【KS5U解析】天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)學(xué)校2020屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、2020年天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)學(xué)校高三畢業(yè)班聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)試卷第卷 選擇題（共45分）參考公式：·如果事件、互斥，那么柱體的體積公式其中表示柱體的底面積，表示柱體的高一、選擇題（在每小題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，本大題共9小題，每小題5分，滿分45分）1.已知全集，集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先表示出集合a的元素，然后求出.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?故選：c.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的運(yùn)算，化簡集合為最簡形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.已知，則“”是“對恒成立”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c.

2、充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】【分析】先求出“對恒成立”的的范圍，結(jié)合范圍大小進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)閷愠闪?，所以或，即；由于“”是“”的充分不必要條件，故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查四種條件的判定，把提供的語句進(jìn)行化簡是求解的關(guān)鍵，二次型恒成立問題一般結(jié)合圖象進(jìn)行求解.3.函數(shù)的圖象大致是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)對比圖象的特征，逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】由，為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)b；當(dāng)時(shí)，排除選項(xiàng)d；當(dāng)時(shí)，則在時(shí)單調(diào)遞增，排除選項(xiàng)a.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的識別，考查了函數(shù)奇偶性和利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于

3、中檔題.4.張衡是中國東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方等于10，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且，若該三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，利用張衡的結(jié)論可得該球的表面積為（ ）a. 8b. c. 12d. 【答案】b【解析】【分析】先根據(jù)題意確定出球心的位置，求出球的半徑，結(jié)合球的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】由題可知矩形的中心為該三棱柱外接球的球心，如圖，因?yàn)?，所以，所以球的表面積為.故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體的外接球問題，幾何體的外接球問題求解的關(guān)鍵是確定球心位置，求出球半徑，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).5.某社區(qū)組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的知識競賽，從參加競賽的市民中抽出40人

4、，將其成績分成以下6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從第2，3，4組中按分層抽樣抽取8人，則第2，3，4組抽取的人數(shù)依次為（ ）a. 1，3，4b. 2，3，3c. 2，2，4d. 1，1，6【答案】c【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可得第2，3，4組中頻數(shù)之比，結(jié)合分層抽樣的特點(diǎn)可得人數(shù).【詳解】由圖可知第2，3，4組的頻率之比為0.15:0.15:0.3，所以頻數(shù)之比為1:1:2，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從第2，3，4組中按分層抽樣抽取8人，所以第2，3，4組抽取的人數(shù)依次為2，2,4.故選：c.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率

5、分布直方圖的解讀及分層抽樣方法，通過頻率分布直方圖可得出頻率是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).6.若雙曲線c：（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線c的離心率為（ ）a. 2b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先求出圓心到漸近線的距離，結(jié)合被圓截得的弦長，建立方程，可得，進(jìn)而可求離心率.【詳解】設(shè)雙曲線c：（，）的一條漸近線，圓的圓心為，半徑為，圓心到漸近線的距離為，因?yàn)闈u近線被圓所截得的弦長為，所以，解得，即所以.故選：d.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線性質(zhì)及圓的弦長問題，把圓的弦長化簡為等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，在

6、時(shí)，單調(diào)遞增若，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，為圓周率），則的大小關(guān)系為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，可得的圖象關(guān)于軸對稱，結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行比較可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象關(guān)于軸對稱，因?yàn)闀r(shí)，單調(diào)遞增，所以時(shí)，單調(diào)遞減；因?yàn)?，所?故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).8.關(guān)于函數(shù)，有下列命題：的最小正周期為； 函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；在區(qū)間上單調(diào)遞增；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得到的圖象與函數(shù)的圖象重合其中正確的命題是（ ）a. b. c

7、. d. 【答案】a【解析】【分析】先化簡函數(shù)，然后結(jié)合所給命題進(jìn)行逐個(gè)驗(yàn)證.【詳解】所以的最小正周期為，正確；當(dāng)時(shí)，所以正確；當(dāng)時(shí)，此時(shí)為增函數(shù)，所以正確；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)解析式為，所以不正確；故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，把函數(shù)化為最簡形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).9.在等腰梯形中，點(diǎn)f是線段ab上的一點(diǎn)，為直線bc上的動(dòng)點(diǎn)，若，且，則的最大值為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出，寫出的表達(dá)式，【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，由已知可得，；設(shè)，則，

8、由可得解得，所以；，由得，解得，此時(shí).設(shè),則，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值.故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算及應(yīng)用，平面向量問題優(yōu)先考慮坐標(biāo)運(yùn)算，最值問題應(yīng)先構(gòu)建目標(biāo)式，結(jié)合目標(biāo)式的特點(diǎn)進(jìn)行求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).第卷 非選擇題（共105分）二、填空題（大題共6小題，每小題5分，共30分把答案填在答題卡中的相應(yīng)橫線上）10.若復(fù)數(shù)滿足：，則復(fù)數(shù)z的虛部是_【答案】-1【解析】【分析】先求解，再化簡復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得復(fù)數(shù)z的虛部.【詳解】因?yàn)?，所以，所以虛部為；故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，明確復(fù)數(shù)除法的規(guī)則是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).11.二項(xiàng)式中，則其展

9、開式中x的系數(shù)是_【答案】405【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【詳解】展開式通項(xiàng)公式為，令得，所以展開式中x的系數(shù)是.故答案為：405.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解特定項(xiàng)時(shí)，要先整理合并，然后進(jìn)行賦值可求，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).12.拋物線：的焦點(diǎn)f，其準(zhǔn)線過（-2，2），過焦點(diǎn)f傾斜角為的直線交拋物線于a，b兩點(diǎn)，則=_ ; 弦ab的長為_ 【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】先根據(jù)準(zhǔn)線過（-2，2），可求，然后聯(lián)立直線和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求弦長.【詳解】因?yàn)閽佄锞€：準(zhǔn)線過（-2，2），所以，即.由題意得

10、直線，聯(lián)立得，設(shè)，則.弦長.故答案為： 4 .【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，拋物線的焦點(diǎn)弦長可由公式求得，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).13.為了貫徹落實(shí)黨中央對新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，堅(jiān)決防范疫情向校園蔓延，切實(shí)保障廣大師生身體健康和生命的安全，教育主管部門決定通過電視頻道、網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)等多種方式實(shí)施線上教育教學(xué)工作為了了解學(xué)生和家長對網(wǎng)課授課方式的滿意度，從經(jīng)濟(jì)不發(fā)達(dá)的a城市和經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的b城市分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到了一個(gè)用戶滿意度評分的樣本，并繪制出莖葉圖如下：若評分不低于80分，則認(rèn)為該用戶對此授課方式“認(rèn)可”，否則認(rèn)為該用戶對此授課方式“不認(rèn)可”以該樣本中a，

11、b城市的用戶對此授課方式“認(rèn)可”的頻率分別作為a，b城市用戶對此授課方式“認(rèn)可”的概率現(xiàn)從a城市和b城市的所有用戶中分別隨機(jī)抽取2個(gè)用戶，用表示這4個(gè)用戶中對此授課方式“認(rèn)可”的用戶個(gè)數(shù)，則_；用表示從a城市隨機(jī)抽取2個(gè)用戶中對此授課方式“認(rèn)可”的用戶個(gè)數(shù)，則的數(shù)學(xué)期望為_ 【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先根據(jù)頻率得出“認(rèn)可”授課方式的概率，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)可求，利用二項(xiàng)分布的期望公式可得的數(shù)學(xué)期望.【詳解】根據(jù)題意可得a，b城市的用戶對此授課方式“認(rèn)可”概率分別為；由題意可知，所以.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布的期望，熟悉獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生k次的求解

12、公式是解題關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).14.若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】先利用基本不等式求解的最小值，然后求解二次不等式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值1；所以，解得或.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求解最值及一元二次不等式的解法，基本不等式使用時(shí)，注意符合公式的結(jié)構(gòu)形式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 【答案】【解析】【分析】結(jié)合分段函數(shù)的特點(diǎn)及圖象，分段進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合相切狀態(tài)的的值，可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)與相切于點(diǎn)，則，解得.如圖，若

13、有三個(gè)零點(diǎn)，則.當(dāng)時(shí)，設(shè)與相切，則，由可得或（舍），如圖，因?yàn)闀r(shí)，與必有一個(gè)交點(diǎn)，所以若有三個(gè)零點(diǎn)，則.綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)，利用零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)時(shí)注意數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).三、解答題（本大題5小題，共75分解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）16.中，內(nèi)角，所對的邊分別為，已知的面積為，（1）求和的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用平方關(guān)系求出，結(jié)合面積公式和已知可得，然后利用余弦定理可求，利用正弦定理可得的值；（2）先求解，利用倍角公式可得，結(jié)合和角公式可求的值【詳解】

14、（1）在中，由，可得，的面積為，可得：，可得又，解得：，或，（舍去），又，解得；所以；（2）由（1）知：，所以，所以，【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理求解三角形及三角求值問題，倍角公式及和角公式的熟練應(yīng)用是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).17.如圖，平面平面，為矩形，為等腰梯形，分別為，中點(diǎn)，（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在求出的長，若不存在，說明理由【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）不存在這樣的，理由詳見解析【解析】【分析】（1）連接，利用三角形中位線性質(zhì)可得，進(jìn)而可證平面；（2）建立空間坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用向

15、量夾角公式及平方關(guān)系可得二面角的正弦值；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，根據(jù)表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用得出矛盾，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】（1）連接，為，中點(diǎn)，又平面，平面，平面（2）過點(diǎn)作，垂足為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，令，設(shè)平面的一個(gè)方向量為，二面角的正弦值為（3）假設(shè)存在這樣一點(diǎn)，設(shè)，由（2）知，平面的法向量.設(shè)，即，即， 平面，且，即不存在這樣的，線段上不存在點(diǎn)，使得平面【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的證明和二面角的求解及探索性問題，線面平行通常利用輔助線證明線線平行得出，二面角一般借助平面法向量進(jìn)行求解，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).18.已知橢圓的左、

16、右焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，的最大面積是（1）求橢圓的方程；（2）圓e經(jīng)過橢圓的左、右焦點(diǎn)，且與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，且三點(diǎn)共線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，且（i） 求直線的斜率；（ii）當(dāng)?shù)拿娣e取到最大值時(shí)，求直線的方程【答案】（1）；（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率建立等式，結(jié)合的最大面積是可求橢圓的方程；（2）（i）利用圓的對稱性可得圓心為軸上一點(diǎn)，結(jié)合，三點(diǎn)共線可以表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程可求點(diǎn)，進(jìn)而可得直線的斜率；（ii）設(shè)出直線的方程，求出弦長，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，結(jié)合面積公式及二次函數(shù)知識可求直線的方程【詳解】（1）離心率

17、，面積的最大值為：，；橢圓方程為（2）（i）圓經(jīng)過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，圓心為軸上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，圓與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，三點(diǎn)共線，且是圓的一條直徑，將點(diǎn)代入橢圓方程得到，即，直線的斜率為（ii），直線的斜率也為，設(shè)直線，聯(lián)立，得，點(diǎn)到直線：的距離，當(dāng)，即時(shí)的面積最大，此時(shí)直線的方程為：【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程和三角形面積的問題，方程求解的關(guān)鍵是明確的大小，面積問題一般結(jié)合弦長公式進(jìn)行求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：；（3）設(shè)，求【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）【解析】【分析】（1

18、）根據(jù)成等差數(shù)列可得公比，利用可求首項(xiàng)，從而可求；利用可得數(shù)列是常數(shù)列，從而可得；（2）先求出，然后裂項(xiàng)求和可得，進(jìn)而可證；（3）利用錯(cuò)位相減法求出，得到，進(jìn)而可得.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，有，所以，因?yàn)?，所以，且，解得或（舍），因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.當(dāng)時(shí)，整理得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為常數(shù)列所以，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）由（1），得，所以（3）由題意，.，【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和，錯(cuò)位相減法求和等，綜合性較強(qiáng)，裂項(xiàng)求和要合理裂項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)的變化，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).20.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若存在，且當(dāng)時(shí)，證明：【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，無極值；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；極小值為，無極大值；（2）；（3）詳見解析【解析】【分析】（1）求出，分類討論的取值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號可得單調(diào)區(qū)間和極值；（2）令，求解導(dǎo)數(shù)，分別討論時(shí)和時(shí)兩種情況，結(jié)合函數(shù)最值，可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）先令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，把條件轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，證明，進(jìn)而可證.【詳解】（1），定義域，（i）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，無極值；（ii）當(dāng)時(shí)，令，解得，的單調(diào)遞