函數(shù)值域求法大全.

1、函數(shù)值域求法十一種在函數(shù)的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由定義域和對應(yīng)法則共同確定。研究函數(shù)的值域，不但要重視對應(yīng)法則的作用，而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。 確定函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán)。對于如何求函數(shù)的值域，是學(xué)生感到頭痛的問題， 它所涉及到的知識面廣， 方法靈活多樣， 在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位，若方法運用適當(dāng)，就能起到簡化運算過程，避繁就簡，事半功倍的作用。本文就函數(shù)值域求法歸納如下，供參考。1. 直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。1y例 1. 求函數(shù)x 的值域。解： x010 x顯然函數(shù)的值域是：(,0)(0,)例 2.

2、求函數(shù) y3 x 的值域。解： x0x0,3x3故函數(shù)的值域是：,32. 配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例 3. 求函數(shù) y x 22x5, x1,2 的值域。解：將函數(shù)配方得：y(x1) 24 x 1,2由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1 時， y min4 ，當(dāng) x1時， y max 8故函數(shù)的值域是：4，83. 判別式法1xx 2例 4.求函數(shù)y1x 2的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于x 的一元二次方程(y1) x 2( y1)x0（ 1）當(dāng) y1時， xR( 1)24( y1)( y1) 01 3y解得： 22（ 2）當(dāng) y=1 時， x11 , 30 ，而2 21 , 3故函數(shù)

3、的值域為 2 2例 5. 求函數(shù) y xx ( 2x ) 的值域。解：兩邊平方整理得：2x 22( y 1) x y 20（1） x R4(y1) 28y 0解得： 12y 12但此時的函數(shù)的定義域由x(2 x ) 0 ，得0x2由0 ，僅保證關(guān)于x 的方程： 2x 22( y1)xy 20 在實數(shù)集 R 有實根，而不能確保其實根在區(qū)間0， 2上，即不能確保方程（1）有實根，由0 求出的范圍可能比 y1 3,的實際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域為2 2?？梢圆扇∪缦路椒ㄟM一步確定原函數(shù)的值域。 0x2y xx (2x )0y min0, y12 代入方程（ 1）x 1222 42解得：20,2

4、x1222 422時，即當(dāng)原函數(shù)的值域為：0,12注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴大的部分剔除。4. 反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。3x4例 6. 求函數(shù) 5x6 值域。x46y解：由原函數(shù)式可得：5y346y3則其反函數(shù)為：y3 ，其定義域為：x5x5, 3故所求函數(shù)的值域為：55. 函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。ex1y1 的值域。例 7. 求函數(shù)exexy1解：由原函數(shù)式可得：y1 ex0y10 y 1解得：1y1故所求函數(shù)的

5、值域為( 1,1)cosxy例 8. 求函數(shù)sin x3 的值域。解：由原函數(shù)式可得：y sin x cosx 3y ，可化為：y 21 sin x ( x)3ysin x( x)3yy 21即 xR sin x( x) 1,113y1y 21即2y2解得：442 2,故函數(shù)的值域為446. 函數(shù)單調(diào)性法例 9. 求函數(shù) y2 x 5log 3x1(2x10) 的值域。解：令 y 12x 5 , y 2log 3x1則 y 1 , y 2在 2， 10 上都是增函數(shù)所以 yy 1y 2 在2 ，10 上是增函數(shù)當(dāng) x=2 時，y min2 3log 32118當(dāng) x=10 時， y max25

6、log 39331 ,33故所求函數(shù)的值域為：8例 10. 求函數(shù) yx1x1 的值域。y2x1x1解：原函數(shù)可化為：令 y 1x 1, y 2x1 ，顯然 y1 , y 2 在 1, 上為無上界的增函數(shù)所以 yy1 ， y 2在 1, 上也為無上界的增函數(shù)2所以當(dāng) x=1 時， yy 1y 2 有最小值22 ，原函數(shù)有最大值2顯然 y0 ，故原函數(shù)的值域為( 0,27. 換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型， 換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例 11.求函數(shù) yxx 1 的值域。解：令 x1t ， (

7、t0)則 xt 21y t 2t 1 ( t1 ) 2324又 t0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng) t0時， y min1當(dāng) t0時， y故函數(shù)的值域為 1,)例 12. 求函數(shù) yx2 1 ( x 1) 2的值域。解：因 1 ( x1)20即 (x 1) 2 1故可令 x1 cos , 0, ycos11cos2sincos 12 sin(4) 10,05442sin()12402 sin()1 124故所求函數(shù)的值域為 0,12 yx 3x42x21 的值域。例 13. 求函數(shù)xy12x1x 2解：原函數(shù)可變形為：21x 21x 2可令 xtg2xsin 2,1x 2cos2，則有 1x 21x

8、 2y1cos21sin 4sin 242ky max1當(dāng)28 時，4ky min1當(dāng)28 時，4而此時 tan有意義。1 , 1故所求函數(shù)的值域為4 4求函數(shù) y(sin x1)(cos x1) ，x,例 14.12 2 的值域。解： y (sin x1)(cos x 1)sin x cos xsin xcos x 1令 sin x cos xsin x cosx1( t 21)t ，則2y1 (t 21) t 11 ( t 1) 222由 tsin xcos x2 sin( x/ 4)x ,且1222t2可得：2y max32322，當(dāng)ty2當(dāng) t2 時，22 時，432324,2故所求函

9、數(shù)的值域為2。例 15.求函數(shù) yx 4 5x2的值域。解：由 5x 20 ，可得 | x |5故可令 x5 cos ,0, y5 cos45 sin10 sin() 44 05444當(dāng)/ 4 時， y max410當(dāng)時， y min45故所求函數(shù)的值域為： 45 ,4 108. 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例 16. 求函數(shù) y( x2) 2( x8) 2 的值域。解：原函數(shù)可化簡得：y | x2 | | x 8|上式可以看成數(shù)軸上點P（ x）到定點 A（ 2）， B(8) 間

10、的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點 P 在線段 AB 上時， y | x2 | x8|AB | 10當(dāng)點 P 在線段 AB 的延長線或反向延長線上時，y| x2| x 8 | | AB | 10故所求函數(shù)的值域為：10,例 17.求函數(shù) yx 26x13x 24x5 的值域。解：原函數(shù)可變形為：y( x 3) 2(02) 2( x2) 2(01) 2上式可看成 x軸上的點 P(x ,0) 到兩定點 A ( 3,2), B( 2,1) 的距離之和，由圖可知當(dāng)點P 為線段與 x 軸的交點時，y min | AB |(3 2)2(2 1)243 ，故所求函數(shù)的值域為 43,例 18. 求函數(shù) yx 26x

11、 13x 24x 5 的值域。解：將函數(shù)變形為： y(x3) 2(0 2)2(x 2) 2(0 1)2上式可看成定點A （ 3， 2）到點 P（ x， 0）的距離與定點B( 2,1) 到點 P( x ,0) 的距離之差。即： y| AP | BP |由圖可知：（ 1）當(dāng)點P 在 x 軸上且不是直線AB與 x 軸的交點時， 如點P' ，則構(gòu)成ABP' ，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有|AP'|BP'| |AB |( 32) 2(21)226即：26y26（ 2）當(dāng)點 P 恰好為直線 AB 與 x 軸的交點時，有 | AP | | BP | | AB | 26 綜

12、上所述，可知函數(shù)的值域為： ( 26, 26 注：由例 17， 18 可知，求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A、 B 兩點在 x 軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，則要使A ，B 兩點在 x 軸的同側(cè)。如：例 17 的 A ，B 兩點坐標(biāo)分別為： （3，2）， ( 2, 1) ，在 x 軸的同側(cè)；例 18 的 A ，B兩點坐標(biāo)分別為（ 3， 2）， (2,1) ，在 x 軸的同側(cè)。9. 不等式法利用基本不等式ab2ab, ab c33 abc (a, b,c R ) ，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例 19

13、.y(sin x1) 2(cos x1) 24求函數(shù)sin xcos x的值域。解：原函數(shù)變形為：y(sin 2 xcos2 x)11sin 2 xcos2 x1ces2 xsec2 x3tan2 xcot 2 x33 tan 2 x cot 2 x25當(dāng)且僅當(dāng) tanxcot x即當(dāng)x k4時 (kz) ，等號成立故原函數(shù)的值域為： 5,)例 20. 求函數(shù) y 2 sin x sin 2x 的值域。解： y 4 sin x sin x cos x4 sin2 x cosxy 16 sin4 x cos2 x8sin 2 x sin2 x (22sin2 x)8(sin 2 xsin 2 x

14、22 sin 2 x ) / 3 36427當(dāng)且僅當(dāng) sin 2 x2 2 sin 2sin2 x2x ，即當(dāng)3 時，等號成立。y 2648 3y8 3由27 可得：9983,83故原函數(shù)的值域為：9910. 一一映射法yaxb (c 0)在定義域上 x 與 y 是一一對應(yīng)的。故兩個變量中，若知道原理：因為cxd一個變量范圍，就可以求另一個變量范圍。y13x例 21.2x1的值域。求函數(shù)x | x1 或 x1解：定義域為22y13xx1y2y3由2x1 得x1y11y1x故2y32 或2y32y3 或y3解得22,33 ,故函數(shù)的值域為2211. 多種方法綜合運用x 2y例 22. 求函數(shù)x3的值域。解：令 tx 2( t 0) ，則 x3 t 21yt11t 211210（ ）當(dāng) t 0時，t，當(dāng)且僅當(dāng)，即x1ytt=1時取等號，所以21（ 2）當(dāng) t=0 時， y=0。0, 1綜上所述，函數(shù)的值域為：2注：先換元，后用不等式法1x2x 2x 3x 4例 23. 求函數(shù)y12x 2x 4的值域。12x 2x 4x x 3yx 41 2x 2x 4解：1 2x 21x 22x1x 21x 2xtan1