有限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)電場(chǎng)的分析

1、有限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)電場(chǎng)的分析金彪（浙江省上虞市春暉中學(xué)，浙江 上虞 312353）摘要：本文分析了有限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)周?chē)碾妶?chǎng)，用兩種方法論述了有限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)為雙曲線(xiàn)而等勢(shì)面為旋轉(zhuǎn)橢球面，并由此計(jì)算出導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)橢球面電容及面電荷密度分布。關(guān)鍵詞：有限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)；旋轉(zhuǎn)橢球面；雙曲線(xiàn)；等勢(shì)面；電場(chǎng)線(xiàn)；電勢(shì)；電場(chǎng)強(qiáng)度AB圖1D如圖1所示線(xiàn)段AB為真空中均勻帶正電直線(xiàn)，長(zhǎng)為2c，線(xiàn)電荷密度為，求其產(chǎn)生的電場(chǎng)中任一點(diǎn)D的電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)。1 用等效替代法求電場(chǎng)AD圖2BEFGH IJ KN過(guò)D點(diǎn)作AB的垂線(xiàn)段DE，垂足為E，以D為圓心，DE長(zhǎng)為半徑，作圓弧，點(diǎn)F在線(xiàn)段AD上，點(diǎn)G在線(xiàn)段B

2、D上，當(dāng)圓弧的線(xiàn)電荷密度也為時(shí)，圓弧與線(xiàn)段AB在D點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度相等。論證如下：過(guò)D點(diǎn)作任一微小角，在圓弧和線(xiàn)段上分別截得HI、JK，過(guò)K作KN垂直于DJ，則有三角形相似可得： （1） 由點(diǎn)電荷電場(chǎng)求解公式可得：線(xiàn)電荷密度相等短線(xiàn)JK和HI在D點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度相等，故線(xiàn)段AB和圓弧FG在D點(diǎn)的電場(chǎng)也相等。由此可以得到線(xiàn)段AB在D的電場(chǎng)強(qiáng)度ED方向?yàn)檠氐慕瞧椒志€(xiàn)DC反向延長(zhǎng)線(xiàn)向外。若沿電場(chǎng)線(xiàn)方向移動(dòng)一段微小距離到D/，如圖3?？傻茫捎贒C是的角平分線(xiàn)，可得，。即：當(dāng)D點(diǎn)始終沿電場(chǎng)強(qiáng)度方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為電場(chǎng)線(xiàn)，而D點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離差保持不變，即電場(chǎng)線(xiàn)為雙曲線(xiàn)。ADC圖3BEDD/

3、ADC圖4BEDD/若沿垂直電場(chǎng)線(xiàn)方向移動(dòng)一段微小距離到D/，如圖4?？傻糜捎贒C是的角平分線(xiàn)，且可忽略，可得可得：當(dāng)D點(diǎn)在ABD平面內(nèi)始終沿垂直電場(chǎng)強(qiáng)度方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為等勢(shì)線(xiàn)，而D點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離和保持不變，即等勢(shì)線(xiàn)為以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，等勢(shì)面是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)橢球面。AD圖5BExy下面求D點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)及電勢(shì)。以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸正方向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A、B、D三點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，任一小段帶電細(xì)線(xiàn)在D點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為，與方向夾角為，分解后的分量分別為、，再設(shè)線(xiàn)段BD和線(xiàn)段AD與x軸夾角分別為和，如圖5所示。由（1）式得： （2） （3）設(shè)合場(chǎng)強(qiáng)與x軸夾角為，

4、則即場(chǎng)強(qiáng)ED方向?yàn)檠氐慕瞧椒志€(xiàn)反向延長(zhǎng)線(xiàn)?，F(xiàn)在求D點(diǎn)電勢(shì)。2 用疊加法求電場(chǎng)設(shè)坐標(biāo)為x的一小段直線(xiàn)dx在D點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為dU，則 （4）由此，當(dāng)D點(diǎn)在等勢(shì)面上移動(dòng)時(shí)，保持不變，可設(shè)其中a為可求常量。則有： （5）AD圖6BFGH延長(zhǎng)三角形ABD的AD、AB兩邊，作半徑為r的圓與邊BD及AB、AD的延長(zhǎng)線(xiàn)相切，切點(diǎn)分別為G、H、F，由圓與直線(xiàn)相切的性質(zhì)可得：可得： 即D到A、B兩點(diǎn)的距離之和為常量，故所有電勢(shì)相等的點(diǎn)的集合為旋轉(zhuǎn)橢球面。由（4）式得，xy平面內(nèi)任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為（設(shè)該點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離分別為、r）此點(diǎn)為某條電場(chǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，設(shè)電場(chǎng)線(xiàn)函數(shù)為，則其導(dǎo)數(shù)為則有：即：，故電場(chǎng)線(xiàn)為雙曲線(xiàn)。3 關(guān)于孤立導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)橢球面電容及面電荷密度的求解帶電量為 Q的導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)橢球面處于靜電平衡狀態(tài)，橢球面的方程為。由前所述，對(duì)于中點(diǎn)在原點(diǎn)、長(zhǎng)度為、電荷密度為、在x軸上的有限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)，方程為的橢球面為其一個(gè)等勢(shì)面，由（4）、（5）兩式得電勢(shì)為因此，該導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)橢球面的電容為：本式與文獻(xiàn)1中（11）式一樣。由于有限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)在某點(diǎn)(x、y、0)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為則總電量為Q，橢球面方程為的導(dǎo)體在(x、y、0)上面電荷密度為：上式是導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)橢球表面電荷密度的一般表達(dá)式，正確性可由文獻(xiàn)2中4.16式經(jīng)變換后得以驗(yàn)證。參考文獻(xiàn)1 丁振瑞,李雙九.