數(shù)模競賽中部分幾何物理問題解析

1、數(shù)模競賽中部分幾何物理問題解析數(shù)模競賽中部分幾何物理問題解析譚勁英譚勁英14/07/181. CUMCM-1995A： 一個飛行管理問題一個飛行管理問題 2. CUMCM-2000D： 空洞探測空洞探測3. CUMCM-2010A： 儲油罐的變位識別與罐容表標定儲油罐的變位識別與罐容表標定CUMCM-1995A：一個飛行管理問題：一個飛行管理問題 在約在約10000m高空的某邊長高空的某邊長160km的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機作水平飛行，區(qū)域內(nèi)每架飛機的位置和速度向量均若干架飛機作水平飛行，區(qū)域內(nèi)每架飛機的位置和速度向量均由計算機記錄其數(shù)據(jù)，以便進行飛行管理。當一架

2、欲進入該區(qū)由計算機記錄其數(shù)據(jù)，以便進行飛行管理。當一架欲進入該區(qū)域的飛機到達邊界區(qū)域邊緣時，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計算并域的飛機到達邊界區(qū)域邊緣時，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計算并判斷是否會與其區(qū)域內(nèi)的飛機發(fā)生碰撞。如果會碰撞，則應計判斷是否會與其區(qū)域內(nèi)的飛機發(fā)生碰撞。如果會碰撞，則應計算如何調(diào)整各架算如何調(diào)整各架(包括新進入的包括新進入的)飛機飛行的方向角，以避免碰撞。飛機飛行的方向角，以避免碰撞?，F(xiàn)假設條件如下：現(xiàn)假設條件如下： 1) 不碰撞的標準為任意兩架飛機的距離大于不碰撞的標準為任意兩架飛機的距離大于8km； 2)飛機飛行方向角調(diào)整的幅度不應超過飛機飛行方向角調(diào)整的幅度不應超過30度；度；

3、3)所有飛機飛行速度均為每小時為所有飛機飛行速度均為每小時為800km； 4)進入該區(qū)域的飛機在到達區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內(nèi)飛機的距進入該區(qū)域的飛機在到達區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內(nèi)飛機的距離應在離應在 60km以上；以上； 5)最多考慮最多考慮6架飛機；架飛機； 6)不必考慮飛機離開此區(qū)域后的狀況。不必考慮飛機離開此區(qū)域后的狀況。 請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學模型。列出計請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學模型。列出計算步驟，對以下數(shù)據(jù)進行計算算步驟，對以下數(shù)據(jù)進行計算(方向角誤差不超過方向角誤差不超過0.01度度)，要求，要求飛機飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小。飛機飛行方向角調(diào)整的幅度盡量

4、小。 設該區(qū)域設該區(qū)域4個頂點坐標為個頂點坐標為(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。記錄數(shù)據(jù)為：記錄數(shù)據(jù)為： 飛機編號飛機編號 橫坐標橫坐標x 縱坐標縱坐標y 方向角方向角(度度) 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新進入新進入 0 0 52注：方向角指飛行方向與注：方向角指飛行方向與x軸正向的夾角。軸正向的夾角。初始位置：初始位置： 時刻時刻t飛機的位置：飛機的位置：兩架飛機的距離（平方）：兩架飛機的距離（平方）：兩架飛機不碰撞的條件兩架飛機不碰撞的條件222)

5、()()(tjttjtijyyxxtrii ,sin,cos00iitiitivtyyvtxxi 064)()(2 trtfijij（0 t Tij） Ti為第為第i架飛機飛出區(qū)域的時刻：架飛機飛出區(qū)域的時刻：不碰撞條件：不碰撞條件：000),(iiiyx iii 0不必考慮在區(qū)域外的碰撞！不必考慮在區(qū)域外的碰撞！兩架飛機都在區(qū)域中的時間：兩架飛機都在區(qū)域中的時間：),min(jiijTTT 00000000000000000000tan,223tan,23,sin,tan,23tan,2,cos,tan,2tan,20,sin,tan,223tan,20,cosiiiiiiiiiiiiiii

6、iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixDyorxyifvyxyorxyDifvxxyDorxDyDifvyDxDyorxDyDifvxDT 具體來看，第具體來看，第i架飛機在區(qū)域內(nèi)的時間：架飛機在區(qū)域內(nèi)的時間：飛機飛出區(qū)域的時刻飛機飛出區(qū)域的時刻0 i.)(2ijijijijijczbztf 整理：整理： fij(t)的最小值的最小值 (- bij2 / 4 + cij ) ；此時；此時其中：其中： .2sin4*jiijijvbt 不碰撞條件的等價表述不碰撞條件的等價表述 最后，優(yōu)化模型為最后，優(yōu)化模型為 0*ijt若fij(t) 大于等于肯定成立大于等于肯定成立ijijTt

7、 *若fij(t) 大于等于等價于大于等于等價于0)(ijijTfijijTt *0若fij(t) 大于等于等價于大于等于等價于0)(*ijtfij, 042ijijcb000),(iiiyxiii0.61iiMin其他目標：其他目標：調(diào)整后的方向角：調(diào)整后的方向角： 總的調(diào)整量最?。嚎偟恼{(diào)整量最?。?|max6,.,1iiMin最大調(diào)整量最?。鹤畲笳{(diào)整量最?。?初始位置與方向角：初始位置與方向角： 山體隧道壩體等的某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)可用彈性波測量山體隧道壩體等的某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)可用彈性波測量來確定。簡化問題可敘述為，一塊均勻介質(zhì)構(gòu)成的矩來確定。簡化問題可敘述為，一塊均勻介質(zhì)構(gòu)成的矩形平板內(nèi)有一些充滿空

8、氣的空洞。形平板內(nèi)有一些充滿空氣的空洞。 在平板的兩個鄰邊分別等距地設置若干波源，在在平板的兩個鄰邊分別等距地設置若干波源，在他們的對邊對等地安放同樣多的接收器，記錄彈性波他們的對邊對等地安放同樣多的接收器，記錄彈性波由每個波源到達對邊上每個接收器的時間。根據(jù)彈性由每個波源到達對邊上每個接收器的時間。根據(jù)彈性波在介質(zhì)和在空氣中不同的傳播速度來確定板內(nèi)空洞波在介質(zhì)和在空氣中不同的傳播速度來確定板內(nèi)空洞的位置。的位置。CUMCM-2000D：空洞探測：空洞探測具體問題：具體問題： 一塊一塊 240(米米)240(米米) 的平板的平板ABCD： 在在AB 邊等距地設置邊等距地設置 7 個波源個波源P

9、i (i=1,7)，在，在 CD 邊等距地設置邊等距地設置7個接收器個接收器Qj (j=1,7)，記錄由，記錄由 Pi 發(fā)出的彈性波到達發(fā)出的彈性波到達 Qj 的時間的時間 tij(秒秒) ； 在在AD 邊等距地設置邊等距地設置 7 個波源個波源Ri (i=1,7)，在，在 BC 邊等距地設置邊等距地設置7個接收器個接收器Sj (j=1,7)，記錄由，記錄由 Ri 發(fā)出的彈性波到達發(fā)出的彈性波到達 Sj 的時間的時間 ij(秒秒)。 已知彈性波在介質(zhì)和空氣中的傳播速度分別為已知彈性波在介質(zhì)和空氣中的傳播速度分別為2880(米米/秒秒)和和320(米米/秒秒)，且彈性波沿板邊緣的傳播，且彈性波沿

10、板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。CBADP2Q4R3S6TP=(tij)tij Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7P1 .0611 .0895 .1996 .2032 .4181 .4923 .5646P2 .0989 .0592 .4413 .4318 .4770 .5242 .3805P3 .3052 .4131 .0598 .4153 .4156 .3563 .1919P4 .3221 .4453 .4040 .0738 .1789 .0740 .2122P5 .3490 .4529 .2263 .1917 .0839 .1768 .1810

11、P6 .3807 .3177 .2364 .3064 .2217 .0939 .1031P7 .4311 .3397 .3566 .1954 .0760 .0688 .1042TR=(ij)ij S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7R1 .0645 .0602 .0813 .3516 .3867 .4314 .5721R2 .0753 .0700 .2852 .4341 .3491 .4800 .4980R3 .3456 .3205 .0974 .4093 .4240 .4540 .3112R4 .3655 .3289 .4247 .1007 .3249 .2134 .1017R5 .31

12、65 .2509 .3214 .3256 .0904 .1874 .2130R6 .2749 .3891 .5895 .3016 .2058 .0841 .0706R7 .4434 .4919 .3904 .0786 .0709 .0914 .0583要求：要求：(1) 確定該平面內(nèi)空洞的位置。確定該平面內(nèi)空洞的位置。(2) 只根據(jù)只根據(jù)Pi發(fā)出的彈性波到達發(fā)出的彈性波到達Qj的時間的時間tij 能確定能確定空洞的位置嗎？討論在同樣能夠確定空洞位置空洞的位置嗎？討論在同樣能夠確定空洞位置的前提下，減少波源和接收器的方法。的前提下，減少波源和接收器的方法。分析：分析： 彈性波沿平板邊緣的理論傳播

13、時間：彈性波沿平板邊緣的理論傳播時間： t=240/2880=0.0833(秒秒) 彈性波沿平板邊緣的實際傳播時間：彈性波沿平板邊緣的實際傳播時間： t11=.0611, t77=.1042, 11=.0645, 77=.0583 題目中已假設題目中已假設“彈性波沿板邊緣的傳播速度與彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同在介質(zhì)中的傳播速度相同”。觀測數(shù)據(jù)的最大絕對。觀測數(shù)據(jù)的最大絕對誤差為誤差為d=0.025秒。可以認為，秒?？梢哉J為，0.025*320 = 8 (米）米）以下的空洞是探測不出的。以下的空洞是探測不出的。假設假設1. 觀測數(shù)據(jù)有測量誤差。觀測數(shù)據(jù)除測量誤差外是可觀測數(shù)

14、據(jù)有測量誤差。觀測數(shù)據(jù)除測量誤差外是可靠的?？康?。2. 波在傳播過程中沿直線單向傳播，且不考慮波的反波在傳播過程中沿直線單向傳播，且不考慮波的反射、折射以及干涉等現(xiàn)象。射、折射以及干涉等現(xiàn)象。3. 空氣密度和介質(zhì)密度都均勻?？諝饷芏群徒橘|(zhì)密度都均勻。4. “彈性波彈性波”在傳播過程中沒有能量損失。其波速僅與在傳播過程中沒有能量損失。其波速僅與介質(zhì)有關，且在同一均勻介質(zhì)中波速不變。彈性波介質(zhì)有關，且在同一均勻介質(zhì)中波速不變。彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。5. 假設平板可劃分化為網(wǎng)格，空洞定位于每個網(wǎng)格單假設平板可劃分化為網(wǎng)格，空洞定

15、位于每個網(wǎng)格單元內(nèi)，空洞大小大致相同。元內(nèi)，空洞大小大致相同。波線與網(wǎng)格交線長度的計算波線與網(wǎng)格交線長度的計算 (k,l) ; 521 20,; 71 1 ,40kjikjikjikjikbijkl，且且或或如如果果或或如如果果記波源記波源Pi與接收器與接收器Qj 決定的決定的波線與每個單元（波線與每個單元（k，l）的）的交線長度為交線長度為bijkl i=j 時，時，123456654321PiQj 決定的直線方程：決定的直線方程：(j - i）y = 6(x-40(i-1) i=j 以外的情況以外的情況單元單元(k,l)左邊緣直線方程左邊緣直線方程 x = 40(k-1)波線與單元波線與單

16、元 (k,l) 左邊緣對應交點的左邊緣對應交點的 y 坐標為坐標為 y1ijkl = 240(k-i)/(j-i)， 其中其中 l-1 6(k-i)/(j-i) l (k,l)波線與網(wǎng)格交線長度的計算波線與網(wǎng)格交線長度的計算 PiQj 決定的直線方程：決定的直線方程：(j - i）y = 6(x-40(i-1) i=j 以外的情況以外的情況單元單元(k,l)右邊緣直線方程右邊緣直線方程 x = 40k波線與單元波線與單元(k,l)右邊緣對應交點的右邊緣對應交點的y坐標為坐標為 y2ijkl = 240(k+1-i)/(j-i)， 其中其中 l-1 6(k+1-i)/(j-i) l (k,l)波

17、線與網(wǎng)格交線長度的計算波線與網(wǎng)格交線長度的計算 PiQj 決定的直線方程：決定的直線方程：(j - i）y = 6(x-40(i-1) i=j 以外的情況以外的情況單元單元(k,l)下邊緣直線方程下邊緣直線方程 y = 40(l-1)波線與單元波線與單元(k,l)下邊緣對應交點的下邊緣對應交點的y坐標為坐標為 y3ijkl = 40(l-1)， 其中其中 0 6(i-k)-(i-j)(l-1) 6 (k,l)波線與網(wǎng)格交線長度的計算波線與網(wǎng)格交線長度的計算 PiQj 決定的直線方程：決定的直線方程：(j - i）y = 6(x-40(i-1) i=j 以外的情況以外的情況單元單元(k,l)上邊

18、緣直線方程上邊緣直線方程 y = 40l波線與單元波線與單元(k,l)上邊緣對應交點的上邊緣對應交點的y坐標為坐標為 y4ijkl = 40l， 其中其中 0 6(i-k)-(i-j)l 6 (k,l)波線與網(wǎng)格交線長度的計算波線與網(wǎng)格交線長度的計算 交線在交線在y軸的投影長度軸的投影長度(交點條件最多只有交點條件最多只有2個成立個成立)i=j 以外的情況以外的情況dyijkl= max(y1ijkl ,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl) - min(y1ijkl ,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl)由相似三角形關系由相似三角形關系QjABCDPiRiSjPjdyijkl(k,

19、l)bijklEFGbijkl = aij dyijkl / 240 )(624024022jiaiji=j 也成立也成立波線與網(wǎng)格交線長度的計算波線與網(wǎng)格交線長度的計算 由對稱性，由對稱性，RiSj與單元與單元(k,l)的交線長度的交線長度ci,j,k,l= bj,i,l,7-k波線與網(wǎng)格交線長度的計算波線與網(wǎng)格交線長度的計算 參量、變量：參量、變量：xkl：單元：單元(k,l)是否為空洞是否為空洞(1：是；：是；0：否：否)aij：波源：波源 Pi與接收器與接收器 Qj，或，或 Ri與與Sj 之間的距離之間的距離Pij：經(jīng)過介質(zhì)的長度：經(jīng)過介質(zhì)的長度, qij經(jīng)過空氣的長度經(jīng)過空氣的長度t

20、ij (同樣同樣 ij): 傳播時間觀測值傳播時間觀測值優(yōu)化模型（擬合回歸）優(yōu)化模型（擬合回歸） 71k,lklijklijijijijxbaqap 71k,lklijklijxbq若沒有誤差：若沒有誤差：tij =pij /v1+qij/v2271171/vxbvxbatk,lklijklk,lklijklijij 同理：同理：271171/vxcvxcak,lklijklk,lklijklijij 模型：模型：22711712271171/min vxcvxcavxbvxbatk,lklijklk,lklijklijijk,lklijklk,lklijklijij 優(yōu)化模型（擬合回歸）優(yōu)化

21、模型（擬合回歸）計算結(jié)果計算結(jié)果空洞空洞X( P2, Q2) 1X( P2, Q3) 1X( P2, Q5) 1X( P3, Q2) 1X( P3, Q3) 1X( P3, Q4) 1X( P4, Q4) 1X( P5, Q3) 1 通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)油位計量管理系統(tǒng)”，采用流，采用流量計和油位計來測量進量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對通過預先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲

22、油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量應關系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。的變化情況。 許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。關規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。CUMCM-2010A：儲油罐的變位識別與罐容表標定：儲油罐的變位識別與罐容表標定 圖圖1 1是一種典型的儲油罐尺寸及

23、形狀示意圖，其是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。主體為圓柱體，兩端為球冠體。 圖圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖。是其罐體縱向傾斜變位的示意圖。 圖圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。 請你們用數(shù)學建模方法研究解決儲油罐的變位請你們用數(shù)學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。識別與罐容表標定的問題。（1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為體無變位和傾斜

24、角為 的縱向變位兩種情況做了實的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數(shù)據(jù)如附件驗，實驗數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學模型研究罐體所示。請建立數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為隔為1cm的罐容表標定值。的罐容表標定值。4.1（2）對于圖）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及標定罐容表的數(shù)學模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度變位參數(shù)（縱向傾斜角度 和橫向偏轉(zhuǎn)角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度 ）之間）之間的一般關系。請利用罐體變位后在進的

25、一般關系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學模型），根據(jù)你們所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗你們模型的正確性與方法的可靠性。測數(shù)據(jù)來分析檢驗你們模型的正確性與方法的可靠性。附件附件1 1：小橢圓儲油罐的實驗數(shù)據(jù)（略）：小橢圓儲油罐的實驗數(shù)據(jù)（略）附件附件2 2：實際儲油罐的檢測數(shù)據(jù)（略）：實際儲油罐的檢測數(shù)據(jù)（略）問題分析問題分析 該問題是來自于

26、加油站設備研究生產(chǎn)企業(yè)的一該問題是來自于加油站設備研究生產(chǎn)企業(yè)的一個實際課題，問題由兩大部分組成：個實際課題，問題由兩大部分組成： 第一部分：為了了解罐體變位對罐容表的影響，第一部分：為了了解罐體變位對罐容表的影響，對于小橢圓形儲油罐（實驗罐），在已知變位參數(shù)對于小橢圓形儲油罐（實驗罐），在已知變位參數(shù)的情況下，檢測出油位高度與油量的對應數(shù)值，要的情況下，檢測出油位高度與油量的對應數(shù)值，要求建模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐容求建模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐容表。表。 這一部分屬于這一部分屬于“正問題正問題”。 具體而言，第一部分有以下幾個問題要完成。具體而言，第一部分有以下幾

27、個問題要完成。 （1）對于小橢圓形實驗罐，要給出它在無變位情）對于小橢圓形實驗罐，要給出它在無變位情形下油位高度與儲油量的計算公式（模型）。形下油位高度與儲油量的計算公式（模型）。 （2）對于小橢圓形實驗罐，要給出它在縱向傾斜）對于小橢圓形實驗罐，要給出它在縱向傾斜變位情形下油位高度與儲油量計算的修正模型。變位情形下油位高度與儲油量計算的修正模型。 這里需要考慮罐體兩端有油這里需要考慮罐體兩端有油/無油的不同情況。無油的不同情況。 （3 3）對于（對于（2）得到的實驗罐在縱向傾斜變位情形）得到的實驗罐在縱向傾斜變位情形下油位高度與儲油量的模型，將變位參數(shù)下油位高度與儲油量的模型，將變位參數(shù) 代

28、入代入計算，得出修正后的油位高度間隔為計算，得出修正后的油位高度間隔為1cm1cm的罐容表標定的罐容表標定值。并與原標定值比較，分析罐體變位的影響。值。并與原標定值比較，分析罐體變位的影響。4.1 第二部分：根據(jù)實際檢測數(shù)據(jù)，識別實際儲油罐罐第二部分：根據(jù)實際檢測數(shù)據(jù)，識別實際儲油罐罐體是如何變位的，估計出變位參數(shù)，給出實際罐罐容表體是如何變位的，估計出變位參數(shù)，給出實際罐罐容表的修正標定方法和結(jié)果。并分析檢驗模型的正確性和方的修正標定方法和結(jié)果。并分析檢驗模型的正確性和方法的可靠性。法的可靠性。 這一部分屬于這一部分屬于“反問題反問題”。 （4 4）對于實際儲油罐，建立罐體變位后罐內(nèi)儲油）對

29、于實際儲油罐，建立罐體變位后罐內(nèi)儲油量量V與油位高度與油位高度h及縱向傾斜角度及縱向傾斜角度 和橫向偏轉(zhuǎn)角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度 之間的關系模型，即之間的關系模型，即 的關系模型。的關系模型。( , , )VFh 具體而言，第二部分有以下幾個問題要完成。具體而言，第二部分有以下幾個問題要完成。 這一問要根據(jù)油位高度分別考慮兩端有油或一端有這一問要根據(jù)油位高度分別考慮兩端有油或一端有油的情況，同時考慮偏轉(zhuǎn)情況，所以，具體的解析表達油的情況，同時考慮偏轉(zhuǎn)情況，所以，具體的解析表達式可能會比較復雜。式可能會比較復雜。 由于實際罐內(nèi)油量初值未知，所以，罐內(nèi)對應于某由于實際罐內(nèi)油量初值未知，所以，罐內(nèi)對應于某

30、一油位高度的儲油量準確值未知。因此，不能由（一油位高度的儲油量準確值未知。因此，不能由（4 4）求出的表達式解出求出的表達式解出 和和 。 （5 5）根據(jù)附件）根據(jù)附件2 2的檢測數(shù)據(jù)，估計實際儲油罐的縱的檢測數(shù)據(jù)，估計實際儲油罐的縱向傾斜角度向傾斜角度 和橫向偏轉(zhuǎn)角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度 。 所以，這一問要給出估計參數(shù)所以，這一問要給出估計參數(shù) 和和 的準則，然的準則，然后再進行估計。后再進行估計。 （6 6）根據(jù)（）根據(jù)（4 4）得到模型）得到模型 和參數(shù)估和參數(shù)估計值計值 和和 ，給出罐體變位后油位高度，給出罐體變位后油位高度h間隔為間隔為10cm10cm的罐容表標定值。的罐容表標定值。( ,

31、 , )VFh （7 7）利用附件）利用附件2 2的實際檢測數(shù)據(jù)，分析檢驗模型的的實際檢測數(shù)據(jù)，分析檢驗模型的正確性和方法的可靠性。正確性和方法的可靠性。解題思路解題思路 （1 1）對于）對于小橢圓形實驗罐，給出它在無變位情形小橢圓形實驗罐，給出它在無變位情形下油位高度與儲油量的計算公式（模型）。下油位高度與儲油量的計算公式（模型）。xyOhab 利用積分可以計算出油位高度為利用積分可以計算出油位高度為h時實驗罐的截面時實驗罐的截面面積，于是得到油位高度與儲油量的計算公式：面積，于是得到油位高度與儲油量的計算公式：2( )() 2arcsin2ahbV habhbbhhabLbb 其中其中a，

32、b，L分別是實驗罐截面橢圓的長半軸、短半軸分別是實驗罐截面橢圓的長半軸、短半軸和罐體長度，和罐體長度，h為油位高度。為油位高度。 這個計算公式也可以從相關文獻中查到。這個計算公式也可以從相關文獻中查到。 將實驗罐的實際參數(shù)代入計算，容易得到實驗罐無將實驗罐的實際參數(shù)代入計算，容易得到實驗罐無變位情形的正常罐容表。變位情形的正常罐容表。 （2 2）對于小橢圓形實驗罐，給出它在縱向傾斜變對于小橢圓形實驗罐，給出它在縱向傾斜變位情形下油位高度與儲油量計算的修正模型。位情形下油位高度與儲油量計算的修正模型。 油面下降到油面下降到區(qū)時，油浮顯示油位高度總是區(qū)時，油浮顯示油位高度總是0 0，不隨實際油，不

33、隨實際油量的變化而變化，無需要考慮油面在量的變化而變化，無需要考慮油面在I I區(qū)內(nèi)油量的計算公式。區(qū)內(nèi)油量的計算公式。 同理，當油位高度上升到同理，當油位高度上升到區(qū)時，由于油浮顯示油位高度總區(qū)時，由于油浮顯示油位高度總是是2 2b，也無需考慮油面在，也無需考慮油面在區(qū)內(nèi)的油量計算公式。區(qū)內(nèi)的油量計算公式。2b 因而，只需討論油面分別處于因而，只需討論油面分別處于、三個區(qū)域三個區(qū)域內(nèi)時，儲油量與油位高度、油罐縱向傾角的關系表達式。內(nèi)時，儲油量與油位高度、油罐縱向傾角的關系表達式。 當油面分別處于當油面分別處于、三個區(qū)域內(nèi)，計算儲油三個區(qū)域內(nèi)，計算儲油量的截面面積沿量的截面面積沿x軸積分，可分別

34、得到當軸積分，可分別得到當h處于不同高度處于不同高度時儲油量的計算公式：時儲油量的計算公式： 2tan2222tan222tan2222arcsin,0tantan2( , )arcsin,()tan2tantan2arcsin,0tan2h a lah a lh aL la hLabzaz azadzhLlaabzaVhz azadzLlhalaazaL abz azadzhLla tanl 其中，其中，l為探針到左側(cè)面的距離。為探針到左側(cè)面的距離。 （3 3）將變位參數(shù)將變位參數(shù) 代入上述公式代入上述公式計算，得出計算，得出修正后的油位高度間隔為修正后的油位高度間隔為10cm10cm的罐容

35、表標定值。的罐容表標定值。4.1罐體變位后高度間隔為罐體變位后高度間隔為10cm10cm的罐容表標定值的罐容表標定值油面高度油面高度油的容量油的容量油面高度油面高度油的容量油的容量油面高度油面高度油的容量油的容量101070.1370.1350501371.881371.8890903072.433072.432020281.86281.8660601798.521798.521001003450.723450.723030595.25595.2570702232.502232.501101103776.643776.644040965.66965.6680802661.422661.4212

36、01204012.754012.75 進一步，與正常的標定值比較分析可知，實驗罐在縱向傾進一步，與正常的標定值比較分析可知，實驗罐在縱向傾斜變位情形，實際油量與原標定值的最大誤差在斜變位情形，實際油量與原標定值的最大誤差在257L以上，平以上，平均誤差達均誤差達190L以上，平均相對誤差達到以上，平均相對誤差達到30%以上以上。 （4 4）對于實際儲油罐，建立罐體變位后罐內(nèi)儲油）對于實際儲油罐，建立罐體變位后罐內(nèi)儲油量量V與油位高度與油位高度h及縱向傾斜角度及縱向傾斜角度 和橫向偏轉(zhuǎn)角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度 之間的關系模型，即之間的關系模型，即 。( , , )VFh 由于本問較復雜，需要分情況建立

37、模型，可以先考由于本問較復雜，需要分情況建立模型，可以先考慮只發(fā)生縱向變位的情況。慮只發(fā)生縱向變位的情況。其中其中 球冠球冠的體積表達式為：的體積表達式為：其中其中 球冠球冠III的體積表達式為：的體積表達式為：其中其中 圓柱體圓柱體II的體積表達式為：的體積表達式為： 在不考慮罐體橫向變位的情況下（即在不考慮罐體橫向變位的情況下（即 ），儲油），儲油罐的體積與輔助變量罐的體積與輔助變量 的關系表達式為：的關系表達式為：01H 在不考慮橫向變位的情況下（即在不考慮橫向變位的情況下（即 ），儲油罐的），儲油罐的油位高油位高 與輔助變量與輔助變量 的關系表達式為：的關系表達式為：01H11110,

38、0tan,tan,tan2tan2 ,2tan2()tanHmhHmmHrmbrmHrmn縱h縱 根據(jù)以上根據(jù)以上 與與 的轉(zhuǎn)換關系，就可以得到罐體內(nèi)的轉(zhuǎn)換關系，就可以得到罐體內(nèi)油量與油位高油量與油位高 及縱向傾斜角及縱向傾斜角 的關系表達式的關系表達式1H( ,)Vh縱h縱h縱 進一步，考慮罐體在產(chǎn)生縱向變位的基礎上，又產(chǎn)進一步，考慮罐體在產(chǎn)生縱向變位的基礎上，又產(chǎn)生了橫向變位，此時罐體的位置如下圖：生了橫向變位，此時罐體的位置如下圖： 由于罐體只產(chǎn)生縱向變位時油位高度由于罐體只產(chǎn)生縱向變位時油位高度 與儲油量與儲油量 的對應關系已得到，再根據(jù)上面推導出的的對應關系已得到，再根據(jù)上面推導出的

39、 與與同時發(fā)生縱向和橫向變位時油位高同時發(fā)生縱向和橫向變位時油位高h，就可以求出一般，就可以求出一般情況下，即罐體同時產(chǎn)生情況下，即罐體同時產(chǎn)生縱向和縱向和橫向變位的油位高橫向變位的油位高h與與儲油量儲油量V之間的關系模型之間的關系模型 。( ,)Vh縱h縱h縱( , , )VFh 未產(chǎn)生橫向變位時油位高未產(chǎn)生橫向變位時油位高 與產(chǎn)生橫向變位后油位與產(chǎn)生橫向變位后油位高高h之間滿足如下關系：之間滿足如下關系：h縱0,0(1 cos),(1 cos)(1 cos),cos2 ,(1 cos)2hrrhhrrhrrrhr縱縱縱縱 （5 5）根據(jù)附件）根據(jù)附件2 2的檢測數(shù)據(jù)，估計實際儲油罐的縱的檢

40、測數(shù)據(jù)，估計實際儲油罐的縱向傾斜角度向傾斜角度 和橫向偏轉(zhuǎn)角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度 。 根據(jù)附件根據(jù)附件2 2數(shù)據(jù)可以得到不同時刻的出油量數(shù)據(jù)可以得到不同時刻的出油量 ，同時可以計算對應的油位改變量同時可以計算對應的油位改變量 。iV1iiihhh 這一問就可以歸結(jié)為求解非線性最小二乘問題：這一問就可以歸結(jié)為求解非線性最小二乘問題： 根據(jù)前一問的模型表達式根據(jù)前一問的模型表達式 ，可以得，可以得到理論上儲油量的改變量到理論上儲油量的改變量 。( , , )VFh 1( , ,)( , ,)iiiVFhFh 或或21min ( , )()niiiSVV 21min ( , )niiiiiVVShh 2

41、.1 ,4.3 利用附件利用附件2 2的部分數(shù)據(jù)（例如前半部分），借助軟的部分數(shù)據(jù)（例如前半部分），借助軟件和各種數(shù)值方法可以估計出實際儲油罐的縱向傾斜角件和各種數(shù)值方法可以估計出實際儲油罐的縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度。度和橫向偏轉(zhuǎn)角度。 事實上，儲油量對橫向偏轉(zhuǎn)變位角不敏感。如果經(jīng)事實上，儲油量對橫向偏轉(zhuǎn)變位角不敏感。如果經(jīng)分析說明了這一點，這一問也可以直接考慮縱向變位的分析說明了這一點，這一問也可以直接考慮縱向變位的單參數(shù)估計問題。單參數(shù)估計問題。 具體的估計值依所用的計算方法不同而有差別，一具體的估計值依所用的計算方法不同而有差別，一般地，般地， （6 6）根據(jù)模型）根據(jù)模型 和前一問得到的參數(shù)和前一問得到的參數(shù)估計值估計值 和和 ，就可以給出罐體變位后的罐容表標定，就可以給出罐體變位后的罐容表標定值。值。( , , )VFh h1020304050607080