Euler_Bernoulli梁的伽遼金解法

1、焦作工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),第22卷,第3期,2003年5月JournalofJiaozuoInstituteofTechnology(NaturalScience),Vol.22,No.3,May2003EulerBernoulli梁的伽遼金解法袁曉光(焦作工學(xué)院基礎(chǔ)部,河南焦作454000)摘要:根據(jù)EulerBernoulli梁的基本理論和伽遼金解法,在計(jì)算過程中利用了彎矩的定義,推導(dǎo)出了一個較為簡便的求解EulerBernoulli梁問題的算法和計(jì)算公式,給相應(yīng)的有限元數(shù)值計(jì)算和編制程序提供了依據(jù)和方便.關(guān)鍵詞:EulerBernoulli梁;伽遼金解法;邊界條件;微分方程中圖分類號

2、:O34文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:10077332(2003)030238030引言EulerBernoulli梁指的是在分析梁的力學(xué)行為時(shí)不考慮其剪切變形的一種理論其基本方程是2:22()(1)2EIx=w(x),dx2dx式中,E為梁的楊氏模量;I(x)y(w(x)為均布荷載.它是在材料力學(xué)中4:(a)連續(xù)性假設(shè);(b)均勻性假設(shè);(c);d).,即認(rèn)為,變形,變形后仍是平面,且仍然垂直于變形后的軸線.EulerBernoulli梁實(shí)際應(yīng)用應(yīng)該非常廣泛,但由于以往計(jì)算方法及計(jì)算條件限制,我們只能用它計(jì)算較簡單的情況,且隨著數(shù)值計(jì)算方法及計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用,它必然能解決較為復(fù)雜的問題,本文根據(jù)伽

3、遼金解法的基本理論推導(dǎo)出了EulerBernoulli梁的計(jì)算公式.1理論推導(dǎo)假設(shè)有一簡支梁受均布荷載w(x),梁長為L,如圖1所示.根據(jù)直梁的內(nèi)力和平衡方程,可以得到:2M(x)=EI(x),dx2=w(x),dx=V(x),dx式中,M(x),V(x)分別是彎矩和剪力.將(4)式對x求導(dǎo),并代入(3)式,有(2)(3)(4)222EI(x)=w(x).dx2dx2dx2這樣就得到了EulerBernoulli梁的基本公式(1),對上式進(jìn)行變形,可得22EI(x)L(y)=-dx2dx2收稿日期:20030317;修回日期:20030412),男,遼寧蓋縣人,碩士研究生,主要從事復(fù)合材料力學(xué)

4、方面的研究.作者簡介:袁曉光(1976(0,L)+w(x)=0(5)第3期袁曉光等:EulerBernoulli梁的伽遼金解法239注意到(5)式是1個四階的微分方程,因此,必須有4個邊界條件才可解.這些邊界條件可以是Dirichlet邊界條件(第1邊界條件)、Neumann邊界條件(第2邊界條件),或者是施加的剪力或彎矩3.假設(shè)Ny(x)y(x)=N=11(x)y,N,(6)式中,(x)是試探函數(shù)(或基函數(shù)、形函數(shù)),y是待定常數(shù).根據(jù)伽遼金解法1,可得出(5)式的等效積分形式:GWSN2N2()+w(x)dx,=L(y)dx=-22EIxdxdxN(7)式中,是一組和微分方程個數(shù)相等的任意

5、函數(shù).N從上式可知,試探函數(shù)(x)必須可開四次導(dǎo)數(shù),因此y(x)是一個四次多項(xiàng)式,為了減小其次數(shù),對(7)式進(jìn)行分步積分,得2N2NN()()(8)EIxEIxGWS=,w(x)dx-2dx+2dxdxdxdxdx5這樣,就變成了3階,并可以把剪力引入邊界條件.繼續(xù)進(jìn)行分步積分,來降低階數(shù),引入彎矩邊界條件,但這樣做仍然較難得到,一個基本方程組.以上是較為直接的伽遼金解法,算法繁雜,且不易得出解答。為此,分必要的.根據(jù)彎矩的定義,可將(5),2),彎矩的微分方程:=(9a)w(x)=0,dx2這樣,w(x),就可解出M(x).如知道了M(x),把它代入(2)式,得2(9b)L(y)=-EI+M

6、(x)=0,dx2可以找出一個函數(shù)系列,來代入到(9a)、(9b)中,就可得到數(shù)值計(jì)算所需的參數(shù)(矩陣)了.先從解(9a)入手:L(M)=-2(0,L),+w(x)=0,dx2假設(shè)一個近似于M(x)的函數(shù)系列:N(9a)M(x)M(x)=寫出伽遼金的弱形式:N=11(x)M,N.(10)NGWSN=L(y)dx=0,1N(11)將(9a)代入(11),有GWSN22+w(x)=(x)-22dxdxdx=0,1N.(12)對(12)進(jìn)行分步積分NNNGWS=dx+w(x)dx-dxdxdx5=0,1N.(13)將(10)式代入(13)有()NN()GWS=dxM+wxdx-dxdxdx5=0,1

7、,N.(14)焦作工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2003年第22卷240對要求解的區(qū)域離散化,有Ti)Me(x)M=SeNk(式中,i是自然坐標(biāo),Se是單元節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換矩陣.GWS=She(15)LTd xMedxdxLNNmNndx WeNndxLT5=01m,nNGWS=She(16)5LTd xMe=dxdxNmNnd xWeTNNndx(17)這樣,就得到了一個矩陣表達(dá)的式子LHSQ=RHS(整體),LHS是一個方陣,Q是未知數(shù)向量,RHS是已知數(shù)向量.現(xiàn)在我們對(16)、(17)式所表示的單元求解式子進(jìn)行整理:DIFFeeeTd x,dxdx(18)TxWe,LOADeNmNndNBSHRlN

8、mdx,計(jì)算所需的邊界條件是邊界上的剪力(第2邊界條件)和彎矩(第1邊界條件).上面已經(jīng)解出了彎矩,這樣,就可以解決式(9b)方法,首先假設(shè)一個近似于y(x)的函數(shù)序列,式子LHS3Q=RHS(整體),LHSR,其需要的邊界條件式斜率(第2(第.2結(jié)論本論文對EulerBernoulli梁的彎矩和撓度數(shù)值計(jì)算的伽遼金解法進(jìn)行了較為詳細(xì)的推導(dǎo),在推導(dǎo)時(shí),放棄了以往直接求解的方法而是根據(jù)彎矩的定義,采用分布求解的方法,并得到了一個計(jì)算公式.利用這一算法的結(jié)論,可以在現(xiàn)在通用的計(jì)算軟件MATLAB上進(jìn)行直接的計(jì)算,也可以在FORTRAN上編制有限元程序,使計(jì)算自動化.參考文獻(xiàn):1王勖成,劭敏.有限單

9、元基本原理和數(shù)值方法M.第二版.北京:清華大學(xué)出版社,2001.2劉鴻文.高等材料力學(xué)M.北京:高等教育出版社,1985.3徐芝綸.彈性力學(xué)M:上冊.北京:高等教育出版社,1998.AnalysisofEuler-BernoullibeamwithGalerkinmethodsYUANXiaoguang(Dept.ofBasicCoursesofJIT,Jiaozuo454000,China)Abstract:OnthebasisofEulerBernoullibeamtheoryandGalerkinmethods,thepaperderivesasolutionandequationfortheEulerBernoullibeamsproblem,whoseconclusionisthebaseandconvenientfortherelativeF