2020-2021學年高二數(shù)學北師大版必修5學案：1.1.2　數(shù)列的函數(shù)特性 Word版含解析

1、12數(shù)列的函數(shù)特性知識點一數(shù)列的單調(diào)性 填一填(1)數(shù)列按照項與項之間的大小關系可分為遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動數(shù)列和常數(shù)列；(2)一般地，一個數(shù)列an，如果從第2項起，每一項都大于它前面的一項，即an1>an，那么這個數(shù)列叫作遞增數(shù)列；(3)一個數(shù)列，如果從第2項起，每一項都小于它前面的一項，即an1<an，那么這個數(shù)列叫作遞減數(shù)列；(4)一個數(shù)列，如果從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項，這樣的數(shù)列叫作擺動數(shù)列；(5)如果數(shù)列an的各項都相等，那么這個數(shù)列叫作常數(shù)列答一答1如何證明數(shù)列的單調(diào)性？提示：證明數(shù)列的單調(diào)性的主要方法有：(1)定義法：其中之一是作差比較

2、，為了便于判斷an1an的符號，通常將an1an變成常數(shù)形式或因式連乘積的形式或平方和形式除了作差比較外，也可以采用作商的方法，作商時，首先應明確數(shù)列的項an的符號(an>0還是an<0)，將其商與1進行比較，從而確定數(shù)列的單調(diào)性，對于多項式應進行因式分解，對于根式，進行分子(或分母)有理化(2)借助于數(shù)列圖像的直觀性，證明數(shù)列的單調(diào)性知識點二數(shù)列的遞推公式 填一填如果已知數(shù)列的第一項(或前幾項)及相鄰兩項(或幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的遞推公式答一答2數(shù)列an的通項公式與遞推公式有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？提示：數(shù)列an的通項公式與遞推公式的區(qū)別與聯(lián)系見

3、表數(shù)列概念與函數(shù)概念的聯(lián)系與數(shù)列對應的函數(shù)是一種定義域為正整數(shù)集(或它的前n個數(shù)組成的有限子集)的函數(shù)，它是一種自變量“等距離”地離散取值的函數(shù)從這個意義上看，它豐富了學生所接觸的函數(shù)概念的范圍但數(shù)列與函數(shù)并不能畫等號，數(shù)列是相應函數(shù)的一系列函數(shù)值基于以上聯(lián)系，數(shù)列也可用圖像表示，從而可利用圖像的直觀性來研究數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的通項公式實際上是相應函數(shù)的解析式類型一數(shù)列表示法的應用 【例1】在坐標系中畫出數(shù)列n3，的圖像【思路探究】為了方便，在平面直角坐標系的兩條坐標軸上取的單位長度可以不同【解】如下圖(1)(2)所示規(guī)律方法 數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集n或它的有限子集1,2，n的函數(shù)，因

4、此，數(shù)列的圖像是以(n，f(n)為坐標的無限或有限的孤立的點已知在數(shù)列an中，a14，an1f(an)，nn，函數(shù)yf(x)的對應關系如下表，則a2 019(c)x12345f(x)54321a.1 b2c4 d5解析：由已知可得，a14，a2f(a1)f(4)2，a3f(a2)f(2)4，a4f(a3)f(4)2.數(shù)列an是周期為2的數(shù)列a2 019a1 009×21a14.類型二判斷數(shù)列的單調(diào)性 【例2】設函數(shù)f(x)數(shù)列an滿足anf(n)，nn，且數(shù)列an是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是_【思路探究】分段數(shù)列遞增先是確保各段遞增，再使得兩段相鄰處滿足一定的條件即可【解析】由題

5、意知an因為數(shù)列an是遞增數(shù)列，所以當n7時，3a>0，即a<3；當n>7時，a>1；且a7<a8，即(3a)×73<a86，解得a>2或a<9.故a的取值范圍為2<a<3.【答案】(2,3)規(guī)律方法 數(shù)列單調(diào)性的判斷方法和應用思路1判斷數(shù)列的單調(diào)性通常是通過比較數(shù)列an中任意相鄰兩項an和an1的大小來判斷，常用方法是定義法、作差法和作商法，也可利用與數(shù)列相應的函數(shù)的性質(zhì)進行判斷2利用數(shù)列的單調(diào)性確定變量的取值范圍，解決此類問題常利用以下的等價關系：數(shù)列an遞增an1>an；數(shù)列an遞減an1<an.3分段數(shù)列

6、單調(diào)與相應的分段函數(shù)單調(diào)不同，除了確保各段單調(diào)，還要使得兩段之間滿足一定的條件，如本例中數(shù)列an遞增要滿足a7<a8，而若函數(shù)f(x)遞增則要滿足f(7)a76，要注意兩類問題的區(qū)別已知數(shù)列an的通項公式為ann2tn，若數(shù)列an遞增，則t的取值范圍是(3，)解析：方法一：由數(shù)列遞增，知an1an(n1)2t(n1)(n2tn)2n1t>0恒成立，即t>(2n1)恒成立而nn，所以t>3，故t的取值范圍是(3，)方法二：ann2tn2，由于nn，且數(shù)列an遞增，則結合二次函數(shù)的圖像有<，解得t>3，故t的取值范圍是(3，)類型三數(shù)列中最大項與最小項的求法 【

7、例3】已知數(shù)列an的通項公式為an(n1)·n，試問數(shù)列an有沒有最大項？若有，求出最大項并指明最大項是數(shù)列的第幾項；若沒有，請說明理由【思路探究】【解】方法一：因為an1an(n2)·n1(n1)·nn·，當n<9時，an1an>0，即an1>an；當n9時，an1an0，即an1an；當n>9時，an1an<0，即an1<an.故a1<a2<a3<<a9a10>a11>a12>，所以數(shù)列an有最大項，最大項為第9,10項，即a9a10.方法二：由通項公式知an>0恒成

8、立，令1，即1，整理得，解得n9，且當n9時取等號，即a9a10.令1，即1，整理得，解得n9，且當n9時取等號所以數(shù)列從第1項到第9項遞增，從第10項起遞減，即a1<a2<a3<<a9a10>a11>a12>，故數(shù)列an有最大項，最大項為第9,10項，即a9a10.規(guī)律方法 求數(shù)列an的最大(小)項的方法1利用數(shù)列的單調(diào)性確定數(shù)列的最大(小)項當數(shù)列不單調(diào)時，還需解不等式an1an>0(或>1，此時要關注an的取值符號)來確定數(shù)列單調(diào)的范圍但要注意的是，由解不等式an1an>0(或>1)得到n的取值范圍后，對數(shù)列單調(diào)范圍的確定

9、要當心2通過解不等式組來確定，即設第k(kn，k>1)項是數(shù)列的最大(小)項，則()，求出k的正整數(shù)值即得最大項(最小項)，這樣就不必再判斷數(shù)列的單調(diào)性了已知函數(shù)f(x)2x2x，數(shù)列an滿足f(log2an)2n.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)討論數(shù)列an的單調(diào)性，并證明你的結論解：(1)f(x)2x2x，f(log2an)2n，2log2an2log2an2n，即an2n.a2nan10，解得ann±.an>0，ann.(2)<1，且an>0，an1<an.故數(shù)列an是遞減數(shù)列類型四由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的前幾項 【例4】已知數(shù)列an滿足下列條件

10、，寫出它的前5項，并歸納出數(shù)列的一個通項公式(不要求證明)(1)a10，an1an(2n1)；(2)a11，an1.【思路探究】題中的兩個數(shù)列都是用遞推公式給出的，已知a1可遞推出a2，依此類推，可求出它的任意一項【解】(1)a10，an1an(2n1)，a2a1(2×11)011，a3a2(2×21)134，a4a3(2×31)459，a5a4(2×41)9716.它的前5項依次是0,1,4,9,16.故該數(shù)列的一個通項公式是an(n1)2.(2)a11，an1，a2，a3，a4，a5，它的前5項依次是1，.它的前5項又可寫成，故它的一個通項公式為an

11、.規(guī)律方法 由遞推公式寫出數(shù)列的項的方法(1)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，首先要弄清楚公式中各部分的關系，依次代入計算即可(2)若知道的是末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式(3)若知道的是首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式已知數(shù)列an，a11，以后各項由anan1(n2)給出(1)寫出數(shù)列an的前5項；(2)直接寫出數(shù)列an的通項公式解：(1)a11；a2a1；a3a2；a4a3；a5a4.(2)an.類型五數(shù)列中an與sn的關系 【例5】設數(shù)列an的前n項和為sn，sn，且a454，求數(shù)列an的通項公式【思路探究】利用關系式ansnsn1解題時務必要

12、注意n2這一條件【解】因為a4s4s3(8127)27a154，所以a12，所以sn3n1.當n1時，a1s1312.當n2時，ansnsn13n1(3n11)2×3n1.而2×3112a1，故數(shù)列an的通項公式為an2×3n1.規(guī)律方法 由sn求an的一般步驟通常分為四步：(1)由n1確定a1；(2)由ansnsn1確定an(n2)；(3)檢驗(2)中n1時的結果是否為a1；(4)寫出通項公式已知下列各數(shù)列an的前n項和sn的公式，求數(shù)列an的一個通項公式(1)sn(1)n1·n；(2)sn3n2.解：(1)當n1時，a1s11；當n2時，ansnsn

13、1(1)n1·n(1)n·(n1)(1)n·(2n1)a1也適合此等式，數(shù)列an的一個通項公式為an(1)n·(2n1)(nn)(2)當n1時，a1s11；當n2時，ansnsn13n2(3n12)2·3n1.a1不適合此等式，數(shù)列an的一個通項公式為an類型六數(shù)列的實際應用 【例6】為了完成綠化任務，某林區(qū)改變植樹計劃，第一年的植樹增長率為200%，以后每年的植樹增長率都是前一年植樹增長率的.(1)假設成活率為100%，經(jīng)過4年后，林區(qū)的樹木數(shù)量是原來樹木數(shù)量的多少倍？(2)如果每年都有5%的樹木死亡，那么經(jīng)過多少年后，林區(qū)的樹木數(shù)量開始下降

14、？【思路探究】(1)設出林區(qū)原有的樹木數(shù)量，逐項遞推出每年的樹木數(shù)量；(2)利用數(shù)列的增減性求解【解】(1)設林區(qū)原有的樹木數(shù)量為a，調(diào)整計劃后，第n年的樹木數(shù)量為an(n1,2,3，)，則a1a(1200%)3a，a2a1(1100%)2a16a，a3a2a29a，a4a3a3a.故經(jīng)過4年后，林區(qū)的樹木數(shù)量是原來樹木數(shù)量的倍(2)若每年損失樹木數(shù)量的5%，則第n年的樹木數(shù)量與第(n1)年的樹木數(shù)量之間的關系式為anan1·(15%)an1(n2，且nn)設第n年后樹木數(shù)量開始減少，則即解得(nn)，即n6.故經(jīng)過6年后，林區(qū)的樹木數(shù)量開始下降規(guī)律方法 本題第(1)問中，由特例入手

15、，從而求出a4，體現(xiàn)出由特殊到一般的基本思想方法，是數(shù)學中歸納推理思想的體現(xiàn)在第(2)問中，注意到數(shù)列an的項的變化特征，可知“第n年后樹木數(shù)量開始減少anan1且anan1”，因此問題轉(zhuǎn)化為解關于n的不等式組某企業(yè)經(jīng)過調(diào)整后，第一年資金的增長率為300%，以后每年的資金增長率都是前一年資金增長率的.(1)經(jīng)過4年，企業(yè)的資金是原來資金的多少倍？(2)如果由于某種原因，每年損失資金5%，那么經(jīng)過多少年后，企業(yè)資金開始下降？解：(1)設企業(yè)原有資金為a，調(diào)整后第n年的資金為an，則a14a，a28a，a3a，a4a.故經(jīng)過4年，企業(yè)資金是原來的倍(2)若每年損失資金5%，則第n年后的資金與第(n

16、1)年后的資金之間的關系式為anan1(15%)an1(n2，且nn)設第n年后資金開始減少，則即整理得(nn)，解得n4.故經(jīng)過4年后，企業(yè)資金開始下降易錯警示系列忽視數(shù)列與函數(shù)的關系致誤【例7】設函數(shù)f(x)anf(n)，若數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍為()a(，2)b(，c(，) d，2)【錯解】b由題意，知，a，故選b.【錯解分析】本題受函數(shù)單調(diào)性的影響形成思維定勢，只考慮兩段與分界點，事實上，數(shù)列是特殊的函數(shù)，在處理其單調(diào)性時要根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的充要條件來求解【正解】c由題意，知f(x)(a2)x在(2，)上是減函數(shù)，且a1>a2，所以即解得a<.故選c.已知

17、數(shù)列an的通項公式為ann221n20.(1)n為何值時，an有最小值？并求出最小值；(2)n為何值時，該數(shù)列的前n項和最??？解：(1)因為ann221n20(n)2，可知對稱軸方程為n10.5.又因nn，故n10或n11時，an有最小值，其最小值為11221×112090.(2)設數(shù)列的前n項和最小，則有an0，由n221n200，解得1n20，故數(shù)列an從第21項開始為正數(shù)，所以該數(shù)列的前19或20項和最小一、選擇題1數(shù)列an中，an2n，則an是(b)a遞增數(shù)列b遞減數(shù)列c常數(shù)列 d以上都不是解析：an1an2(n1)(2n)2<0，則an是遞減數(shù)列2遞減數(shù)列an中，ankn(k為常數(shù))，則實數(shù)k的取值范圍是(c)arb(0，)c(，0) d(，0解析：an1ank(n1)knk<0.3設ann21