《角平分線》教案北師大版

1、14角平分線第 1 課時(shí)角平分線1復(fù)習(xí)角平分線的相關(guān)知識，探究歸納角平分線的性質(zhì)和判定定理； (重點(diǎn) )2能夠運(yùn)用角平分線的性質(zhì)和判定定理解決問題 (難點(diǎn) )一、情境導(dǎo)入問題：在 S 區(qū)有一個(gè)集貿(mào)市場 P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上， 要從 P 點(diǎn)建兩條路，一條到公路，一條到鐵路問題 1：怎樣修建道路最短？問題 2：往哪條路走更近呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：角平分線的性質(zhì)定理【類型一】 應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理證明線段相等如圖，在 ABC 中， C90°， AD 是 BAC 的平分線， DE AB 于 E， F在 AC 上，BD DF .求證：(1)CF EB；(2)AB AF 2

2、EB.解析： (1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得點(diǎn)D 到 AB 的距離等于點(diǎn)D 到 AC 的距離，即CD DE .再根據(jù)Rt CDF Rt EBD ，得CFEB；(2)利用角平分線的性質(zhì)證明 ADC 和 ADE 全等得到 AC AE，然后通過線段之間的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明證明： (1) AD 是 BAC 的平分線， DE AB ， DC AC， DE DC .在 Rt DCFBD DF ，和 Rt DEB 中， RtCDF DC DE ， RtEBD (HL) CF EB；(2) AD 是 BAC 的平分線， DE AB，DC AC ， CD DE.在 ADC與 ADECD DE，中，AD AD， A

3、DC ADE (HL) ， AC AE ， AB AE BEAC EB AF CF EB AF 2EB.方法總結(jié)： 角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的一個(gè)重要依據(jù)， 在應(yīng)用時(shí)一定要注意是兩條 “ 垂線段 ” 相等【類型二】 角平分線的性質(zhì)定理與三角形面積的綜合運(yùn)用如圖， AD 是 ABC 的角平分線， DE AB，垂足為 E，S ABC7，DE 2，AB4，則 AC 的長是 ()A6B5C4D3解析： 過點(diǎn) D 作 DF AC 于 F， AD 是 ABC 的角平分線， DE AB， DF DE第1頁共3頁11 2，SABC 2× 4×22× AC× 27，解

4、得 AC 3.故選 D.方法總結(jié)： 利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高， 再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法【類型三】 角平分線的性質(zhì)定理與全等三角形的綜合運(yùn)用如圖所示，D 是ABC 外角 ACG 的平分線上的一點(diǎn) DE AC， DF CG，垂足分別為 E， F .求證： CE CF .解析： 由角平分線上的性質(zhì)可得DE DF ，再利用 “HL ”證明 Rt CDE 和 Rt CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可證明： CD 是 ACG 的平分線， DE AC， DF CG， DE DF .在 Rt CDECD CD ，和 RtCDF 中， Rt CDE DE DF

5、， Rt CDF (HL) ， CE CF .方法總結(jié)： 全等三角形的判定離不開邊，而角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的主要依據(jù)，可作為判定三角形全等的條件探究點(diǎn)二：角平分線的判定定理【類型一】角平分線的判定如圖， BECF ，DE AB 的延長線于點(diǎn) E，DF AC 于點(diǎn) F，且 DBDC，求證： AD 是 BAC 的平分線解析： 先判定 Rt BDE 和 Rt CDF 全等，得出 DE DF ，再由角平分線的判定可知 AD 是 BAC 的平分線證明： DE AB 的延長線于點(diǎn)E，DF AC 于點(diǎn) F， BED CFD ， BDE與 CDF 是直角三角形在Rt BDE 和 RtBE CF ， C

6、DF 中，BD CD ， Rt BDE Rt CDF (HL) ， DE DF . DE AB， DF AC， AD 是 BAC 的平分線方法總結(jié)： 證明一條射線是角平分線的方法有兩種： 一是利用三角形全等證明兩角相等；二是角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上【類型二】角平分線的性質(zhì)和判定的綜合如圖所示， ABC 中， ABAC ， AD 是 BAC 的平分線， DE AB，DF AC，垂足分別是 E、F .下面給出四個(gè)結(jié)論， AD 平分 EDF ； AE AF ； AD 上的點(diǎn)到 B、 C 兩點(diǎn)的距離相等；到 AE、AF 距離相等的點(diǎn)，到 DE、DF 的距離也相等 其中正確的結(jié)論有 ()

7、A1 個(gè) B2 個(gè) C3個(gè) D4 個(gè)解析： 由 AD 平分 BAC， DE AB，DFAC可得DEDF，由此易得 ADE ADF ，故 ADE ADF ，即 AD 平分 EDF 正確； AE AF 正確；中垂線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等， 故 正確；到 AE、AF 距離相等的點(diǎn)， 在 BAC的角平分線 AD 上，到 DE、DF 的距離相等的點(diǎn)在 EDF 的平分線 DA 上，兩者同一條直線上，所以到 DE、DF 的距離也相等正確，故 正確； 都正確故選 D.方法總結(jié)： 運(yùn)用角平分線的性質(zhì)或判定時(shí)，可以省去證明三角形全等的過程，可以直接得到線段或角相等【類型三】 添加輔助線解決角平分線的問題如圖，

8、ABC 的 ABC 和 ACB 的外角平分線交于點(diǎn) D .求證： AD 是 BAC 的平分線第2頁共3頁解析： 分別過點(diǎn) D 作 DE 、DF 、 DG 垂直于 AB、 BC、 AC，垂足分別為 E、 F、 G，然后利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可知 DE DG ，再利用到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上來證明證明： 分別過 D 作 DE 、DF 、 DG 垂直于 AB、BC、AC，垂足分別為 E、F 、G. BD平分 CBE， DE BE， DF BC ， DE DF .同理 DG DF ， DE DG ，點(diǎn) D 在 BAC 的平分線上， AD 是 BAC 的平分線方法總結(jié)： 在遇到角平

9、分線的問題時(shí)，往往過角平分線上的一點(diǎn)作角兩邊的垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)解決問題【類型四】 線段垂直平分線與角平分線的綜合運(yùn)用如圖， 在四邊形 ADBC 中，AB 與 CD 互相垂直平分，垂足為點(diǎn) O.方法總結(jié)： 本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合， 掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關(guān)鍵三、板書設(shè)計(jì)1角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等2角平分線的判定定理在一個(gè)角的內(nèi)部， 到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上本節(jié)課由于采用了動手操作以及討論交流等教學(xué)方法， 從而有效地增強(qiáng)了學(xué)生對角以及角平分線的性質(zhì)的感性認(rèn)識， 提高了學(xué)生對新知識的理解與感悟， 因而本節(jié)課的教學(xué)效果較好，學(xué)生對所學(xué)的新知識掌握較好，達(dá)到了教學(xué)的目的 不足之處是少數(shù)學(xué)生在性質(zhì)的運(yùn)用上還存在問題， 需要在今后的教學(xué)與作業(yè)中進(jìn)一步的加強(qiáng)鞏固和訓(xùn)練.(1)找出圖中相等的線段；(2)OE， OF 分別是點(diǎn)O 到 CAD 兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系解析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；(2)由條件可證明 AOC AOD ，可得 AO 平分 DAC ，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得 OE OF.