矩陣的秩的性質(zhì)

1、矩陣的秩的性質(zhì)和矩陣秩與矩陣運(yùn)算之間的關(guān)系要談矩陣的秩， 就得從向量組的秩說起，向量組的秩，簡(jiǎn)而言之 就是其極大無關(guān)組里向量的個(gè)數(shù)。 進(jìn)而擴(kuò)展到線性方程組， 在線性方 程組的概念中(課本 P90)定理1說：“線性方程組有解的充要條件 是，它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩。 ”那么不妨把矩陣用向量組的方式來看， 則有行秩和列秩， 一個(gè)矩 陣的行秩和列秩相同，而其初等變換又不會(huì)改變秩。自然而然，我們 就得到了一個(gè)判斷矩陣秩的方法， 就是將它轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣， 非零 行數(shù)目即其秩。矩陣進(jìn)一步發(fā)展就是運(yùn)算了，包括數(shù)乘、加減、乘積 等，又涉及到單位矩陣、 三角矩陣、可逆矩陣以及矩陣的分塊等概念， 綜合所

2、學(xué)，我們得到如下性質(zhì)：1、矩陣的初等變換不改變秩，任一矩陣的行秩等于列秩。2、秩為r的n級(jí)矩陣(n r)，任意 葉1階行列式為0,并且至 少有一個(gè) r 階子式不為 0.3、rank ( AB) min rank ( A), rank ( B)rank ( A) rank(A') , rank ( A B) rank ( A) rank ( B)rank ( kA) rank (A)4、 設(shè)A是s n矩陣，b為n S矩陣，則rank(A)rank ( B) n rank ( AB) min rank ( A), rank (B)5、設(shè)A是s n矩陣，p,q分別是s,n階可逆矩陣，則ran

3、k(PA) rank (AQ) rank(A)6、 設(shè)A是s n矩陣，B為n S矩陣，且AB=Q則ran k( A) ran k(B) n7、設(shè) A 是 s n 矩陣，則 rank(AA') rank(A'A) rank(A)其中，也涉及到線性方程組解得問題：&對(duì)于齊次線性方程組，設(shè)其系數(shù)矩陣為A，rank(A) n 則方程組有惟一非零解，rank(A) n則有無窮多解，換言之，即為 克萊姆法則，非齊次線性方程組有解時(shí)，rank(A)門惟一解，rank(A) n 有無窮多解。還有滿秩矩陣：9、可逆 滿秩10、行(列)向量組線性無關(guān)，即n級(jí)矩陣化為階梯形矩陣后非 零行數(shù)目

4、為n。擴(kuò)展到矩陣的分塊后:11、A1 0rank 11*rank(AJ rank(An)rankran k(A)ran k (B)12、證明：1、先證明初等變換不會(huì)改變秩，就先從行秩開始。設(shè)矩陣A的行向量組是1， 2川s，設(shè)A經(jīng)過1初等變換j+i*k變成 矩陣B,則B的行向量組是1JII，i，川,k i j，川，s，顯然，1dll, ill,k i j,川，s可由“2| s線性表出，由于j 1 (k i j) k i，因此1， 2川s也可由勺，川，川,k i川|，s線性 表出，于是它們等價(jià)，而等價(jià)向量組有相同的秩，因此 A的行秩等于 B的列秩。容易證明，2型和3型初等變換亦使所得矩陣的行向量組與原矩陣等價(jià)，從而不改變矩陣的行秩。進(jìn)而列秩也可以得到證明，又已知階梯形矩陣的行秩與列秩相同， 那 么，講一個(gè)矩陣通過初等變換得到階梯形矩陣，行秩等于列秩的性質(zhì)便得證。2、設(shè)s n矩陣A的秩為r，則A的行向量組中有r個(gè)線性無關(guān)的向 量，設(shè)A的第III，ir行向量線性無關(guān)，它們組成一個(gè)矩陣 A (稱A 是A的子矩陣)，由于A的行向量組線性無關(guān)，因此 A的行秩為r， 列秩也為r。于是A1又r列線性無關(guān)。設(shè)A1的第j1,川,jr列線性無關(guān)， 它們組成A