圓內(nèi)接四邊形與四點(diǎn)共圓-教案設(shè)計(jì)(有問題詳解)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案圓內(nèi)接四邊形與四點(diǎn)共圓（選學(xué)）教案設(shè)計(jì)引言：圓內(nèi)接四邊形和四點(diǎn)共圓之間有著非常密切的聯(lián)系, ? 這是因?yàn)轫槾芜B結(jié)共圓四點(diǎn)就成為圓內(nèi)接四邊形。實(shí)際上, 在許多題目的已知條件中，并沒有給出圓，這時(shí)就需要通過證明四點(diǎn)共圓，把實(shí)際存在的圓找出來，然后再借助圓的性質(zhì)得到要證明的結(jié)論。確定四點(diǎn)共圓的辦法有哪些呢？思路一： 用圓的定義 ：到某定點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)共圓。若連在四邊形的三邊的中垂線相交于一點(diǎn)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。（這三邊的中垂線的交點(diǎn)就是圓心）。產(chǎn)生原因：圓的定義：圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合?；灸Ｐ停篈O=BO=CO=DOA、 B、C、 D 四點(diǎn)共圓（

2、O為圓心）思路二：從被證共圓的四點(diǎn)中選出三點(diǎn)作一個(gè)圓，然后證另一個(gè)點(diǎn)也在這個(gè)圓上，即可證明這四點(diǎn)共圓。 要證多點(diǎn)共圓，一般也可以根據(jù)題目條件先證四點(diǎn)共圓，再證其他點(diǎn)也在這個(gè)圓上。思路三：運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)和定理： 對(duì)角互補(bǔ)，四點(diǎn)共圓：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。產(chǎn)生原因：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)?；灸Ｐ停篈D1800 （或BD180 0）A 、 B、C、D四點(diǎn)共圓精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 張角相等，四點(diǎn)共圓 ：線段同側(cè)兩點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)連線的夾角相等，則這兩個(gè)點(diǎn)和線段的兩個(gè)端點(diǎn)共四個(gè)點(diǎn)共圓。產(chǎn)生原因：在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等。方法指導(dǎo)：把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三

3、角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角（即：張角）相等 ( 同弧所對(duì)的圓周角相等） ，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓。CABCDBA、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓同斜邊的兩個(gè)直角三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，其斜邊為圓的直徑。產(chǎn)生原因：直徑所對(duì)的圓周角是直角。CD900A 、 B、 C、D 四點(diǎn)共圓外角等于內(nèi)對(duì)角，四點(diǎn)共圓：有一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。產(chǎn)生原因：圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角?；灸Ｐ停壕饰臋n實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案ECDBA 、 B、 C、D 四點(diǎn)共圓用相交弦定理或切割線定理的逆定理：把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓。

4、（相交弦定理的逆定理）產(chǎn)生原因：相交弦定理?；灸Ｐ停篈EBECEDEA、B、C、D四點(diǎn)共圓把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓（割線定理的逆定理）產(chǎn)生原因：割線定理。基本模型：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案EAEBEDECA 、 B、 C、D 四點(diǎn)共圓二、新課探究例 1、如圖， AD、 BE、 CF是銳角 ABC 的三條高， H 為垂心。（ 1）圖中共有多少組四點(diǎn)共圓？（ 2）求證：ADFADE 。分析：練習(xí)：銳角ABC的三條高AD、 BE、 CF 交于 H，在 A、B、 C、 D、

5、E、 F、H 七個(gè)點(diǎn)中，能組成四點(diǎn)共圓的組數(shù)是（）A、4組 B 、5組 C 、6組 D 、7組分析：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案例 2、已知 ABC為等腰直角三角形， C 為直角，延長 CA 至 D，以 AD為直徑作圓，連 BD與圓 O交于點(diǎn) E，連 CE，CE的延長線交圓O于另一點(diǎn)F，那么 BD 的值等于 _。CF分析：2理由：教師小結(jié)：在四點(diǎn)共圓的題目的已知條件中，通常沒有給出圓，這時(shí)就需要通過證明四點(diǎn)共圓，把存在的圓找出來，然后再借助圓的性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的推導(dǎo)。練習(xí)：（ 2011 湖北武漢中考題改編）如圖，在菱形ABCD中， AB=BD，點(diǎn) E， F 分別在 AB，AD上，且 AE=DF.連接 BF

6、 與 DE相交于點(diǎn)G，連接 CG與 BD相交于點(diǎn) H，則四邊形BCDG的面積（記作：S 四邊形BCDG）與邊 CG的關(guān)系是 _ 。分析： S四邊形 BCDG=3 CG24精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案理由： BGE= BDG+ DBF= BDG+ GDF=60 ° = BCD，點(diǎn) B、C、D、G四點(diǎn)共圓， BGC= BDC=60 °， DGC= DBC=60 °。 BGC= DGC=60°。過點(diǎn) C作 CMGB于 M， CN GD于 N則 CBM CDN（ HL）。 S 四 邊 形 BCDG=S 四 邊 形 CMGN， S 四 邊 形 CMGN=2S CMG。 C

7、GM=60 °， GM=1 CG， CM=3 CG，22 S 四邊 形 CMGN=2S CMG=2 × 1 × 1 CG×3 CG= 3 CG2。2224例 3如圖，銳角ABC 中，A600 ，且 O、 I 、 H 分別為ABC 的外心、內(nèi)心和垂心。求證： OI=IH 。分析：連結(jié) AO、 AI 、 OC、 IC、 HC。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案練習(xí)：如圖，四邊形A1 A2 A3 A4 內(nèi)接于一圓，A1 A2 A3 的內(nèi)心是 I 1 ， A2 A3 A4 的內(nèi)心是 I 2， A3A4A1的內(nèi)心是 I3 。求證：（1）A2 、I 1、I 2 、A3 四點(diǎn)共圓；

8、（ 2） I 1I 2 I 3 =90°。分析：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案三、反饋訓(xùn)練如圖， O是 Rt ABC斜邊 AB的中點(diǎn)， CH AB 于 H，延長 CH至 D，使得 CH=DH， F 為CO上任意一點(diǎn)，過 B 作 BEAF 于 E，連接 DE交 BC于 G。求證： CAF= CDE；分析：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案四、課外拓展1、已知 ABC中， ACB=90°， AB邊上的高線 CH與 ABC的兩條內(nèi)角平分線 AM、 BN分別交于 P、Q兩點(diǎn)， PM、 QN的中點(diǎn)分別為 E、 F，求證： EFAB。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2、如圖所示，I 為 ABC的內(nèi)心，求證：BIC 的外心

9、 O與 A、 B、 C 四點(diǎn)共圓。3、如圖， BD，CE是 ABC的兩條高， F 和 G分別是 DE和 BC的中點(diǎn)， O是 ABC的外心求證： AO FG。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案題單1、若一個(gè)圓經(jīng)過梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)梯形是_梯形。分析：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2、如圖， 已知 ABC中， BAC90°， AD BC，BE AC，且 AD、BE交于點(diǎn) H，連接 CH，則 ACH+BAE=_。（提示：過 A 作 O的切線交 BC的延長線于點(diǎn) F。）答案： 90°理由：3、如圖，菱形 ABCD的對(duì)角線 AC和 BD相交于 O點(diǎn)， E，F(xiàn)， G，H 分別是 AB，BC， CD

10、， DA 的中點(diǎn)，求證： E， F， G， H四個(gè)點(diǎn)在以 O為圓心的同一個(gè)圓上。分析：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案4、如圖，正方形 ABCD的中心為 O，面積為 1989cm2。P 為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且0，OPB=45PA： PB=5：14則 PB=_。（提示：連結(jié)OA、 OB）分析： 42cm。理由：5、（ 2011 山東濟(jì)南中考?jí)狠S題） 如圖，點(diǎn) C 為線段 AB上任意一點(diǎn) ( 不與點(diǎn) A、 B 重合 ) ，分別以 AC、 BC為一腰在 AB 的同側(cè)作等腰 ACD和 BCE， CACD， CBCE， ACD與精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案BCE都是銳角，且ACD BCE，連接 AE 交 CD于點(diǎn) M，連接 BD交 CE于點(diǎn) N， AE與 BD交于點(diǎn) P，連接 CP。(1) 求證： ACE DCB；(2) 請(qǐng)你判斷 ACM與 DPM的形狀有何關(guān)系并說明理由；(3) 求證： APC BPC。分析：解： (1)證： ACD BCE， ACE DCB。又 CACD， CE CB， ACE DCB（ ASA）。（2） ACM DP