冪函數(shù)及其性質(zhì)專題教案

1、星辰教育培訓(xùn)中心冪函數(shù)及其性質(zhì)專題一、冪函數(shù)的定義一般 地， 形如 yx（ xr） 的函數(shù) 稱為冪孫函 數(shù)， 其中 x 是自變量 ，是常 數(shù). 如11- 6 -2yx ,yx 3 , yx4 等都是冪函數(shù)， 冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)， 對(duì)數(shù)函數(shù)一樣， 都是基本初等函數(shù) .二、函數(shù)的圖像和性質(zhì)（1） yx（2）1yx 2（3） yx 2（4） yx 1（5） yx3用描點(diǎn)法在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出以上五個(gè)函數(shù)圖像，通過觀察圖像，可以看出：定義域奇偶性yxyx 2yx 311yx 2yx在第 象 限 單 調(diào)增減性定點(diǎn)（公共點(diǎn)）3冪函數(shù)性質(zhì)（1） 所有的冪函數(shù)在 （0，+）都有定義， 并且圖象都過點(diǎn)（ 1，1）；

2、（2） x 0 時(shí)，冪函數(shù)的圖象都通過原點(diǎn)，并且在0 ，+ 上，是增函數(shù)（3） 0 時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（ 0，+）上是減函數(shù) .三兩類基本函數(shù)的歸納比較： 定義對(duì)數(shù)函數(shù)的定義 ：一般地，我們把函數(shù)ylogx （ a 0 且a 1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中 x 是a自變量，函數(shù)的定義域是（ 0，+）冪函數(shù)的定義： 一般地，形如 yx（ xr）的函數(shù)稱為冪孫函數(shù)，其中 x 是自變量，是常數(shù).性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) ：定義域：（0，+）；值域： r；過點(diǎn)（ 1， 0），即當(dāng) x =1， y =0；在（ 0，+）上是增函數(shù)；在（ 0，+）是上減函數(shù)冪函數(shù)的性質(zhì)： 所有的冪函數(shù)在（ 0，+）都有定義，圖象都過

3、點(diǎn)（ 1， 1） x 0 時(shí)，冪函數(shù)的圖象都通過原點(diǎn)，在0 ， + 上， yx 、2yx、3yx 、1yx 2是增函數(shù)，在（ 0，+）上， yx 1 是減函數(shù)?！纠}選講】例 1 已知函數(shù)2fxm5 mm1x，當(dāng)m 為何值時(shí)， fx：3（ 1）是冪函數(shù)； （2）是冪函數(shù)，且是0,上的增函數(shù)； （3）是正比例函數(shù)； （4）是反比例函數(shù)； （ 5）是二次函數(shù)；42簡(jiǎn)解：（1） m2 或 m1 （ 2） m1 （ 3） m（ 4） m（ 5） m15522m2 m 3變式訓(xùn)練：已知函數(shù)fxmmx，當(dāng)m 為何值時(shí)， fx在第一象限內(nèi)它的圖像是上升曲線。2mm0簡(jiǎn)解：2解得： m,13,m2m30小結(jié)與

4、拓展： 要牢記冪函數(shù)的定義，列出等式或不等式求解。例 2 比較大小：311（ 1） 1.5 2 ,1.7 2（ 2） (1.2)3, (1.25)（ 3） 5.251, 5.261, 5.262 （ 4） 0.5 3 , 3 0.5 , log3 0.5111解：（ 1）yx 2在0,) 上是增函數(shù)， 1.51.7 ， 1.5 21.7 2（ 2）yx 3 在 r 上是增函數(shù)，1.21.25 ，3(1.2)31(1.25)（ 3）yx 1 在 (0,) 上是減函數(shù)， 5.255.26， 5.2515.26； y5.26 x 是增函數(shù)，12 ，15.2625.26；綜上，15.2515.2625

5、.26（ 4）300.50.5，131 ， log3 0.50 ， log33 0.50.50.53例 3 已知冪函數(shù)m 2 2 m3yx（ mz ）的圖象與 x 軸、 y 軸都無交點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求m 的值解： 冪函數(shù)3m 2 2 myx（ mz ）的圖象與 x 軸、 y 軸都無交點(diǎn)，2 m2m30 ， 1m3 ； mz ， ( m 22 m3)z ，又函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， m 22m3 是奇數(shù)， m0 或 m2 3例 4、設(shè)函數(shù) f（x） x ，（1）求它的反函數(shù)；（2）分別求出f 1（x） f（x），f 1（x） f（x），f 1 （x） f（x）的實(shí)數(shù) x 的范圍1解析：（ 1）

6、由 yx3 兩邊同時(shí)開三次方得x 3y ， f 1（x） x 3 1（2）函數(shù) f（x） x3 和 f 1（x） x 3 的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（ 0， 0）和（ 1， 1）f 1 （x） f（x）時(shí)， x± 1 及 0；在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，由圖可知f 1（ x） f（x）時(shí)， x 1 或 0x 1； f 1（ x） f（x）時(shí)， x 1 或 1 x0點(diǎn)評(píng)： 本題在確定 x 的范圍時(shí)，采用了數(shù)形結(jié)合的方法，若采用解不等式或方程則較為麻煩2例 5、 求函數(shù) y x 512x 54（ x 32）值域1解析： 設(shè) tx 5， x 32， t 2，則 y t2 2t 4（ t 1）2

7、3當(dāng) t 1 時(shí)， ymin321函數(shù) y x 5 2x 5 4（ x 32）的值域?yàn)?3，）點(diǎn)評(píng)： 這是復(fù)合函數(shù)求值域的問題，應(yīng)用換元法【同步練習(xí)】11. 下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是（） yx yx 3 y2 x yx答案：2. 下列函數(shù)在, 0上為減函數(shù)的是（）1 yx 32 yx3 yx2 yx答案：3. 下列冪函數(shù)中定義域?yàn)閤 x0的是（）2 yx 33 yx 22 yx 33 yx 2答案：14函數(shù) y（ x2 2x） 2的定義域是（）a x|x0 或 x 2b（， 0）（ 2，） c（， 0） 2，d（ 0， 2）解析： 函數(shù)可化為根式形式，即可得定義域答案： b15函數(shù) y（ 1

8、x2） 2的值域是（）a 0，b（0， 1）c（ 0， 1）d 0， 12解析： 這是復(fù)合函數(shù)求值域問題，利用換元法，令t1x ， 則 y t 1 x 1， 0 t 1， 0 y 1 答案： d26. 函數(shù) y x 5 的單調(diào)遞減區(qū)間為（）a（， 1）b（， 0）c 0，d（，）2解析： 函數(shù) y x 5答案： b是偶函數(shù)，且在 0，）上單調(diào)遞增，由對(duì)稱性可知選b117. 若 a 2 a2，則 a 的取值范圍是（）a a 1b a 0c 1 a 0d 1 a 0解析： 運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，選c 答案： c8. 函 數(shù) y23(15 2 x x)的定義域是。解析： 由（ 152xx2） 3 0

9、15 2xx 20 3x 5 答案： a19. 函數(shù) y22 m m在第二象限內(nèi)單調(diào)遞增，則m 的最大負(fù)整數(shù)是x解析： m 的取值應(yīng)該使函數(shù)為偶函數(shù)故m 1 答案： m 110、討論 函數(shù) y2x 5 的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，并畫出圖象的示意圖2思路： 函數(shù) y x 5 是冪函數(shù)（1）要使 y25x 5 x 2 有意義， x 可以取任意實(shí)數(shù)，故函數(shù)定義域?yàn)閞2（2） xr， x20 y 0（3） f（ x） 525( x )x f（x），函數(shù) y（4） n2x 5 是偶函數(shù)；2 0，5冪函數(shù) y2x 5 在 0，上單調(diào)遞增由于冪函數(shù) y2x 5 是偶函數(shù)，冪函數(shù) y2x 5 在（， 0

10、）上單調(diào)遞減（5）其圖象如下圖所示11、比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大?。?（1） 1 .5 53， 1.7 52；（2） 0.71.5， 0.61.5；（ 3） (1 .2 )32， (1. 25 )3 3解析：（ 1）考查冪函數(shù) y x 5 的單調(diào)性，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增，31.5 1.7， 1. 5 53 1 .7 5 ，（2） 考查冪函數(shù) y3x 2 的單調(diào)性，同理0.71.5 0.61.5 （3） 先將負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪可知它是偶函數(shù)， (1.2)223 1. 232， (1 .25 )3 2 1. 253 2，又 1 .23 2 1 .253 ， (1.2)223 1. 253 點(diǎn)

11、評(píng)： 比較冪形式的兩個(gè)數(shù)的大小，一般的思路是：（1） 若能化為同指數(shù)，則用冪函數(shù)的單調(diào)性；（2） 若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（3） 若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)作為橋梁來比較大小12. 已知函數(shù) y2415 2 x x（1） 求函數(shù)的定義域、值域；（2） 判斷函數(shù)的奇偶性；（3） 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解析： 這是復(fù)合函數(shù)問題，利用換元法令t 15 2xx2，則 y 4 t ，（1）由 15 2xx2 0 得函數(shù)的定義域?yàn)?，3，2t 16（ x 1）0， 16函數(shù)的值域?yàn)?0， 2（2） 函數(shù)的定義域?yàn)?，3且關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（3） 函數(shù)的定義域?yàn)?，3，對(duì)稱軸為x1，x 5， 1時(shí)， t 隨 x 的增大而增大； x（ 1，3）時(shí)， t 隨 x 的增大而減小 又函數(shù) y 4 t 在 t 0， 16時(shí)， y 隨 t 的增大而增大，y42函數(shù) 15 2 x x的單調(diào)增區(qū)間為 5，1，單調(diào)減區(qū)間為（1， 3答案：（ 1）定義域?yàn)?5， 3，值域?yàn)?0， 2；（2）函數(shù)即不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；（3）（ 1， 3規(guī)律總結(jié)1. 在研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)時(shí)，通常將分式指數(shù)冪化為根式形式，負(fù)整指數(shù)冪化為分式形式再去進(jìn)行討論；2. 對(duì)于冪函數(shù)y x，我