熱學(xué)習(xí)題思考題解題指導(dǎo)

1、標(biāo)準(zhǔn)文案1.3.71.3.7在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下給一氣球充氫氣。此氣球的體積可由外界壓強的變化而改變。充氣完畢時該氣球的體積為- ，而球皮體積可予忽略。（1 1 ）若貯氫的氣罐的體積為匚二廠p( z/H)dz2RE0 zexp( z/ H )dzn(0) 4n-kTRE21mg2kTmg RE標(biāo)準(zhǔn)文案利用（3 3 ）式可以看到，（2 2）式的方括號中的第二項比第一項小 比第二項小 3 3 個數(shù)量級。我們完全可以忽略其中的第二項和第三項。行計算要簡便得多。這時2kT2N n(0)4冗璋()n(0) 4nR；Hmg其中H為大氣標(biāo)高。由此看來，把地球的所有大氣分子壓縮為一層環(huán)繞地球表面的、壓 強為一個大氣壓

2、的均勻氣體球殼，這層球殼厚度就是大氣標(biāo)高。2.2.B.4B.4設(shè)想在遠離地球的太空中有一宇宙飛船，飛船有一真空實驗艙。 中有一質(zhì)量為 M M 的試管，它被質(zhì)量為 m m 的隔板分隔為體積相等的兩部分。被隔板圭寸閉的那部分空間中有溫度為 T T,摩爾質(zhì)量為 M Mm, ,物質(zhì)的量為 的單原子理想氣體。隔板被放開后，隔板無摩擦 的向上移動。在隔板離開試管頂端后氣體才開始從試管中逸出。設(shè)試管開始運動時試管靜止。試求試管的最終速度。設(shè)氣體、試管、隔板三者之間的熱量交換可以忽略，在隔板離開試管前，氣體經(jīng)歷的是 準(zhǔn)靜態(tài)過程?！痉治觥坑捎谠嚬芡獠繛檎婵?，開始時整個系統(tǒng)都是靜止的，隔板被放開后氣體將膨脹，但整

3、個過程都是絕熱的準(zhǔn)靜態(tài)過程，我們可以利用絕熱過程方程來解這個問題。在絕熱膨脹過程中，氣體能減少，溫度降低。但是由于不存在重力， 氣體不對整個系統(tǒng)以外的部分做功， 所減少的能全部轉(zhuǎn)化為隔板和試管的動能以及氣體的整體定向運動動能，由于整個系統(tǒng)的總kTmgRE1.38 102327329 1.67 10279.8 6.4 1060.00124(3)(3)3 3 個數(shù)量級，第三項又顯然，用近似方法進標(biāo)準(zhǔn)文案其中 v v 為隔板離開試管時，隔板向上運動的速度,u1u1 是試管向下運動時的速度。氣體能的減少轉(zhuǎn)變?yōu)槎ㄏ蜻\動動能，所以U Ek另外，根據(jù)整個系統(tǒng)的總動量守恒，有mv ( MmM )ui動量守恒，

4、所以隔板向上運動的動量等于試管以及所裝氣體的向下運動的動量，這樣就可以確定隔板離開試管時試管以及所裝氣體的向下運動的速度u1u1，以上稱為過程“ 1 1 ”。當(dāng)隔板離開試管以后（這稱為過程“2 2 ”）氣體將陸續(xù)逸出（最終將全部逸出）試管。雖然系統(tǒng)仍然絕熱，但是它不是準(zhǔn)靜態(tài)過程，絕熱過程方程不能適用。詳細分析：（1 1）在氣體還沒有逸出試管時， 特別是隔板被固定時，由于氣體分子的無規(guī)則運動，平均來說，分別有 一半分子以平均速率撞擊隔板和試管底，因而給隔板和試管底分別施以相等的動量。在隔板沒有固定時，給以隔板動量使得氣體做絕熱膨脹；給以試管底的動量使得試管以u1u1 速度向下運動。正如上面分析的

5、，計算u1u1 的關(guān)鍵是整個系統(tǒng)的總動量守恒。（2 2 ）當(dāng)隔板離開試管時，氣體已經(jīng)以速度u1u1 和試管一起向下運動。但是在隔板離開試管以后，氣體給以試管底的動量仍然存在，這個動量使得試管向下的運動速度又增加了u2u2，我們可以在以 u1u1 速度向下運動的參考系中來求u2u2，而在地面參考系中試管的速度應(yīng)該是u1+u2.u1+u2.1 1TVTfVf隔板、試管和氣體的總的定向運動動能為mv2u：(Ek【解】（1 1）過程“ 1 1 ”：正如上面分析的, 這是一個準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程，設(shè)開始時以及隔板即將離開試管時氣體的溫度和體積分別是（丁2 2）和（T Tf, V Vf）則應(yīng)該有如下關(guān)系:其中國

6、 Vf=2VVf=2V，丫=5/3=5/3（單原子理想氣體），則有TfT22忌氣體容減少了UCv,mT3R(YYf)標(biāo)準(zhǔn)文案其中 M M 為試管的質(zhì)量?？紤]到MmNAE分子，并且利用(1)(1)式，將（7 7）（ 8 8）式代入 (9(9)u2 -, 3MmRT23M由此得到試管的最終運動速度為:23(231)mRTu u1u2廠2I( MmM)(m MmM)123M,3MmRT3.8.23.8.2標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氦氣的粘度為i，氬氣的粘度為2，他們的摩爾質(zhì)量分別為其中 m m分子為分子的質(zhì)量，T Tf為隔板離開試管以后氣體的溫度。一個分子對試管底撞擊產(chǎn)生2m分子V的沖量，一半分子的撞擊給以試管底的

7、總沖量為NA：3RTf1 N 2m分子v-N2m分子祐這個沖量使得試管產(chǎn)生動量的改變，從而得到附加速度由上述各式可以解得Ui3(231) _ mRT_2(MmM)(m_MmM)（2 2）過程“ 2 2”：隔板離開試管以后，我們把正在向下運動的試管作為參考系。正如上面分析的，平均來說，可以認(rèn)為有一半的分子向試管底撞擊，這些分子的數(shù)量為N分子撞擊速率應(yīng)該是平均速率，現(xiàn)在已方均根速率代替它，有v .3MmRTf3RTfm分子標(biāo)準(zhǔn)文案比等于多少？ （ 2 2 ）氦的導(dǎo)熱系數(shù)1與氬的導(dǎo)熱系數(shù)2之比等于多少？（ 3 3）氦的擴散系數(shù)M十D11M2所以VD22M1（4 4 ）由（1 1 ）可以得到lRTM1

8、21.021 210 m1飛31NADi與氬的擴散系數(shù)D2之比等于多少？（ 4 4）此時測得氦氣的粘度1.87 103N和氬氣的粘度22.11 103Ns m2。用這些數(shù)據(jù)近似的估算碰撞截面【解】（1 1）因為nm31 -v2 n，8kT則有在溫度相同情況下,（2 2）因為mv2 km3 ”T原子和氦原子碰撞的碰撞截面1和氬原子與氬原子的碰撞截面2之比M11. M2nmvCv,mMmCV,mMm則有M2M1（3 3）應(yīng)為nmv3mn所以3.9.23.9.2在熱水瓶里灌進質(zhì)量為m=1.00m=1.00 kgkg 的水，熱水瓶膽的表面S=700S=700 cmcm2, ,瓶膽外2標(biāo)準(zhǔn)文案/RTM2

9、22.821 210 m2、32NA標(biāo)準(zhǔn)文案容器的間隙 d=5.00d=5.00 mm,mm,間隙氣體壓強 p=1.00p=1.00 Pa,Pa,假設(shè)熱水瓶的熱量只是通過間隙的氣體 的熱傳導(dǎo)而散失。試確定需要多少時間容器的水溫從9090C降為 8080C,取環(huán)境溫度為 2020C。【解】可以假定熱水瓶膽夾層氣體充滿及其稀薄的氣體熱傳導(dǎo)條件,積上傳遞的熱量為1 iKT (90 C 80 C) 20 C 273K326K2 2C而且有n P,Cv,m5RkT2由于在 dtdt 時間漏出的熱量是由水的溫度降低dTdT 所釋放的熱量提供的， 故JTAdt cm水dT其中c 4.18 103J kg1K

10、1為水的比熱容，將（1 1） （2 2 ） （ 3 3）代入（4 4 ）后積分有1叫6.RTMmdTT T。Ap 5R ,23.3.B.4B.4 10001000oC的加熱室中蒸發(fā)的鈹（相對原子質(zhì)量為9 9）原子束的簡單示意圖。加熱室 A A 中蒸發(fā)出來的鈹原子經(jīng)小孔逸出，再經(jīng)狹縫準(zhǔn)直器B B 而形成原子束，最后進入另一真空室 D D 中，（1 1 ）原子束將與真空室背景分子進行碰撞，若進行1m1m 后其原子束強度（單位時間通過的原子數(shù)）減少為1/e1/e。真空室溫度為 300K300K，試問真空室壓強多少？設(shè)鈹原子與真空中分子的碰撞截面為1020m2， 忽略鈹原子間的碰撞。 （2 2 ） 鈹

11、原子束的平均速率是多 少？（ 3 3）鈹原子進行 1m1m 所需平均時間是多少？（4 4）估計鈹原子束撞擊容器壁所產(chǎn)生的單位時間在單位面1 -n v(T6To)CV,mNA(1)(1)根式的 TT為降溫過程中夾層氣體的平均溫度(2)(2)(3)(3)(4(4)dt04h其中v標(biāo)準(zhǔn)文案壓強（設(shè)鈹原子束穿出狹縫時粒子數(shù)密度為）1010cm3，因真空室室溫較低，所有撞擊在容器壁上的鈹原子均沉積在器壁上），將這一壓強與真空室中氣體壓強進行比較。標(biāo)準(zhǔn)文案【分析】這是泄流問題（它和氣體分子碰壁數(shù)屬于同一類問題），也是一個和分子束分布、自由程、氣體壓強等基本概念有關(guān)的綜合性問題?！窘狻浚? 1 ）按照自由程

12、分布，自由程分布在xx dx的概率為dN1xP(x)dx= exp()dx(1 1)N0由題中可知原子束的自由程出現(xiàn)在1m間的概率為 1/e,1/e,即1xP(x)dx -(2 2)x0e由（1 1）（ 2 2）可以求出鈹原子束與真空室空氣碰撞的平均自由程為1m為了求出真空室壓強，利用平均自由程公式- kT2 pkTi由此得到p - 2.93 101Pa42（2 2）鈹原子束的平均速率可以由分子束的平均速率公式求得9 3.14 1.38 10231273-27m s8 9 1.67 102000 m s（3 3）鈹原子進行 1m1m 所需平均時間t仝5 104s v束（4）鈹原子束剛進入真空容

13、器時，單位時間透過單位截面積的平均分子數(shù)為(3)(3)nv束V束標(biāo)準(zhǔn)文案其中 n n。為該截面處鈹原子束的粒子數(shù)密度，則碰到單位面積器壁上的鈹原子數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)文案因為從 10001000 高溫容器中出來的鈹原子束是與300K300K 真空容器壁相碰撞，兩者溫度相差非常大，可假設(shè)原子束與器壁完全非彈性碰撞，撞擊粒子全部粘附在器壁上，每個分子產(chǎn)生的動量改變mv束，所有這些分子撞擊容器壁所產(chǎn)生的壓強為1 - p束-noV束mv束en09 kT18e2.3 104Pa4.4.B.1B.1聲波可在氣體管中形成駐波。現(xiàn)用1000Hz1000Hz 的聲波在碘蒸氣管中做實驗，在溫度為 400K400K 時，測得管

14、形成的駐波的相鄰波節(jié)間距為6.77cm6.77cm。試問：（1 1 ）聲波的波速是多少？ （ 2 2）管碘蒸氣分子是單原子分子還是雙原子分子？為什么？已知碘的相對原子質(zhì)量為1127127，聲波在氣體中的傳播速度滿足V V -關(guān)系，其中為氣體密度，s為氣體的絕V s1 V熱壓縮系數(shù)s（）sV P下標(biāo)S S”表示絕熱過程?！痉治觥侩m然本題沒有指出碘蒸氣是什么氣體，但是可以假定它是理想氣體，否則無法解題。這是一個有關(guān)絕熱過程、能量均分定理波動中的駐波的復(fù)合題。應(yīng)該明確，聲波在 氣體中的傳播是滿足絕熱條件的，所以要利用絕熱壓縮系數(shù)來著手解題?！窘狻拷^熱過程方程為pV C1兩邊微分得到V dp V dV

15、 0兩邊同時除以V dV，并且考慮到這是一個絕熱過程，一下彪“s s”表示標(biāo)準(zhǔn)文案-)spV標(biāo)準(zhǔn)文案5.3.75.3.7絕熱壁包圍的汽缸被以絕熱活塞分割成A A、B B 兩室?；钊谄卓蔁o摩擦的自由滑動。A,BA,B 各有 1mol1mol 的雙原子理想氣體。初始時氣體處于平衡態(tài)，它們的壓強、體積、溫 度分別為p p0,V,V,T,T0.A A 室中有一電加熱器使之徐徐加熱，知道 A A 室中壓強變?yōu)?2p2p0，試問：（1 1）最后 A,BA,B 兩室氣體溫度分別為多少？ （2 2 ）在加熱過程中，A A 室氣體對 B B 室做了多少功？（3 3 ）加熱器傳給 A A 室氣體多少熱量？ （

16、 4 4） A,BA,B 兩室的總熵變是多少？【分析】這是熱力學(xué)第一定律和熱力學(xué)第二定律相結(jié)合的題目，在通常的熱力學(xué)第一定由本題對絕熱壓縮系數(shù)的定義知(1)(1)由理想氣體物態(tài)方程pV nRT以及對密度的定義知道pMmRF(2)(2)代入聲速公式v得到J s所以MmV2RT(4(4)我們知道駐波兩相鄰波節(jié)之間的距離為/2，所以聲波的波長為現(xiàn)在聲波的頻率為2 6.77cm 13.54cm(5(5)1000Hz，則聲速為1135.4m s(6(6)先假定碘蒸氣為單原子分子氣體,即Mm0.127kg1mol，又有 T=400KT=400K，將（6 6），起代入（4 4 ）得0.70這和單原子分子的5

17、/3相差較大。再假定碘蒸氣為雙原子分子氣體,Mm2 0.127kg1mol，得1.40它和能量均分定理得到的結(jié)果符合得很好。說明碘蒸氣是雙原子分子氣體。標(biāo)準(zhǔn)文案A A 室氣體和 B B 室氣體都是 1mol1mol)W UB5R(1.22T。To)20.55 RTO(3(3)加熱器傳給 A A 的熱量等于 A A 室氣體和 B B 室氣體能增量的和QUAUBCvm(2.78TOTO)0.55RTO律習(xí)題中在附加求熵變，注意汽缸和活塞都是絕熱的。A A 對 B B 的影響是通過活塞的做功來實現(xiàn)的，而 A,BA,B 的壓強始終相等。 A,BA,B 的總體積不變?！窘狻?1 1)B B 經(jīng)歷的是準(zhǔn)靜

18、態(tài)絕熱過程。設(shè)B B 的末態(tài)溫度和體積分別為TB，VB;A A 的末態(tài)溫度和體積分別為TA,VA，雙原子理想氣體的7/3，則應(yīng)該有(2po)1TB1PoTO所以 B B 室的氣體溫度為TB227TO227TO1.22To另外，POVO2 pOVB,可以得到5VB 27TOO.61VoVA2VOVB2Voo.61V。1.39Vo對 A A 利用理想氣體物態(tài)方程，得到A A 室氣體溫度為2 p0VATTAOVTTO1.39T02.78T。(2(2)汽缸和活塞都是絕熱的,A A 室對 B B 室氣體做的功等于 B B 室氣體能的增加(注意CVm(TBTo)標(biāo)準(zhǔn)文案5RTO標(biāo)準(zhǔn)文案（4 4 ）按照理想氣體熵變公式，可以知道SBCpmln Rln壘2.8 103R,ToPo36.4.36.4.3一封閉絕熱容器的體積為V 6.0 10 m2，其中水的溫度為T,393K5相應(yīng)的飽和蒸氣壓為p,1.96 10 Pa。如在其中噴入 1010C的水，則水的溫度將降低為T2=373KT2=373K，