中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)動(dòng)態(tài)幾何問題的坐標(biāo)解法

1、動(dòng)態(tài)幾何問題的坐標(biāo)解法 在近幾年各地的中考試題中，動(dòng)態(tài)幾何問題一直是考試的熱點(diǎn)和難點(diǎn).從題型上分，動(dòng)態(tài)幾何主要有動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線和動(dòng)圖這三類，從運(yùn)動(dòng)的形式上看，有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等. 動(dòng)態(tài)幾何問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，一方面，它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)以及多種解題思想進(jìn)行考查.另一方面，這類題綜合性強(qiáng)，能力要求高，要求學(xué)生能靈活運(yùn)用已有知識(shí)對(duì)題目進(jìn)行分析、探索、轉(zhuǎn)換，其思想方法大多是建立在對(duì)幾何圖形分析的基礎(chǔ)上.其中有些題目學(xué)生用幾何方法解決起來(lái)比較麻煩，或者很難想到怎樣解決，本文介紹另一種解決動(dòng)態(tài)幾何問題的方法通過(guò)構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系來(lái)解決動(dòng)態(tài)幾何問題，這種

2、方法對(duì)解決下列幾種問題有一定的優(yōu)越性.當(dāng)然，用這個(gè)方法有個(gè)很重要的前提:建立直角坐標(biāo)系后，圖中各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都能比較方便地表示出來(lái). 一、最值與軌跡長(zhǎng)度問題 例1 如圖1，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，以為邊作正方形，頂點(diǎn)在線段上，對(duì)角線、相交于點(diǎn).(1) 在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的外接圓的圓心也隨之運(yùn)動(dòng)，求該圓心到邊的距離的最大值;(2) 當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng). 分析 本題可以用幾何的方法解決，但第(1)問中有些同學(xué)不會(huì)利用中位線將中點(diǎn)到的距離轉(zhuǎn)化為，導(dǎo)致問題難以解決;第(2)問學(xué)生對(duì)探究點(diǎn)軌跡究竟是什么也很困難.本題圖形

3、中看似有很多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但主動(dòng)點(diǎn)只有，其它點(diǎn)都是隨著的變化而變化，所以只要將的運(yùn)動(dòng)方式(的長(zhǎng)度隨著的變化而變化)利用坐標(biāo)表示出來(lái)，其它點(diǎn)的坐標(biāo)也隨之能夠表示，這樣第(1)問就轉(zhuǎn)化為求的外接圓的圓心的縱坐標(biāo)的最大值.第(2)問探索點(diǎn)軌跡就轉(zhuǎn)化為探索點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，求路徑長(zhǎng)也就是求點(diǎn)在起始位置和終點(diǎn)位置時(shí)兩個(gè)點(diǎn)的距離. 解 (1)以為原點(diǎn)，以為軸正半軸，為軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系如圖. 設(shè)，則，由得即于是線段的中點(diǎn)點(diǎn)到的距離為故時(shí)，點(diǎn)到的距離取最大值 (2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得于是有，的中點(diǎn)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，即點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段.當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為. 二、動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)問題 例2 如圖2

4、，正方形的邊長(zhǎng)為8cm，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且.(1) 求證:四邊形是正方形;(2) 判斷直線是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由. 分析 第(2)問的困難在于學(xué)生不知道經(jīng)過(guò)的是哪個(gè)定點(diǎn).圖中看似有4個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但其實(shí)只有一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)(不妨令其為點(diǎn))，其它三個(gè)點(diǎn)都隨著這個(gè)主動(dòng)點(diǎn)的變化而變化.只要設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以方便地得到直線的解析式，由此可判斷這條直線是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)了. 解(1)略. (2)以為原點(diǎn)，以為軸正半軸，為軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系如圖2.設(shè)，則.易知故，得，設(shè)的方程為，代入、的坐標(biāo)，得解得的方程為當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)(2,2). 三、點(diǎn)線位置關(guān)系與線段數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系問題 例3

5、如圖3，在中，cm，cm，動(dòng)點(diǎn)在線段上以5cm/s的速度從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，將繞的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(S).(1) 當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值;(2) 在動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)過(guò)程中，當(dāng)為何值時(shí)，是以為腰的等腰三角形?(3) 如圖3，另有一動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在線段上以5cm/s的速度從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，將繞的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到，連結(jié)，當(dāng)直線與一邊垂直時(shí)，求的值. 分析本題第(1)(2)兩問可以通過(guò)畫出圖形，利用相似形找到相應(yīng)的等量關(guān)系，從而解決問題.但這個(gè)關(guān)系的發(fā)現(xiàn)恰恰就是解決這個(gè)問題的難點(diǎn)，尤其第(3)問很多學(xué)生更是無(wú)法找到其中的關(guān)系得到方程.如果通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，就可以將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為通過(guò)直線斜率之間的關(guān)系和點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決相關(guān)問題.解 (1)以為原點(diǎn)，以為軸正半軸，建立如圖3所示平面直角坐標(biāo)系.則，可得直線的方程為又，代入的方程，得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在