式互譜不等式 2022-1-1815例例 設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過程設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過程X(t)和和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，其互相聯(lián)合平穩(wěn)，其互相 關(guān)函數(shù)關(guān)函數(shù) 為為: : )( XYR0009)(3eRXY求互譜密度求互譜密度 ， 。)( XYS)( YXS2022-1-1816解解30(3)0( )( )9993jjXYXYjSRedeededj *9( )( )3YXXYSSj2022-1-1817 實(shí)際中，考慮多個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程之和的頻實(shí)際中，考慮多個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程之和的頻率特性時(shí)，就要應(yīng)用互譜密度。率特性時(shí)，就要應(yīng)用互譜密度。 設(shè)設(shè)Z(t)=X(t)+Y(t)，其中，其中X(t)和和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)是聯(lián)合平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)過程，則的實(shí)隨機(jī)過程，則的Z(t)自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：對上式求傅里葉變換，可知的功率譜