圓錐曲線存在性問題.

1、圓錐曲線中的存在性問題一、基礎(chǔ)知識1、在處理圓錐曲線中的存在性問題時，通常先假定所求的要素（點，線，圖形或是參數(shù)）存在， 并用代數(shù)形式進行表示。再結(jié)合題目條件進行分析，若能求出相應(yīng)的要素，則假設(shè)成立；否則即判定不存在2、存在性問題常見要素的代數(shù)形式：未知要素用字母代替（ 1）點：坐標 x0 , y0（ 2）直線：斜截式或點斜式（通常以斜率為未知量）（ 3）曲線：含有未知參數(shù)的曲線標準方程3、解決存在性問題的一些技巧：（ 1）特殊值（點）法：對于一些復(fù)雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。（ 2）核心變量的選取：因為解決存在性問題的核心

2、在于求出未知要素，所以通常以該要素作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要的時候消去。（ 3）核心變量的求法：直接法：利用條件與輔助變量直接表示出所求要素，并進行求解間接法： 若無法直接求出要素， 則可將核心變量參與到條件中， 列出關(guān)于該變量與輔助變量的方程（組） ，運用方程思想求解。二、典型例題：例 1：已知橢圓 C : x2y23 ，過右焦點 F 的直線 l 與 C 相交221 a b 0 的離心率為ab3于 A, B 兩點，當(dāng) l 的斜率為 1時，坐標原點 O 到 l 的距離為2 。2（1）求 a, b 的值（2） C 上是否存在點P ，使得當(dāng) l 繞 F 旋轉(zhuǎn)到某一位置時，有OPOAO

3、B 成立？若存在，求出所有的P 的坐標和 l 的方程，若不存在，說明理由c3解：（ 1） ea : b : c3 : 2 :1a3則 a3c,b2c ，依題意可得： Fc,0 ，當(dāng) l 的斜率為 1時l : yx cxy c 0dO lc2解得： c 122a3, b2x2y2橢圓方程為：13 2（ 2）設(shè) P x0 , y0 ， A x1, y1 ,B x2 , y2當(dāng) l 斜率存在時，設(shè) l : ykx1OPOAOBx0x1x2y0y1y2ykx1消去 y 可得： 2x23k 2 x2聯(lián)立直線與橢圓方程：2x23y216，整理可得：63k22 x26k 2 x 3k 26 0x1x26k

4、2y1y 2k x 1 x 26k 32k4k3k 222k23k 223k2P6k 2,4k因為 P 在橢圓上3k 23k 2226k 224k22363k 223k2272 k 24k448k263k 2224k23k 226 3k 222226 3k 22k2當(dāng) k2 時， l : y2 x 1 ， P 3 ,222當(dāng) k2 時， l : y2 x 1 ， P32,22當(dāng)斜率不存在時，可知l : x 1 ， A 1,23,B 1,2 3 ，則P 2,0不在橢圓上33綜上所述： l : y2 x1， P3 ,2 或 l : y2 x 1，P 3,22222例 2：過橢圓: x2y21 ab

5、0的右焦點 F2 的直線交橢圓于A, B 兩點， F1 為其左a2b2焦點，已知AF1B 的周長為38，橢圓的離心率為2（1）求橢圓的方程（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點P,Q ，且OPOQ ？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由解：（ 1）由AF1B 的周長可得：4a8a 2ec3c3b2a2c2 1a2橢圓: x2y 214（2）假設(shè)滿足條件的圓為x2y2r 2 ，依題意，若切線與橢圓相交，則圓應(yīng)含在橢圓內(nèi)0 r1若直線 PQ 斜率存在，設(shè)PQ : ykxm ， Px1, y1 , Qx2 , y2PQ 與圓相切dOlm1rm2r 2k 21k

6、2OP OQ OP OQ 0 即 x1x2y1 y20聯(lián)立方程：ykxm414k 2x28kmx4m24 0x24 y2x1 x28km, x1x24m244k 214k 21y1 y2kx1m kx2m k 2x1x2km x1x2m2x1 x2y1 y2k 21 x1x2km x1x2m24m24k 21km8km1m24k 214k 25m24k 244k 215m24k 240 對任意的 m, k 均成立將 m2r 2k 21代入可得：5r 2k 214 k 2105r 24k 210r 2454存在符合條件的圓，其方程為：x2y25當(dāng) PQ 斜率不存在時，可知切線PQ 為 x2 55

7、若 PQ : x25，則 P2525252555, Q,555OP OQ0PQ : x2 5 符合題意25若 PQ : x5 ，同理可得也符合條件54綜上所述，圓的方程為：x2y25例 3：已知橢圓x2y21 ab0 經(jīng)過點 0,3，離心率為1a2b2，左，右焦點分別為2F1 c,0和 F2c,0（1）求橢圓 C 的方程（2）設(shè)橢圓 C 與 x 軸負半軸交點為A ，過點 M4,0 作斜率為 k k0 的直線 l ，交橢圓 C 于 B,D 兩點（ B 在 M , D 之間）， N 為 BD 中點，并設(shè)直線ON 的斜率為 k1 證明： k k1 為定值 是否存在實數(shù) k ，使得 F1 NAD ？如

8、果存在，求直線l 的方程；如果不存在，請說明理由解：（ 1）依題意可知：c1e可得： a : b : c 2 : 3 :1a2橢圓方程為：x2y21，代入0,3可得： c14c23c2橢圓方程為：x2y2143（2） 證明：設(shè) B x1, y1 , D x2 , y2，線段 BD 的中點 Nx0 , y0設(shè)直線 l 的方程為：ykx4，聯(lián)立方程：ykx4化為： 34k 2x232k2 x64k 21203x24 y212由0解得： k 21且 x1x232k2, x1 x264k21244k 234k23x0x1x216k2y0kx0412k24k234k 23k1y03k1 k3k3x04k

9、4k4 假設(shè)存在實數(shù) k ，使得 F1 NAD ，則 kF NkAD11y012k4kkF1 N34k 2x0116k 211 4k234k 2ykx24kAD2x22x22kF NkAD4kkx24114k 2x221即 4k 2 x216k 24k 21 x28k 22x22 8k 22因為 D 在橢圓上，所以x22,2，矛盾所以不存在符合條件的直線l例 4 ：設(shè) F 為橢圓 E : x2y2P 1,3在橢圓 E 上，直線221 a b0 的右焦點，點ab2l 0 :3 x 4y 10 0 與以原點為圓心，以橢圓E 的長半軸長為半徑的圓相切（ 1）求橢圓 E 的方程（ 2）過點 F 的直線

10、 l 與橢圓相交于 A, B 兩點，過點 P 且平行于 AB 的直線與橢圓交于另一點 Q ，問是否存在直線l ，使得四邊形PABQ 的對角線互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，說明理由解：（ 1）l 0 與圓相切dO l10ra225將P 1,3代入橢圓方程x2y21 可得： b324b2x2y2橢圓方程為：14 3（ 2）由橢圓方程可得： F 1,0設(shè)直線 l : ykx 13kx1，則 PQ : y2聯(lián)立直線 l 與橢圓方程：y kx1消去 y 可得：4k 23 x28k 2 x 4k 21203x24 y2128k 224 4k234k212144k 21441AB1 k2 x1

11、x21 k 2112 k 214k234k23同理：聯(lián)立直線 PQ 與橢圓方程：y kx134k 2x28k 24k 22 消去 y 可得：312kx12k 3 03x24 y2128k 224 4k 23 4k 21k k2212k12k31444144 1kk 2PQ1k221 k 2434k 234k 2因為四邊形PABQ 的對角線互相平分四邊形 PABQ 為平行四邊形ABPQ12 k 211k 21441kk 24k23434k 2解得： k34存在直線 l : 3x4 y3 0時，四邊形 PABQ 的對角線互相平分例 5：橢圓 C : x2y21 ab0的左右焦點分別為 F1 , F

12、2 ，右頂點為 A ， P 為橢圓 C1a2b2上任意一點，且PF1 PF2 的最大值的取值范圍是c2 ,3 c2 ，其中 ca2b2（1）求橢圓 C1 的離心率 e 的取值范圍（2）設(shè)雙曲線 C以橢圓 C 的焦點為頂點，頂點為焦點，B 是雙曲線 C在第一象限上任意212一點，當(dāng) e 取得最小值時，試問是否存在常數(shù)0，使得 BAF1BF1 A 恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：（ 1）設(shè) Px, y , F1c,0, F2c,0PF1cx,y , PF2cx,yPFPF2x2y 2c21由x2y21可得： y2b2b2x2代入可得：2b2a2ab2c2PF1 PF2x2y2c2

13、12x2b2c22 x2b2c2aaxa, aPF1PF2maxb2c2b23c2c2a2c23c22c2a24c2a21e211e242221（2）當(dāng) e時，可得：a2c,b3c2雙曲線方程為x2y21 ， A 2c,0, F1 c,0，設(shè) B x0 , y0， x0 0, y0 0c23c2當(dāng) ABx 軸時， x02c, y0 3ctan BF1 A3cB F1ABAF11因為3c42BAF12BF1 A所以2 ，下面證明2 對任意B 點均使得BAF1BF1 A 成立考慮 tanBAF1kABy0,tanBF1 AkBFy0x02cx0c12y02tanBF1 Ax0c2 y0x0ctan

14、2BF1 Atan2BF1A2xc2y21y0100x0c由雙曲線方程x2y21，可得：y023x023c2c23c2x0 c2y02x0c23x023c22x022cx04c22 x0 c2c x0tan2BF1 A2 y0x0cy0tanBAF1x0c2c x02cx02BAF1 2BF1 A結(jié)論得證2 時，BAF1BF1 A 恒成立例 6：如圖， 橢圓 E : x2y21 ab0的離心率是2 ，過點 P 0,1的動直線 l 與橢a2b22圓相交于 A, B 兩點，當(dāng)直線l 平行于 x 軸時，直線 l 被橢圓 E 截得的線段長為22（1）求橢圓E 的方程（ 2）在平面直角坐標系xOy 中，

15、是否存在與點P 不同的定點Q ，使得對于任意直線l ，QAPAQ 的坐標；若不存在，請說明理由QB恒成立？若存在，求出點PBc2a : b :c2:1:1解：（ 1） e2ax2y21橢圓方程為b22b2由直線 l 被橢圓 E 截得的線段長為 22 及橢圓的對稱性可得：點 2,1 在橢圓上211 b22a242b2b2x2y2橢圓方程為142（2）當(dāng) l 與 x 軸平行時，由對稱性可得：PAPBQAPA1即 QAQBQBPBQ 在 AB 的中垂線上，即Q 位于 y 軸上，設(shè) Q 0, y0當(dāng) l 與 x 軸垂直時，則A 0,2,B 0,2PA21, PB21QAy02 , QBy02QAPAy

16、0221 可解得 y0 1 或 y02QBPBy0221P,Q 不重合y02Q 0,2下面判斷 Q 0,2 能否對任意直線均成立若 直 線 l 的 斜 率 存 在 ， 設(shè) l : ykx1 ，A x1, y1 , B x2 , y2聯(lián)立方程可得：x22y2412k 2 x24kx 20ykx1QAPAQP 平分BQA由PB可想到角平分線公式，即只需證明QB只需證明 kQAkQBkQAkQB0A x1, y1 , B x2 , y2kQAy1 2 ,kQBy2 2x1x2y 2 y22x2 y12 x1 y22x2 y1x1 y2 2 x1 x2kQAkQB1x1x2x1 x2x1x2因為 A

17、x1, y1, Bx2 , y2在直線 ykx1上，y1kx11y2kx2代入可得：1kQAkQBx2kx11x1kx2 12 x1x22kx1x2x1 x2x1 x2x1x2聯(lián)立方程可得：x22y2412k2x24kx20ykx1x1x24k2 , x1x2212k12k22k24kkQAkQB12k 212k 20212k2kQAkQB0 成立QP 平分BQA由角平分線公式可得：QAPAQBPB例 7：橢圓 C : x2y21 ab0的上頂點為 A ， P4 , b是 C 上的一點，以AP 為a2b233直徑的圓經(jīng)過橢圓C 的右焦點 F（1）求橢圓 C 的方程2x軸上是否存在兩個定點，它們

18、到直（ ）動直線 l 與橢圓 C 有且只有一個公共點，問：在線 l 的距離之積等于1？若存在，求出這兩個定點的坐標；如果不存在，請說明理由解：由橢圓可知： A 0,b , Fc,0AP 為直徑的圓經(jīng)過FF AF PFA FP0FAc, b ,FP4b3c ,3c4cb20 c24 cb2033334 b由 P,在橢圓上，代入橢圓方程可得：1161b21a22a29b29c24 cb20c133bb2c2a22橢圓方程為x2y212（2）假設(shè)存在 x 軸上兩定點 M1 1,0 ,M 22,0，12設(shè)直線 l : ykxmdM 1k 1mk 2mlk 2, dM 2lk 21所以依題意：1k 1m

19、 k 2m k 21 2km 12m2dM 1 l dM 2 lk 21k21k211因為直線 l與橢圓相切，聯(lián)立方程：ykxm2k21 x24kmx2m220x22y 22由直線 l 與橢圓相切可知4km21 2m2204 2k 2化簡可得： m22k 21，代入可得：k212km 122k 212km2k21 k21k 211 k1 212k2121km120，依題意可得：無論k, m 為何值，等式均成立121 21 2101211所以存在兩定點： M11,0,M 2 1,0例 8：已知橢圓 C1 : x24 y21的左右焦點分別為F1, F2 ，點 P 是 C1 上任意一點， O 是坐標

20、原點， OQPF1PF2 ，設(shè)點 Q 的軌跡為 C2（1）求點 Q 的軌跡 C2 的方程（2）若點 T 滿足： OTMN2OM ON ，其中 M , N 是 C2 上的點，且直線 OM ,ON 的斜率之積等于1TB 為定值？若存在， 求出定點 A, B 的坐，是否存在兩定點， 使得 TA4標；若不存在，請說明理由（1）設(shè)點 Q 的坐標為x, y，點 P 的坐標為x0 , y0 ，則 x024 y021由橢圓方程可得： F13,0 ,F232,02OQ PF1 PF23x0 , y0 , PF23x0 , y0且 PF122x2 x0x0x222代入到Q 2x0 , 2 y0x04 y0 1可得

21、：y2 y0yy02x2y214（ 2）設(shè)點 T x, y ， M x1, y1 , N x2 , y2OT MN 2OM ONx, yx1 x2 , y1 y2 2 x1 , y1x2 , y2x2x2x1y2 y2y1設(shè)直線 OM , ON 的斜率分別為kOM ,kON ，由已知可得： kOMkONy2 y11x2 x14x1 x24 y1 y20考慮 x24 y22x224 2 y22x124 y124 x224 y224x1x2 16 y1 y2x1y1M ,N 是C2上的點x124 y124x224 y224x24 y244420即 T 的軌跡方程為x2y21 ，由定義可知，T 到橢

22、圓 x2y21 焦點的距離和為定值205205A, B 為橢圓的焦點A15,0, B15,0所以存在定點A, Bx2y21 ab0的焦點到直線 x3y0 的距離為10例 9：橢圓 E:225，離心率為ab2 5 ，拋物線 G : y22 pxp0的焦點與橢圓E 的焦點重合， 斜率為 k 的直線 l 過 G 的5焦點與 E 交于 A,B，與 G 交于 C,D（1）求橢圓E 及拋物線 G 的方程1（ 2）是否存在常數(shù)，使得為常數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說ABCD明理由解：（ 1）設(shè) E, G 的公共焦點為 F c,0dFc102l10c5ec 2 5a5b2a2c2 1a5E : x2y2

23、15y28x（2）設(shè)直線 l : yk x2 ， Ax1 , y1,Bx2 , y2,C x3, y3, Dx4 , y4與橢圓聯(lián)立方程：ykx25k21 x220k 2x20k 250x25 y25x1x220k 22 , x1 x220k 255k15k21AB1k2xx24x x25 k 21121215k 2直線與拋物線聯(lián)立方程：ykx2k2x24k 28 x4k 20y28xx34k 28CD 是焦點弦CDx3x448 k21x4k2k 2115k2k24 20k25 k24205 k2AB CD2 5 k 21 8 k 218 5 k 218 5 k 21若 1為常數(shù)，則20541

24、 65AB CD5xOy 中，橢圓 C : x2y26 ，例 10：如圖，在平面直角坐標系221 a b 0 的離心率為ab3直線 l 與 x 軸交于點 E ，與橢圓 C 交于 A,B 兩點，當(dāng)直線l 垂直于 x 軸且點 E 為橢圓 C 的右焦點時，弦AB 的長為 263（1）求橢圓 C 的方程（2）是否存在點 E ，使得11為定值？若存在，EA2EB 2請求出點 E 的坐標，并求出該定值；若不存在，請說明理由解：（ 1）依題意可得： ec6a : b : c3 :1:2a3當(dāng) l 與 x 軸垂直且E 為右焦點時，AB 為通徑2b2266 ,b2ABaa3x2y216 2（ 2）思路：本題若直接用用字母表示 A, E, B 坐標并表示 EA , EB ，則所求式子較為復(fù)雜，不易于計算定值與E 的坐標。因為E 要滿足所有直線，所以考慮先利用特殊情況